当前位置:首页 >> 其它课程 >>

高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习 文


第1讲

三角函数的图象与性质

π? ? 1.(2016·四川改编)为了得到函数 y=sin?2x- ?的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象 3? ? 上所有的点向______平行移动________个单位长度. 答案 右 π 6

π? ? ? ? π ?? 解析 由题意可知,y=sin?2x- ?=sin?2?x- ??,则只需把 y=sin 2x 的图象向右平移 3? 6 ?? ? ? ? π 个单位. 6 π 2.(2016·课标全国甲改编)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后 12 图象的对称轴为______________. 答案 x=


2

π + (k∈Z) 6

π 解析 由题意将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数的解析式为 y= 12 π? π π kπ π ? 2sin?2x+ ?,由 2x+ =kπ + ,k∈Z,得函数的对称轴为 x= + (k∈Z). 6? 6 2 2 6 ? π? π ? 3. (2016·课标全国乙改编)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |≤ ?, x=- 为 f(x) 2 4 ? ? 的零点,x= ________. 答案 9 π π π ? π? T 解析 因为 x=- 为 f(x)的零点, x= 为 f(x)的图象的对称轴, 所以 -?- ?= +kT, 4 4 4 ? 4? 4 π 4k+1 4k+1 2π ?π 5π ? 即 = T= · ,所以 ω =4k+1(k∈N),又因为 f(x)在? , ?上单调,所以 2 4 4 ω ?18 36 ? 5π π π T 2 π - = ≤ = ,即 ω ≤12,由此得 ω 的最大值为 9. 36 18 12 2 2ω 4.(2016·江苏)定义在区间[0,3π ]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个 数是________. 答案 7 解析 在区间[0,3π ]上分别作出 y=sin 2x 和 y=cos x 的简图如下:
1

π ?π 5π ? 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在? , ?上单调,则 ω 的最大值为 4 ?18 36 ?

由图象可得两图象有 7 个交点.

1.以图象为载体, 考查三角函数的最值、 单调性、 对称性、 周期性.2.考查三角函数式的化简、 三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1.三角函数:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. sin α 2 2 2.同角关系:sin α +cos α =1, =tan α . cos α 3.诱导公式:在

y x


2

+α ,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

例 1 (1)角 α 终边经过点(-sin 20°,cos 20°),则角 α 的最小正角是______. 2 (2)已知 θ 是第三象限角,且 sin θ -2cos θ =- ,则 sin θ +cos θ =________. 5 31 答案 (1)110° (2)- 25 解析 (1)由题意知,角 α 是第二象限角,x=-sin 20°=-cos 70°=cos 110°,y=cos 20°=sin 70°=sin 110°, 所以 α =110°. 2 2 2 2 2 2 2 (2)由 sin θ -2cos θ =- 及 sin θ +cos θ =1 得,(2cos θ - ) +cos θ =1? 5cos θ 5 5 8 21 3 7 7 - cos θ - =0? cos θ = 或 cos θ =- ,因为 θ 是第三象限角,所以 cos θ =- , 5 25 5 25 25 24 31 从而 sin θ =- ,sin θ +cos θ =- . 25 25 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角 函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号; 利用同角三角函数的关系化简过程 要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 跟踪演练 1 (1)已知锐角 α 的终边上一点 P(1+sin 50°,cos 50°),则 α =________.
2

(2)如图, 以 Ox 为始边作角 α (0<α <π ), 终边与单位圆相交于点 P, sin 2α +cos 2α +1 ? 3 4? 已知点 P 的坐标为?- , ?,则 =________. 1+tan α ? 5 5? 18 答案 (1)20° (2) 25 解析 (1)由任意角的三角函数的定义可得 x=1+sin 50°,y=cos

y cos 50° sin 40° 50°,tan α = = = x 1+sin 50° 1+cos 40°
= 2sin 20°cos 20° =tan 20°.由 α 为锐角,得 α =20°. 2 2cos 20°

3 4 (2)由三角函数定义,得 cos α =- ,sin α = , 5 5 2sin α cos α +2cos α 2cos α α +cos α ∴原式= = sin α sin α +cos α 1+ cos α cos α
2

