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第九部分解析几何(2)--两条直线位置关系


高中数学人教 B 版一轮复习

第九部分
二、两条直线位置关系

解析几何(2)

1.平行与垂直:若直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则 (1)直线 l1 ? l2 的充要条件是: k1 ? k2 且 b1 ? b2 (2)直线 l1 ? l2 的充要条件是: k1 ? k2 ? ?1 注: (1)若两直线相交,则 k1 ? k2 (2)两条直线重合的充要条件是: k1 ? k2 且 b1 ? b2 若直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则 (1)直线 l1 ? l2 的充要条件是: ?

? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? B1C2 ? B2C1 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0

(2)直线 l1 ? l2 的充要条件是: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 注: (1)若两直线相交,则 A 1 B2 ? A2 B 1 ?0 (2)两条直线重合的充要条件是: ?

? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? B1C2 ? B2C1 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0

特别地:若 l1 , l2 都没有斜率,则 l1 , l2 平行或重合 若 l1 , l2 中有一条没有斜率,而另一个条斜率为 0 ,则 l1 ? l2 2. 两直线相交 直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点的坐标是由方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 求得的 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
若两直线平行时,方程组无解;若两直线重合时,方程有无数解。 3. 距离公式: (1)两点间距离公式:若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB ?
1

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

(2)点到直线的距离公式: 若 P ? x0 , y0 ? ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离为 d ? (3)两平行线间距离公式: 两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 练习: 1. 判断两条直线的位置关系,若相交,求出交点坐标: (1) l1 : 2x ? y ? 7 ? 0 , l2 : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 (2) l1 : 2x ? y ? 7 ? 0 , l2 : 4x ? 2 y ? 7 ? 0 (3) l1 : 4 x ? 6 y ? 7 ? 0 , l2 : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 2. 直线 l1 :3x ? 2 y ? 2m ?1 ? 0 ,l2 : 2 x ? 4 y ? m ? 0 的交点在第四象限,则 m 的取值范 围是 3. 直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 , l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 平行,则需要满足的条件是 4. 与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

C2 ? C1 A2 ? B 2

5 的直线方程为 6

5. l1 : ? a ? 2? x ? ?1 ? a ? y ?1 ? 0 , l2 : ? a ?1? x ? ? 2a ? 3? y ? 2 ? 0 互相垂直时, a 值为 6. l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : ? m ? 2? x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m 为何值时, (1) l1 , l2 相交, (2) l1 , l2 垂直, (3) l1 , l2 平行, (4) l1 , l2 重合 7. 已知点 A? 2,2? ,直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则过点 A 和直线 l 平行的直线方程 过点 A 和直线 l 垂直的直线方程 8. 直线 l1 : y ? ax ? 2 , l2 : y ? ? a ? 2? x ?1 互相垂直,则 a ? 9. 直线 l1 : 2x ? y ? k ? 0 , l2 : 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是 10. 直线 l1 : mx ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,且垂足为 ?1, p ? ,则 ,

m?n? p ?
11. 过点 A? 0,0? 且和直线 l : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程是
2

3


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