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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 4 概率统计


1、 (2007 一试 3 )将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码 不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个 球,其号码为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( ) A.

52 81

B.

59 81

C.

60 81

D.

61 81

2、 (2008 一试 3)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜 者得 1 分,负者得 0 分,比赛 进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 ,乙在每局 3

1 中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 ( ) 。 3
(A)

241 81

(B)

266 81

(C)

274 81

(D)

670 243

方法二: 依题意知,? 的所有可能值为 2、4、6.令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表 示乙在第 k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

2 1 16 P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 因此 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? .故选 B。 9 81 81 81

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

3、 006 一试 12)袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个 (2 白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 .

4、 (2009 一试 8)某车站每天 8 00 ~ 9 00 , 9 00 ~10 00 都恰有一辆客车到站,但到站的 ∶ ∶ ∶ ∶ 时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 10 ∶ 8 30 ∶ 8 50 ∶ 到站时 刻 9 10 ∶ 9 30 ∶ 9 50 ∶ 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分) . ∶ 【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间(分) 10 30 50 70 90 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 概率 2 6 2 6 6 3 6 3 1 1 1 1 1 候车时 间的数学期望为 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 27 2 3 36 12 18
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学§科§网 Z§X§X§K]

5、 (2010 一试 6)两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

6、 (2012一试8)某情报站有 A, B, C, D 四种互不相同的密码,每 周使用其中的一种密码, 且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能 地随机选用一种.设第1周使用A种密码, 那么第7周也使用A种密码的概率是 .(用最简分数表示)

61 243 【解析】用 Pk 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为
【答案 】

1? 1 1 1 1 ? 1 ? Pk .于是,有 Pk ?1 ? (1 ? Pk ), k ? N ? ,即 Pk ?1 ? ? ? ( Pk ? ) 由 P ? 1 知,? Pk ? ? 是 1 4? 3 4 3 4 ? 3 1 1 3 1 k ?1 3 1 k ?1 1 首项为 ,公比为 ? 的等比数列。所以 Pk ? ? (? ) ,即 Pk ? (? ) ? ,故 4 3 4 4 3 4 3 4

P7 ?

61 243

7、 (2004 一试 13)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要 抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n n 次抛掷所出现的点数的和大于 2 ,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?⑵ 他连过前三关的概率是多少?

8、 (2005 一试 14)将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每 个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到 最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则 认为是相同的放法)

由上知, 当每个弧段上的球号 {1, x1 , x 2 ,? x k ,9} 确定之后, 达到最小值的排序方案便唯一确 定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较 少的一个子集共有 C 7 ? C 7 ? C 7 ? C 7 ? 2 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达到最
0 1 2 3 6

26 1 小的唯一排法,即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P ? ? . 8! 315 2
6

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