? 3?2 18 2 =2cos α =2×?- ? = . ? 5? 25
热点二 三角函数的图象及应用 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 (1)“五点法”作图: π 3π 设 z=ω x+φ ,令 z=0, ,π , ,2π ,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得. 2 2 (2)图象变换:

y=sin x

向左 φ 或向右 φ ― ― ― ― ― ― ― → 平移 | φ― | 个单位 倍

y=sin(x+φ )

1 横坐标变为原来的 ω ω ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― 纵坐标不变 →

y=sin(ω x+φ )

纵坐标变为原来的A A 倍 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Asin(ω x+φ ). 横坐标不变 π π 例 2 (1)函数 f(x)=sin(2x+φ )(|φ |< )的图象向左平移 个单位长度后所得图象对应 2 6 π 的函数是奇函数,则函数 f(x)在[0, ]上的最小值为________. 2 (2)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0, π 0<φ <π )的图象如图所示,则 f( )的值为__________. 3

3

答案 (1)-

3 2

(2)1

π π 解析 (1)把函数 y=sin(2x+φ )的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin(2x+ + 6 3 φ )的图象. π 因为函数 y=sin(2x+ +φ )为奇函数, 3 π 所以 +φ =kπ ,k∈Z. 3 π π 因为|φ |< ,所以 φ 的最小值是- . 2 3 π 所以函数 f(x)=sin(2x- ). 3 π π π 2π 当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ], 2 3 3 3 所以当 x=0 时,函数 f(x)取得最小值- 3 . 2

3T 11π π 2π π (2)根据图象可知,A=2, = - ,所以周期 T=π ,由 ω = =2,又函数过点( , 4 12 6 T 6 2), π 所以有 sin(2× +φ )=1,而 0<φ <π , 6 π π 所以 φ = ,则 f(x)=2sin(2x+ ), 6 6 π 2π π 因此 f( )=2sin( + )=1. 3 3 6 思维升华 (1)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法, 由图中的最高点、 最低点或特殊点求 A; 由函数的周期确定 ω ; 确定 φ 常根据“五点法” 中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的 位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换, 还是先周期变换. 变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 1 跟踪演练 2 (1)已知函数 f(x)=sin x(x∈[0,π ])和函数 g(x)= tan x 的图象交于 A,B, 2

C 三点,则△ABC 的面积为________.
(2)(2015·陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲

4

线近似满足函数 y=3sin? ________. 答案 (1) 3 π 4 (2)8

?π x+φ ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ? ?6 ?

解析 (1)由题意得 1 1 sin x= tan x? sin x=0 或 cos x= , 2 2 π π 3 因为 x∈[0,π ],所以 x=0,x=π ,x= ,三点为(0,0),(π ,0),( , ),因此△ABC 3 3 2 1 3 3 的面积为 ×π × = π . 2 2 4 (2)由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5. ∴ymax=k+3=8.

热点三 三角函数的性质 1.三角函数的单调区间:

y=sin x 的单调递增区间是[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ + ,2kπ
+ 3π ](k∈Z); 2

π 2

π 2

π 2

y = cos x 的单调递增区间是 [2kπ - π , 2kπ ](k∈Z) ,单调递减区间是 [2kπ , 2kπ +
π ](k∈Z);

y=tan x 的递增区间是(kπ - ,kπ + )(k∈Z).
2.y=Asin(ω x+φ ),当 φ =kπ (k∈Z)时为奇函数; π π 当 φ =kπ + (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ω x+φ =kπ + (k∈Z)求得. 2 2

π 2

π 2

y=Acos(ω x+φ ),当 φ =kπ + (k∈Z)时为奇函数;
当 φ =kπ (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ω x+φ =kπ (k∈Z)求得.

π 2

y=Atan(ω x+φ ),当 φ =kπ (k∈Z)时为奇函数.
π π 例 3 已知函数 f(x)=2 3sin(x+ )cos(x+ )+sin 2x+a 的最大值为 1. 4 4 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将 f(x)的图象向左平移 π 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,若方程 g(x)=m 在 x∈[0, 6

