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3.2简单的三角恒等变换(一)


§3.2简单的三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换

1

? 复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、 请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2α: sin 2α = 2sinα cosα

C2α: cos 2α = cos α ? sin α 2 2 = 2cos α ? 1 = 1? 2sin α ?
2 2

2 tanα T2α: tan 2α = 2 1 ? tan α
2

公式的变形

cos 2α = cos α ? sin α
2 2

=(cosa-sina)(cosa+sina)

1 + cos 2α = 2cos α
2

观察特点? 观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项?函数名不变 倍角化单角?少项?

1 ? cos 2α = 2sin α
2

观察特点? 观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项?函数名变 倍角化单角?少项?
3

例1 试用cos α表示 sin 半角公式: 半角公式:

2

α
2

, cos

2

α
2

, tan

2

α
2

.

Sα :
2

1 ? cos α sin = ± 2 2

α

Cα :
2

1 + cos α cos = ± 2 2
2 = ± 1 ? cos α tan = α 2 1 + cos α cos 2

α

Tα :
2

α

sin

α

求证: 例2 求证:

1 (1) sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α ? β )] 2 1 ( 2) cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] 2
变式练习: 变式练习:

1 ( 3) cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 (4) sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2

(5)sin θ + sin ? = 2 sin

θ +?
2

cos

θ ??
2

.

感受三角变换的魅力
思考: 对下面等式进行角 结构分析 分析, 思考: 对下面等式进行角、名、结构分析,
并和已有的知识做联想,你有什么体会, 并和已有的知识做联想,你有什么体会,会有 什么解题策略与方法? 什么解题策略与方法

π ), sin x ± cos x = 2 sin( x ±
4

π ). sin x ± 3 cos x = 2 sin( x ±
3

(sin x ± cos x ) = 1 ± sin 2 x
2

结论:将同角的弦函数的和差化为“一个角” 结论:将同角的弦函数的和差化为“一个角”
的“一个名”的弦函数. 一个名”的弦函数
6

感受三角变换的魅力
变形的目标: 变形的目标:化成一角一函数的结构 变形的策略:引进一个“辅助角” 变形的策略:引进一个“辅助角”

a +b
2

2

θ
a

b

a sin x + b cos x
? ? a b sin x + cos x ? = a +b ? 2 2 2 2 a +b ? a +b ?
2 2

= a + b (cos θ ? sin x + sin θ ? cos x )
2 2

= a + b sin( x + θ )
2 2

b 其中 tan = . a
7

感受三角变换的魅力
引进辅助角法: 引进辅助角法:
2 2

a 2 + b2

θ
a

b

a sin x + b cos x = a + b sin( x + θ ) b 其中 tan = a

设 y = a sinα + bcosα
使 y = Asin(ωx + ?) 函数
的性质研究得到延伸, 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用. 三角函数式中的作用.
8

例3 求函数y = sin x + 3 cos x的周期,最大的和最小的
分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简, 分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相 应的值. 应的值
点评:例3是三 角恒等变换在数 学中应用的举例 , 它使三角函数中 对函数的性质研 究得到延伸,体 现了三角变换在 化简三角函数式 中 的 作 用 .

例4

如图,已知OPQ是半径为1 圆心角为 的扇形,C是扇形 , 3 弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形 . 记∠COP = α , 求 当角α取何的时, 矩形ABCD的设积最大?并求出最大设积.

π

分析:要求当角α取何值时, 最大, 可分二步进行. 分析:要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行. 之间的函数关系; ①找出S与α之间的函数关系; 由得出的函数关系, 的最大值. ②由得出的函数关系,求S的最大值.

通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数转化为形如 通过三角变 三角变换 通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数转化为形如 y=Asin(ωα+?)的函数,从而使问 sin(ωα ωα+ 的函数, 题得到简化

感受三角变换的魅力
变式练习: 变式练习:

辅助角

求函数 y = 3 sin( π ? 2 x ) ? cos 2 x 的最小值 . 3

求函数递 增区间. 增区间

11

实践体会三角变换的魅力
变式练习: 变式练习:
设设设向设

3 1 , ), a = (cos x, sin x ),b = ( 2 2

函数 f ( x ) = a ? b + 1.

(1)求 f ( x )的的的; ( 2)求函数 f ( x )的的的的的的; 9 2π π (3)当函数 f ( a ) = ,且 < α < 时,求 5 6 3 2π sin( 2α + )的的 . 3

12

小结

对变换过程中体现的换元、 对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识, 等数学思想方法加深认识,学会灵活运用


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