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2019高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 函数的单调性学案 苏教版必修1

函数的单调性
一、考点突破 1. 如何求解函数的单调区间; 2. 利用函数的单调性求参数的取值范围。
二、重难点提示 重点:求函数的单调区间。 难点:
1. 从数、形两种角度理解函数的单调性与最值; 2. 带参函数的最值问题,如何对参数进行讨论。

◆ 函数的单调性

增函数

减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上

定 的任意两个自变量 x1,x2



当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),

当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),

那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减

数。

函数。

图 象 描 述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

1. 如果函数 y ? f (x) 在区间 D 上是单调递增函数或单调递减函数(两者只 注 能居其一),那么就说函数 y ? f (x) 在区间 D 上具有单调性。
意 2. 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。

3. 函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质。

【方法提炼】

判断函数 y ? f (x) 单调性的基本方法——定义法

①设元,任取 x1, x2 ? D ,且 x1 ? x2 ; ②作差 f (x1) ? f (x2 ) ;
③变形(通常是因式分解和配方);

④定号(即判断差 f (x1) ? f (x2 ) 的正负); ⑤下结论。(即指出函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性)

示例 已知 a>0,函数 f(x)=x+ax (x>0),证明函数 f(x)在(0, a)上是减函

1

数,在( a,+∞)上是增函数。

思路分析:可利用定义法讨论函数的单调性。用定义法证明函数单调性的步骤:取值→

作差→变形→确定符号→下结论。

答案:证明:设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2,



f(x1)-f(x2)= (x1

?

a x1

)

?

( x2

?

a x2

)

=x1x-1xx2 2(x1x2-a)。

当 0<x1<x2< a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, ∴ f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x2 ) , ∴函数 f (x) 在(0, a)上是减函数。

当 a<x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在( a,+∞)上是增函数。

ax-1 例题 1 若函数 f(x)= x+1 在(-∞,-1)上是减函数,求实数 a 的取值范围。

思路分析:利用函数的单调性求参数的取值范围时,关键是要把参数看作已知数,依据

函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,再与已知单调区间比较求参。 答案:解:f(x)=axx+-11=a-ax+ +11,设任意 x1<x2<-1,

则 f(x1)-f(x2)= (a ? a ?1 ) - (a ? a ?1 )

x1 ?1

x2 ?1

a+1 a+1 =x2+1-x1+1

a+ = x2+

x1-x2 x1+

又因为函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数,

所以 f(x1)-f(x2)>0,由于 x1<x2<-1, 所以 x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, 所以 a+1<0,即 a<-1。

故实数 a 的取值范围是(-∞,-1)。

技巧点拨:已知函数单调性求参数的值或范围时,可以通过解不等式或转化为不等式恒

成立问题求解;需注意的是,若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子

集上也是单调的。

例题 2 设 f (x) 的定义域 ?0, ??? 对于任意正实数 m, n 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,
且当 x ? 1时, f (x) ? 0, f (1) ? ?1 2
(1)求 f (2) 的值;
(2)求证: f (x) 在 ?0, ??? 上是增函数。
思路分析:(1)求特殊点处的函数值可利用灵活赋值的方法解决。先求出 f (1) 的值,

2

然后再利用 2 与 1 互为倒数及 f (1 ) ? ?1求出 f (2) 的值。

2

2

(2)由

f (m ?n) ?

f (m) ?

f

(n) 推出

f (x2 ) ?

f

( x1 )

?

f ( x2 ) 是解题的关键。 x1

答案:(1)解:令 m ? 1, n ? 1 ,代入到 f (m ?n) ? f (m) ? f (n) 中,

? f (1) ? f (1) ? f (1) ,解得 f (1) ? 0

令 m ? 2, n ? 1 ,代入到 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中, 2

? f (1) ? f (2) ? f (1) ? 0 ,又 f (1) ? ?1,

2

2

? f (2) ? 1。

(2)证据:任意取 x1, x2 ? (0,??) ,且 0 ? x1 ? x2 ,

则:

f (x1) ?

f ( x2 ) x1

?

f

( x2

)



x2 x1

?1

?

f

(x2 ) ?

f

( x1 )

?

f

( x2 ) , x1

又? 当 x ? 1时 f (x) ? 0 , x2 ? 1 , x1

?

f

( x2 ) x1

?