5

π ]上有解,求实数 m 的取值范围. 2 π 解 (1)∵f(x)= 3sin(2x+ )+sin 2x+a 2 π = 3cos 2x+sin 2x+a=2sin(2x+ )+a, 3 ∴2+a=1,∴a=-1. π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 12 12 ∴函数 f(x)的单调递增区间是 5π π [- +kπ , +kπ ],k∈Z. 12 12 π (2)∵将 f(x)的图象向左平移 个单位长度, 6 得到函数 g(x)的图象, π π π 即 g(x)=f(x+ )=2sin[2(x+ )+ ]-1 6 6 3 2π =2sin(2x+ )-1. 3 π 2π 2π 5π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 3 3 3 2π 2π 2π 3 ∴当 2x+ = 时,sin(2x+ )= , 3 3 3 2

g(x)取得最大值 3-1;
2π 3π 2π 当 2x+ = 时,sin(2x+ )=-1, 3 2 3

g(x)取得最小值-3.
∴实数 m 的取值范围为-3≤m≤ 3-1. 思维升华 函数 y=Asin(ω x+φ )的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ω x+φ )+B 的 形式; 第二步: 把“ω x+φ ”视为一个整体, 借助复合函数性质求 y=Asin(ω x+φ )+B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 跟踪演练 3 设函数 f(x)=2cos x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;
2

6

π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称轴方程. 6 π 2 解 (1)f(x)=2cos x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a= 2sin(2x+ )+1+a, 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π , 2 π π π 且当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π π 即 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z)时,f(x)单调递增. 8 8 3π π 所以[kπ - ,kπ + ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8 π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12 π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,sin(2x+ )=1. 4 2 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2? a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ + (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 故 y=f(x)的对称轴方程为 x=


2

π + (k∈Z). 8

π? π ? 1.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(x∈R,ω >0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .为了 5 2 ? ? 得到函数 g(x)=cos ω x 的图象,只要将 y=f(x)的图象向________平移________个单位长 度. 押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象的平移,很有代表性, 考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错. 答案 左 3π (答案不唯一) 20

解析 先求出周期确定 ω ,求出两个函数解析式,然后结合平移法则求解. π 由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,则其最小正周期 T=π , 2 π? 2π ? 所以 ω = =2,即 f(x)=sin?2x+ ?,g(x)=cos 2x. 5? T ? π? 3π π ? 把 g(x)=cos 2x 变形得 g(x)=sin?2x+ ?=sin[2(x+ )+ ],所以要得到函数 g(x) 2? 20 5 ?
7

3π 的图象,只要将 f(x)的图象向左平移 个单位长度. 20 π 2.如图,函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,|φ |≤ )与坐标轴的三个交点 P、Q、 2

R 满足 P(2,0),∠PQR= ,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为________.

π 4

押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面几何知识求 A,考查了 数形结合思想. 答案 16 3 3

解析 由题意设 Q(a,0),R(0,-a)(a>0). 则 M( ,- ),由两点间距离公式得, 2 2

a

a

PM=



a
2

2



a
2

2

=2 5,解得 a1=8,a2=-4(舍去),由此得, =8-2=6,即 T 2

T

π =12,故 ω = , 6 π 由 P(2,0)得 φ =- ,代入 f(x)=Asin(ω x+φ )得, 3

f(x)=Asin( x- ),
π 16 从而 f(0)=Asin(- )=-8,得 A= 3. 3 3 3.已知函数 f(x)=2asin ω x·cos ω x+2 3cos ω x- 3 (a>0,ω >0)的最大值为 2,x1,
2

π 6

π 3

x2 是集合 M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为 6.
(1)求函数 f(x)的解析式及其图象的对称轴方程; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y=g(x)的图象,当 x∈(-1,2]时, 求函数 h(x)=f(x)·g(x)的值域. 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或 对称中心)等, 这些都可以由三角函数解析式直接得到, 因此此类命题的基本方式是利用三角 恒等变换得到函数的解析式. 第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值), 特别是指定区

8

间上的值域(或最值),是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式. 解 (1)f(x)=2asin ω x·cos ω x+2 3cos ω x- 3 =asin 2ω x+ 3cos 2ω x. 由题意知 f(x)的最小正周期为 12, 则 2π π =12,得 ω = . 2ω 12
2 2

由 f(x)的最大值为 2,得 a +3=2, 又 a>0,所以 a=1. 于是所求函数的解析式为

f(x)=sin

π? π π ?π x+ 3cos x=2sin? x+ ?, 3? 6 6 ?6

π π π 令 x+ = +kπ (k∈Z), 6 3 2 解得 x=1+6k(k∈Z), 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=1+6k(k∈Z). π π π (2)由题意可得 g(x)=2sin[ (x-2)+ ]=2sin x, 6 3 6 所以 h(x)=f(x)·g(x) =4sin? =2sin
2

