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人教版高中数学选修一般形式的柯西不等式 (3)ppt课件_图文

回顾旧知

1.二维形式的柯西不等式的代数形式? 若a,b,c,d都是实数,

则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等 号成立.

2、二维形式的柯西不等式的变式(推论):

(1) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd

(ad ? bc)

(2) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd (3)(a ? b) ? (c ? d ) ? ( ac ? bd )2
(a, b, c, d为非负实数)

(|ad| ? |bc|)
(ad ? bc)

3.二维形式的柯西不等式的向量形式? 设? ,? 为平面上的两个向量,则 | ? ?,? |当?| ?且|仅| ?当| β是零向量,或 存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
4.(二维形式的三角不等式 ) 设x1,y1,x2,y2 ? R,那么 ( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当且仅当x1 y2 ? x2 y1,且x1、x2 异号或至少有一个为零时,等号成立.

新课导入
思考
类比二维从三维的角度思考问题,关于柯西不等式会 有什么结论(结合图像)?

y
? ?c, d ?

z
? ? a1,a2 ,a3 ?

?
0

? ?a,b?

?

x

0

x

? ? b1 , b2 , b3 ?
y

观察图,从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西

不等式.类似地,从空间向量的集合背景也可以得到

将空间向量的坐标代入,化简| ?得? ? |?| ? || ? |

(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当 , 共

线时,即 = .或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成

立.

??

?0

探究
对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你 能猜想出一般形式的柯西不等式吗?

类比猜想
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2

柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b
2+…+anbn)2 (2)
猜想

分析

如果设

A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2, 不等式(2)就是AC≥B2.这正好与二次函数

的判别式

.密f切(x相) ?关Ax。2 ?所2B以x ?我C们(A可?以0)构造二次函数,

通过4讨B2论? 相4A应C的判别式来证明.

证明

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,(2)式显然成立.

设a1,a2,…,an中至少有一个不为0,则 a12+a22+…+an2>0.
构造二次函数

f

(

x)

?

(a12

?

a

2 2

???

a

2 n

)x2

?

2(a1b1

?a 2b2

? ?anbn

)x

? (b12 ? b22 ? ?bn2 )

因为对于任意实数x,

f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,
∴二次函数 f ? x? 的判别式 △≤0 ,

即 4(a1b1 ? a2b2 ?
于是

anbn )2 ? 4(a12 ? a22 ?

an2 ) ? (b12 ? b22 ?

? bn2 ) ≤ 0

(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当f(x)有唯一零点时,判别式△=0,以上不等式 取等号.

此时,有唯一实数x,使
ai x+bi =0(i ? 1, 2,?, n).

若x=0,则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立;若x≠0,则



,a总i 之? ,? 当x1 且bi 仅

当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

定理(一般形式的柯西不等式)
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且 仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n) 时,等号成立.

例1

已知a1 , a2,...,an为实数,

? ? 试证:1
n

a1 ? a2 ? ... ? an

2 ? a12 ? a22 ? ... ? an2 .

分析
用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显 符合柯西不等式的形式.

证明

根据柯西不等式,有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)

≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,

所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2



? ? ? ? 1
n

a1 ? a2 ? ... ? an

2?

a12 ? a22 ? ... ? an2

.

例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数,证明 a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.

分析
上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是 右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式 进行证明.

证明

根据柯西不等式,有
? ? ? ? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 b2 ? c2 ? d 2 ? a2 ? ? ab ? c ? cd ? da ?2

因为a,b,c,d 是不全相等的正数,所以等式

a ? b ? c ? d 不成立, bcd a

? ? 所以

a2 ? b2 ? c2 ? d 2

2
?

? ab

?

bc

?

cd

?

da ?2

,

即a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

例3 已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.

分析

由x+2y+3z=1以及

x2 的? 形y2式?,z联2 系柯西不等式,可

以通过构造(

)作为一个因式而1解2 ?决2问2 ?题3. 2

解:

根据柯西不等式,得
? ? ? ? x 2 ? y 2 ? z2 1 2 ?2 2 ?32 ? ? x ? 2 y ? 3z ?2 ? 1,

所以x2 ? y2 ? z2 ? 1 ,当且仅当 x ? y ? z ,

14

1 23

即x ? 1 , y ? 1 , z ? 3 时,x2 ? y2 ? z2取最小值.

14

7

14

课堂小结
1.一般形式的柯西不等式:
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存 在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

2.一般形式的柯西不等式的应用.
对于许多不等式问题,应用柯西不等式往往简明。掌握 柯西不等式的结构特点,灵活应用.

人之为学有难易乎?学之,则难者亦易也;不学,则易 者亦难矣!

排序不等式,又称排序 原理:
设 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn 为两 组实数,若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个 排列,则和 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ancn 称为数组( a1 , a2 , a3 , …, an )和( b1 , b2 , b3 , …, bn )的乱序和,其中按相反顺序相 乘所得积的和 S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? anb1 称为反序和.按 相同顺序相乘所得积的和 S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn 称为 顺序和.则 a1b1 ?a2b2 ? ?anbn≥a1c1 ?a2c2 ? ?ancn≥a1bn ?a2bn?1 ? ?anb1,
即反序和≤乱序和≤顺序和 .
等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? bn 时成立.

谢谢观看!

对应 关系



备注

(1,2,3) (25,30,45)
(1,2,3) (25,45,30)
(1,2,3) (30,25,45)
(1,2,3) (30,45,25)
(1,2,3) (45,25,30)
(1,2,3) (45,30,25)

S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

顺序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和

发现:反序和≤乱序和≤顺序和.


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