0 ,即

f

(x2 ) ?

f

( x1 )

?0,

f

(x1) ?

f

(x2 )

∴ f (x) 在 ?0, ??? 上是增函数。

技巧点拨:对于抽象函数(未给出具体解析式的函数)的求值问题,需要根据题目给出

的已知条件进行灵活赋值,求出需要求的函数值;抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的 定义以及结合题目已知来进行。

【综合拓展】

巧用函数单调性解不等式

◆解函数不等式问题的一般步骤:

①确定函数 f(x)在给定区间上的单调性;

②将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式;

③运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;

④解不等式或不等式组确定解集;

【满分训练】已知函数

f

(x)

?

? x2 ? ?4x

? 4x, x ? 0 若 ? x2 , x ? 0,

f (2 ? a2) ?

f (a), 求实数 a 的取值范

围。

思路分析:画出函数 f (x) 的图象,结合图象可看出函数 f (x) 的单调性,再利用单调

性将不等式 f (2 ? a2 ) ? f (a) 中的“壳” f 给去掉,形成关于 a 的不等式。

答案:解:画出函数 f (x) 的图象如下:

3

由 函 数 图 象 可 知 , f (x) 在 R 上 单 调 递 增 , 所 以 f (2 ? a2) ? f (a), 等 价 转 化 为 2 ? a2 ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1。 技巧点拨:利用函数单调性解不等式的关键:准确判断出函数单调性,成功去掉 f 这层外 壳,把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后,解关于 x 的简
单不等式。
日月崇拜是原始宗教的重要内容之一,中国古代很早就有祭祀礼俗。殷人将称东母与西周依据时间属性行朝夕“”即秋分晚上在门外春战神被为皇公、王沂南汉画像石坐柱收物(昆仑山)两旁跪捣药玉兔由此可知晋郭璞《<海经>图赞》精说法言而后世嫦娥演变来秦期仍家制直至明清历都仪 上古时期祭月列入皇家祀典而例行后,民间缺少了的消息这可能与代社会神权控制有关像日样表阴阳天地大只才之沟通一般百姓无缘享。隋唐以随着文知识丰富化观念进步人们对亮较理性认圣色彩明显褪也逐渐失去独占平来说不再是那“高及”朝虽没中秋节但精浪漫亲近自然赏已成为尚吟咏华章丽句寻常见如许浑《鹤林寺夜玩》云:尽出沧海半露寒当碧轮移金殿外镜光犹挂玉楼前 在宋代,中秋节已成为民俗日。文人沿袭赏月古风但其情趣大异于唐多由亮的清辉联想到河山壮美友朋千里邀明诗酒流如白居易《八十五夜禁独直对忆元九》“三新色二外故心”就借抒发了感物怀思常以之阴晴圆缺喻生变化无苏轼暮云收尽溢寒银汉声转玉盘此不长好年何处看寄托着这种浩叹似乎光也难掩伤过来说还有另一形态即世欢愉北东京贵家结饰台榭间争占楼玩(梦华录)南杭州更是热闹蟾满时王孙公子、富巨室莫登临轩酌高歌;小商户上安排宴团女酬佳梁市井贫解衣勉强迎肯虚度 团圆是中秋节俗的心意义。宋人识已与令发生关联,代城市居民阖家共赏月就体现了这一伦理因素明清时期由于学浸染间社会乡族观念增强们对庭更为依恋正加亲系良机“以饼相连取之”(田汝成《西湖游览志奈》)在经出但特色食品及祭供风大概始朝小活作象征情感信物互馈送 节日是常生活的亮点,俗文化时代精神聚焦。中秋经历了人赏月雅趣民间拜情以及有心吃饼而无看形态从古至今发重大变一部演史也国众迁 (摘编自萧放《团圆饼与月亮节—中秋俗形态的变迁》) 1.