?π x+π ?·sin π x ? 3? 6 ?6
π π π x+2 3sin x·cos x 6 6 6 π π x+ 3sin x 3 3

=1-cos

π? ?π =1+2sin? x- ?. 6? ?3 π π π π 当 x∈(-1,2]时, x- ∈(- , ], 3 6 2 2 π? ?π 所以 sin? x- ?∈(-1,1], 6? ?3 即 1+2sin?

?π x-π ?∈(-1,3], 6? ?3 ?

于是函数 h(x)的值域为(-1,3].

A 组 专题通关

9

1.若 0≤sin α ≤

2 ,且 α ∈[-2π ,0],则 α 的取值范围是______________. 2

7π ? ? 5π ? ? 答案 ?-2π ,- ?∪?- ,-π ? 4 ? ? 4 ? ? 解析 根据题意并结合正弦线可知, π? ? α 满足?2kπ ,2kπ + ?∪ 4? ?

?2kπ +3π ,2kπ +π ?(k∈Z), ? ? 4 ? ?
∵α ∈[-2π ,0], 7π ? ? 5π ? ? ∴α 的取值范围是?-2π ,- ?∪?- ,-π ?. 4 4 ? ? ? ? π? π ? 2 .函数 f(x) = cos ?3x- ? 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为 3? 3 ? ________________. 2π ? ? 答案 y=cos?3x+ ? 3 ? ? 解析 π? π ? 函数 f(x) =cos?3x- ?的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析式为 y= 3? 3 ?

π π 2π cos[3(x+ )- ]=cos(3x+ ). 3 3 3 πx π 3.函数 y=2sin( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________. 6 3 答案 2+ 3 π π x π 7π 解析 因为 0≤x≤9,所以- ≤ - ≤ , 3 6 3 6 πx π π 因此当 - = 时, 6 3 2 πx π 函数 y=2sin( - )取得最大值, 6 3 即 ymax=2×1=2. 当 πx π π πx π - =- 时,函数 y=2sin( - )取得最小值, 6 3 3 6 3

π 即 ymin=2sin(- )=- 3, 3 πx π 因此 y=2sin( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3. 6 3 1 2 4.已知角 α 的终边经过点 A(- 3,a),若点 A 在抛物线 y=- x 的准线上,则 sin α = 4
10

________. 答案 1 2

1 2 解析 由条件,得抛物线的准线方程为 y=1,因为点 A(- 3,a)在抛物线 y=- x 的准线 4 上,所以 a=1,所以点 A(- 3,1),所以 sin α = 1 = . 3+1 2 1

5.函数 f(x)=Asin ω x(A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f(1) +f(2)+f(3)+…+f(2 015)的值为________. 答案 0 2π π 解析 由图可得,A=2,T=8, =8,ω = , ω 4 ∴f(x)=2sin π x, 4

∴f(1)= 2,f(2)=2,f(3)= 2,f(4)=0,f(5)=- 2,

f(6)=-2,f(7)=- 2,f(8)=0,而 2 015=8×251+7,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0. 7 π 6.已知 sin α +cos α =- ,α ∈(- ,0),则 tan α =________. 13 2 12 答案 - 5 7 49 2 解析 由 sin α +cos α =- 得(sin α +cos α ) = , 13 169 60 所以 sin α cos α =- , 169 π 因为 α ∈(- ,0),所以 sin α <0,cos α >0, 2 7 ? ?sin α +cos α =-13, 由? 60 ?sin α cos α =-169, ? 12 ? ?sin α =-13, 得? 5 cos α = , ? ? 13 sin α 12 所以 tan α = =- . cos α 5

11

π 7.已知函数 f(x)=3sin(ω x- )(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相 6 π 同,若 x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 3 答案 [- ,3] 2 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω =2,所以

f(x)=3sin(2x- ),那么当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤
1 π 3 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈[- ,3]. 2 6 2

π 6

π 2

π 6

π 6

5π , 6

8.如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sin ω x(ω >0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高 π 点和第一个最低点,且∠AOB= ,则该函数的周期是______. 2

答案 4 π 3π π π 3π 解析 由题意可设 A( , 3),B( ,- 3),又∠AOB= ,所以 × + 3(- 3) 2ω 2ω 2 2ω 2ω π 2π =0? ω = ? T= =4. 2 ω

? π? 9.已知函数 f(x)=cos?x- ?. 4? ?
π? 3 π 3π ? (1)若 f(α )= ,其中 <α < ,求 sin?α - ?的值; 4? 5 4 4 ?

