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弧度制PPT课件修改版


弧度制(一)

身高:2.26米
体重:125千克

1米=3.28043英尺 1千克=0.4536磅

在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制, 另外一种度量制---弧度制.

一、知识回顾

? 1、角度制的定义
?规定周角的1/360为1度的角,这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。

60°

90°

2、弧长公式:

n? r l? 180
l

l n° r

3、扇形的面积公式:

S 扇形

n? 2 ? R 360

O

S

l

R

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。 “弧度”常用“rad”表示。

二、弧度制 1 、弧度制的定义

设弧AB的长为L,
若L=r, L = 1 弧度 则∠AOB=

B O

r

L=r 1弧度 A r

L = 2 弧度 若L=2r,则∠AOB = r

3r

L = 3 弧度 若L=3r,则∠AOB = r
若圆心角∠AOB表示一个负角,且 它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 L 数的绝对值是 = 3,

3rad

r

L = -3弧度 即∠AOB=- r

r

O

r

A

B

-3弧度
L=3r

2.正角的弧度数 负角的弧度数

正数 负数

零角的弧度数
正角 负角 零角 正数 负数 0



任意角的集合

实数集R

3.任一已知角α的弧度数的绝对值

l ? ? r
其中 l 为以角 作为圆心角时所对圆弧的 长,r为圆的半径.

α

4.

l = |α| r

(弧长计算公式)

提问:为什么可以用弧长与其半 提问:为什么可以用弧长与其 半径的比值来度量角的大小呢?即 径的比值来度量角的大小呢?即这 B 这个比值是否与所取的圆的半径大 个比值是否与所取的圆的半径大小 小有关呢? 有关呢? L B`
O r R A`


l A

结论:当半径不同时,同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数

5、弧度与角度的换算

L 若L=2 π r,则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

L=2 π r

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

O

r

(B) A

180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
π 1°= —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 180 180)°≈ 57.30°= 57°18′ 1弧度 =(—— π

三、例题
(1)、把67°30′化成弧度。
? 1? 解:67 30' ? ? 67 ? ? 2?
? ?

1 3 67 30' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8
?

?

3 (2)、把 —π 弧度化成度。 5

3 3 ? ? ? rad ? ? 180 ? 108 解: 5 5

(3)、把-35°化成弧度。

解:


35 ? -
?

?
180

rad

×

35 ? -

7

36

? rad

4 (4)、把 —π 弧度化成度。 3
4 解: ? rad 3
?

4 3

×

180

?

? 240

?

填一填:
注意:
度数
弧度 数

1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360?

0?

0

?
6

?
4

?
3

? 2? 3? 5?
2 3 4 6

? 3? 2?
2

2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省略不 写,但用“度”(°)为单位不能省略。 3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式。如无 特别要求,不用将π化成小数。

4、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后,我们应将它与角度制进行 比较,同学们应明确:①弧度制是以“弧 度”为单位度量角的制度,角度制是以“ 度”为单位度量角的制度;②1弧度是等于 半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的 大小,而 是圆的 所对的圆心角(或该弧) 的大小;③不论是以“弧度”还是以“度 ”为单位的角的大小都是一个与半径大小 无关的定值.

练习1:教材P11练习1、2、3

? [例2] 如图所示. ? (1) 分别写出终边落在 OA , OB位置上的角 的集合; ? (2) 写出终边落在阴影部分 (包括边界 )的角 的集合.

? 如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与 x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分 的角的集合(不包括边界).

? [ 例 3] 已知扇形的面积为 S ,当扇形的中 心角为多少弧度时,扇形的周长最小?并 求出此最小值. ? [分析] 欲求周长C的最小值,以扇形的半 径 r 为自变量确定函数关系,转化为求函 数最值.

? 已知一扇形的周长为c(c>0),当扇形的圆心 角为何值时,它的面积最大?求出面积的 最大值?
[分析]

1 根据扇形面积公式 S= lr 和弧长公式 l=|α|· r, 2

把面积 S 表示成圆心角 α 的函数,转化为求函数的最值.

四、课堂小结:
1.弧度制定义 2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
150° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 120 °135° 弧 0 度

?
6

?
4

? 3

?
2

2? 3

3? 4

5? 6

思考与作业:
用弧度制表示 (1)终边落在45°角的终边上的所有角的集合

(2)第Ⅱ象限角的集合

谢 谢 指 导!


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