下列关于原文内容的表述,不正确一项是() A.对于日月,殷人称东母与西春秋战国时皇公、王汉代从这些呼可以看出中古的崇拜有一脉相承之处。 B.唐宋两代都有文人赏月的风尚。多借表达对自然美景欣赞,体现出诗酒流情趣而常因抒发感伤之 C.南宋时的都城杭州,中秋夜热闹非凡不仅富家巨室、小商户宴饮赏玩“以酬佳节”连财力匮乏市井贫民也勉寻欢足见在当已是常重要日。 D.中秋的节俗文化经历了不断丰富与演变过程,如宋人赋予阖家团圆意义明则将月饼引入作为象征联系亲族感情信物。 2.下列理解和分析,不符合原文意思的一项是() A.弦、望晦朔是月亮在运行过程中被人观察到的不同形态,国大多数节日设定基准如秋就与“”有关。 B.中秋节源于原始宗教的月亮崇拜,但形成较晚。唐代文人已有之夜赏风尚到宋则为重要民俗日 C.沂南汉画像石中的西王母为月神,居于昆仑山后演变嫦娥。晋代郭璞《<海经>图赞》“精”说法即以此话依据 D.唐朝的一般民众将月亮视为欣赏对象,而不再觉得它高可及这跟天文知识丰富、化观念进步和皇家丧失祭独占权大有关系 3.根据原文内容,下列说法不正确的一项是() A.月为天地大神,在宗教祭祀中位重要上古时期统治者独占权之后直至隋唐以前一般民众无国间也没有的风俗。 B.尽管唐宋文人赏月的情趣大异,但白居易《八十五日夜禁中独直对忆元九》和苏轼秋都是借抒怀感伤之作表达了友思念。 C.在宋代,中秋已是团圆佳节到明清时期理学的影响增强了民间社会乡族观念和人们对家庭依恋于更成为共享天伦与联系亲良机。 D.中秋节俗形态丰富,从文人雅士赏玩明月到民间阖家团圆共再以饼相赠加强亲族联系这些习的演变折射了时代精神迁。 (二)文学类本阅读14分 阅读下面的文字,完成4-6题。
百年震柳 梁衡 1920年月6日,宁夏海原县发生了一场全球最大的地震。是晚8时风暴起四野尘霾颤动山移、裂河断城陷黄土高经这抖如骨牌倒块横飞老百姓惊呼:“走!”有整座滑行三公里者坡面积竟毗连达两千平方就瞬间塞成湖形无数小子中心盐为西北重要产之底突然鼓道滚陡坎人在下推滴水不漏将个向称所标都被扭曲翻腾得目非开条37长缝贯甘肃陕闪电过利刃破竹见池村庄劈半禾田畴撕碎片当穿谷正旺盛柳树它照样噼啪路去但没想到些柔枝弱虽摇东歪拔根却气绝身死狂后棵又挺顽强活来至今仍屹立空那名 我不知道这株柳,该称它是一棵还两。同根干样的树纹头上枝叶连理但地震已经将从下撕为二现在个半边中间可穿行人而每也都有合抱之粗了老看脸皮过百年岁月煎熬如肤糙多皱青筋暴突路宽容进指东奔西似去又回黄土高原千沟万壑50就说时4龄大难后至今1 看过树皮,再干的开裂部分真让你心惊肉跳。平常锯一根木头无论从哪个方向切入那剖面上年轮图案都幻化穷美不胜收以至于纹装饰成了我们生活中可或缺风景之也命象征但是现在对找到丝如同五马尸地闪先将老嘎嘣扯断又下往扭、撕剥然后质肝肺横竖揪惨忍睹这棵并没有死震它却拔尽须;躯连理枝灾难慢挺来百人迹罕桃源深处阳光暖抚慰着身子细雨轻冲洗伤口自泌汁液小疗养骨长疤痕早已演许多起伏条块洞沟瘤像凝固岩石为定格段忘岁月 柳树这个种很怪。论性格,它是偏于柔弱一面的枝条韧婀娜多姿生水边所以常被人作了情象征唐有折相送习俗取其如丝依不舍贺知章把比窈窕美:“碧玉妆成高万垂下绿绦细叶谁裁出二月春风似剪刀”但在关键时刻女子却能克刚表现特别顽强西北气候寒冷干旱足够恶劣年扎根此o国黄土地上天发芽最早、秋落迟尽力给大色当左宗棠进军要单选中与同行新栽杨三千里引得度殊本领遇即就长休息苦熬着等待雨绝会轻去死系达自己铺造庞供统远延伸开捕捉哪怕汽木软用来做案板剁而裂;立道旁吹 我想,海原大地震的波绕球三圈移山填河夺去了28万人生命而这一株裂不死古柳却能够存活下来它肯定是要对后说点什么。
4


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