? π? ? π π? (2)设 g(x)=f(x)·f?x+ ?,求函数 g(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 2? ? ? 6 3?
π? 3 ? 解 (1)因为 f(α )=cos?α - ?= , 4? 5 ? π? 4 π π ? 且 0<α - < ,所以 sin?α - ?= . 4? 5 4 2 ?

? π? (2)g(x)=f(x)·f?x+ ? 2? ? ?π ? ? π? =cos? -x?·cos?x+ ? 4 4? ? ? ?

12

?π ? ? π? 1 =sin? +x?·cos?x+ ?= cos 2x. 4? 2 ?4 ? ? ? π π? ? π 2π ? x∈?- , ?时,2x∈?- , ?. ?
6 3?

?

3

3 ?

1 则当 x=0 时,g(x)的最大值为 ; 2 π 1 当 x= 时,g(x)的最小值为- . 3 4 π? ? ? π? 10.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ? π 7π ? ? π? 解 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2 6 ? 6 ?6 ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得,f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ?
π? ? =4sin?2x+ ?-1, 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1,∴sin?2x+ ?> , 6 6? 2 ? ? ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时, 6 6 2

?

π?

?

7π ?

g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + ,k∈Z,
π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ?

π 6

13

π π 5π 又∵当 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时, 2 6 6

g(x)单调递减,即 kπ + <x<kπ + ,k∈Z,
π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ?

π 6

π 3

B 组 能力提高 π? π ? 11.已知函数 f(x)=2sin?2x+ ?,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 6? 6 ?

g(x)的图象.关于函数 g(x),给出以下四个命题,其中正确的是________.

?π π ? ①在? , ?上是增函数; ?4 2?
π ②其图象关于直线 x=- 对称; 4 ③函数 g(x)是奇函数;

?π 2π ? ④当 x∈? , ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1]. 3 ? ?6
答案 ④ π? π ? 解析 因为 f(x)=2sin?2x+ ?,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得 g(x)= 6? 6 ?

f?x+ ?=2sin[2(x+ )+ ]=2sin(2x+ )=2cos 2x. 6

? ?

π?

?

π 6

π 6

π 2

画出 g(x)的部分图象,如图所示.

?π π ? 由图可知,函数 g(x)在? , ?上是减函数,①错误; ?4 2?
其图象的一个对称中心为(- π ,0),②错误; 4

函数 g(x)为偶函数,③错误;

?π ? ? π? 又 g? ?=2cos?2× ?=1, 6? ?6? ?
g?

?2π ?=2cos?2×2π ?=-1, ? ? ? 3 ? ? 3 ? ?

14

g? ?=2cos?2× ?=-2, 2 2

?π ? ? ?

? ?

π?

?

所以当 x∈? ④正确.

?π ,2π ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1], ? 3 ? ?6

12.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (0<φ <π )的图象如图所示,若 f(x0) π 5π =3,x0∈( , ),则 sin x0 的值为______. 3 6 答案 3 3+4 10

1 2π 4π π 解析 由函数的图象,得 A=5,且 · = - , 2 ω 3 3 π π π 解得 ω =1.由五点法作图,得 +φ = ,解得 φ = , 3 2 6 π 故函数的解析式为 f(x)=5sin(x+ ). 6 π 5π 由 f(x0)=3,x0∈( , ),得 3 6 π 5sin(x0+ )=3, 6 π 3 即 sin(x0+ )= , 6 5 π 4 所以 cos(x0+ )=- . 6 5 π π π π π π 3 3 4 1 sin x0=sin[(x0+ )- ]=sin(x0+ )·cos -cos(x0+ )sin = × -(- × ) 6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 = 3 3+4 . 10

13.函数 f(x)=sin ω x(ω >0)的部分图象如图所示,点 A,B 是最高点,点 C 是最低点,若 1 △ABC 是直角三角形,则 f( )=________. 2

答案

2 2

1 解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,所以 AB=f(x)max-f(x)min=1- 2

15

(-1)=2, 2π π 即 AB=4,而 T=AB= =4,解得 ω = . ω 2 πx 所以 f(x)=sin , 2 1 π 2 所以 f( )=sin = . 2 4 2 π 2 14. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+ )(A>0, ω >0), g(x)=tan x, 它们的最小正周期之积为 2π , 4

f(x)的最大值为 2g(

17π ). 4

(1)求 f(x)的单调递增区间; 3 2 π 2 (2)设 h(x)= f (x)+2 3cos x,当 x∈[a, )时,h(x)有最小值为 3,求 a 的值. 2 3 2π 2 解 (1)由题意,得 ·π =2π , ω 所以 ω =1. 17π 17 π 又 A=2g( )=2tan π =2tan =2, 4 4 4 π 所以 f(x)=2sin(x+ ). 4 π π π 令 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π π 得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 3π π 故 f(x)的单调递增区间为[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z). 4 4 3 2 2 (2)因为 h(x)= f (x)+2 3cos x 2 3 π 2 2 = ×4×sin (x+ )+2 3cos x 2 4 =3(sin x+cos x) +2 3cos x =3+3sin 2x+ 3(cos 2x+1) π =3+ 3+2 3sin(2x+ ), 6 又 h(x)有最小值为 3, π 所以有 3+ 3+2 3sin(2x+ )=3, 6
2 2

16

π 1 即 sin(2x+ )=- . 6 2 π 因为 x∈[a, ), 3 π π 5π 所以 2x+ ∈[2a+ , ), 6 6 6 π π π 所以 2a+ =- ,即 a=- . 6 6 6

17


相关文章:
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习 文 - 第1讲 三角函数的图象与性质 π? ? 1.(2016...
...增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第1讲三....doc
2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质试题 - 第1讲 三角函数的图象与性质 π? ? 1.(2015山东)要...
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第2讲 三
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第2讲 三
版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角....doc
高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第2讲三角变换与解
2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解....doc
2016版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第2讲三角
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第2讲 三
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第3讲 平面向量练习 理 - 第3讲 平面向量 3? → ? 3 1? → ?1 1.(2016课标...
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第3讲 平面向量练习 文 - 第3讲 平面向量 3? → ? 3 1? → ?1 1.(2016课标...
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习 理 - 第1讲 三角函数的图象与性质 π? ? 1.(2016...
...大二轮总复习与增分策略专题三第3讲平面向量_图文.ppt
【新步步高】2017版高考数学(理江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题三第3讲平面向量 - 专题三 三角函数解三角形与平面向量 第3讲 平面向量 栏目索引 1 高考...
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析3 三角函数解三角形平面向量练习 理_六年级语文_语文_小学教育_教育专区。高考数学大二轮总复习与...
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材3 三....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材3 三角函数解三角形平面向量练习 文 3.三角函数解三角形平面向量 1. α 终边与 θ 终边相同(α 的...
...大二轮总复习与增分策略专题三第1讲三角函数的图象....ppt
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题三第1讲...专题三 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 栏目索引 ...
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材3 三....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材3 三角函数解三角形平面向量练习 文 3.三角函数解三角形平面向量 1. α 终边与 θ 终边相同(α 的...
...高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材3三....doc
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材3三角函数解三角形平面向量练习文 3.三角函数解三角形平面向量 1. α 终边与 θ ...
...大二轮总复习与增分策略专题三 第1讲三角函数图象与....ppt
【新步步高】2017版高考数学(理江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题三 第1讲...专题三 三角函数解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 栏目索引 ...
...版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第3讲 三....doc
全国通用)版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第3讲 三角函数解三角形平面向量 3.三角函数解三角形平面向量 1. α 终边与 θ 终边相同(α 的...
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错....doc
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析3 三角函数解三角形平面向量练习 理 3.三角函数解三角形平面向量 1. α 终边与 θ 终边...
...版高考数学(文 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配....ppt
【新步步高】2017版高考数学(文 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套课件 第...三角函数解三角形平面向量 栏目索引 1 要点回扣 易错警示查缺补漏 2 3 ...