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《金版新学案》新课标人教A版必修1教学课件:集合与函数的概念 1 本章高效整合


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集合与函数的概念

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1.集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题.

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(2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的 子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. ③能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.

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2.函数及其表示 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义 域和值域;了解映射的概念. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用. 3.函数的基本性质 (1)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意 义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (2)会运用函数图象理解和研究函数的性质.
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1.集合 (1)以考查集合的运算为主,同时考查集合的性质及 集合与元素、集合之间的关系,同时注意“Venn”图 的考查. (2)以选择题为主,也有填空题以及与其他知识结合 的大题. (3)本节是高中数学的起始章节,对函数的学习至关 重要,是高考必考内容,但都属于低档题、送分题 .
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2.函数及其表示 (1)本节是函数部分的起始部分,以考查函数的概念 、三要素及表示法为主,同时考查实际问题中的建 模能力. (2)以多种题型出现在高考试题中,要求相对较低, 但很重要.特别是函数的表达式,对以后函数应用 起非常重要的作用.

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3.函数的基本性质 (1)函数性质是本节的重点内容,特别是函数的单调 性及最值问题.函数的性质是函数的核心内容,以 性质为载体考查数列、三角、方程、不等式等有关 知识的最值问题,是高考考查的热点.

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(2)函数的图象是“形”与“数”的有机结合.函数图象 中识图、作图、用图是生活、生产、学习其他知识 必需具备的能力,以图象为载体着重考查函数的性 质等有关知识. (3)函数图象以客观题为主,且抽象函数较多,在高 考中是考查的热点.

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集合是数学中最基本的概念,学习集合知 识一是要注意把集合知识作为一种语言来学习,集 合语言是用集合的有关概念和符号来描述问题的语 言,集合语言能简洁、准确地表达相关的数学内容 .二是要注意使用集合间的运算法则或运算思想, 解决一些逻辑关系较复杂的问题,例如运用补集思 想解决问题等.

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1.要注意理解并正确运用集合概念 正确理解一个集合,首先要注意这个集合的表示方 法,然后看这个集合是有限集还是无限集,还要注 意用描述法表示的集合中的元素的属性.最后再运 用集合的运算性质转化为方程(组)或不等式(组)求解 .

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(1)设集合A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B =________; (2)设集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1 ,x∈R},则M∩N=( ) A.(0,1),(0,2) B.{(0,1),(0,2)} C.{y|y=1或y=2} D.{y|y≥1}

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解析: (1)集合A的元素为数,即表示二次函数y= x2自变量的取值集合;集合B的元素为点,即表示抛 物线y=x2上的点.这两个集合不可能有相同的元素 ,故A∩B=?. (2)集合M,N的元素都是数,即分别表示定义域为 实数集R时,函数y=x2+1与y=x+1的值域,不是 数对或点,故选项A,B错误.而M={y|y=x2+1, x∈R}={y|y≥1},N={y|y∈R},故M?N,所以M∩N =M. 答案: (1)? (2)D

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2.要充分注意集合元素的互异性 集合元素的互异性,是集合的重要属性,在解题中 ,集合中元素的互异性常常忽略,从而导致解题的 失败.下面再结合例题进一步讲解,以强化对集合 元素互异性的认识.

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已知集合A={1,3,-x3},B={1,x+2},是否存在 实数x,使得B∪(?AB)=A?若存在,求出集合A,B ;若不存在,说明理由. 解析: 假设存在x,使得B∪(?AB)=A, 即B A. ①若x+2=3,则x=1,此时A={1,3,-1},B= {1,3},符合题意. ②若x+2=-x3,则x=-1,此时A={1,3,1},B= {1,1},均不满足集合中元素的互异性,所以x=-1 不合题意. 综上,存在x=1使得B∪(?AB)=A,此时,A={1,3 ,-1},B={1,3}.
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3.要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任何 集合的子集,是任何非空集合的真子集,在解决集 合之间关系问题时,它往往易被忽视而导致解题失 误.

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已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 A∪B=A,求实数a组成的集合C.

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解析: 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2, ∴A={1,2},∵A∪B=A,∴B?A. (1)当 B=?时,a=0,此时方程 ax-2=0 无解, ∴a=0 时满足 B?A. 2 (2)当 B≠?时,B={x|ax-2=0}={a}?{1,2}=A, 2 2 ∴a=1 或a=2,∴a=2 或 1. 综上,实数 a=0,1,2,∴集合 C={0,1,2}.

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4.要注意数轴分析法在求集合交、并、补集中的运 用对初学者来说,在进行集合的交集、并集、补集 运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而极易 出错.此时,数轴分析法是个好帮手,能将复杂问 题直观化,在具体应用时,要注意端点是实心还是 空心,以免增解或漏解.

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已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x< -1或x>4},那么集合A∩(?UB)等于( ) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

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解析: 在数轴上标注A及?UB,再找其公共部分. ∵B={x|x<-1或x>4}∴?UB={x|-1≤x≤4}. ∴A∩?UB={x|-1≤x≤3}.

答案:

D

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已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x-m<0}. (1)若A∩B=?,求实数m的取值范围. (2)若A B,求实数m的取值范围.

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解析: 如图. (1)由数轴知,若A∩B=?,只有m≤-2.

(2)若A?B,只有m≥4.

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函数的奇偶性与单调性

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、 对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势,从 近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现 了“小”、“巧”、“活”的特征,做题时应注重上述 性质知识间的融合.

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ax2+1 已知函数 f(x)= (a,b,c∈Z)是奇函数,又 f(1) bx+c =2,f(2)<3,求 a、b、c 的值.

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解析: ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). a?-x?2+1 ax2+1 ∴ =- . -bx+c bx+c ∴-bx+c=-bx-c. ∴c=0. a+1 又∵f(1)=2,∴ =2.∴a+1=2b. b+c 4a+1 4a+1 由 f(2)<3 得 <3,∴ <3. 2b+c a+1 a-2 ∴ <0. a+1
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∴-1<a<2,而 a、b、c∈Z. ∴a=1 或 a=0. 1 当 a=0 时,b= ?z; 2 当 a=1 时,b=1∈Z; ∴a=1,b=1,c=0.

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已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) <f(a2-1),求a的取值范围.
解析: ∵f(x)是在定义域(-1,1)上的减函数, 解得 0<a<1.
?-1<1-a<1, ? ?-1<a2-1<1, ∴ ? 1-a>a2-1. ?

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函数的图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的 直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质 ,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质 ,有助于图象正确的画出. 函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解 题具有直观、明了、易懂的优点.在历届高考试题 中,常出现有关函数图象和利用图象解题的试题.

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设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3), (1)证明f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区 间上f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域.

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解析: (1)证明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)当 x≥0 时, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, ??x-1?2-2 ?0≤x≤3? 即 f(x)=? . 2 ?-3≤x<0? ??x+1? -2

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根据二次函数的作图方法,可得函 数图象如图. (3)函数 f(x)的单调区间为[-3,- 1],[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数, 在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)当 x≥0 时, 函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为- 2, 最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时, 函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2, 最大值为 f(-3)=2.故函数 f(x)的值域为[-2,2].
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1.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a<1 C.a≤2 D.a>2

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解析: ∵B={x|1<x<2}, ∴?RB={x|x≤1 或 x≥2}. 由 A∪(?RB)=R,如下图所示 可知 a≥2,故选 A.
答案: A

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2.函数 y= 1-x+ x的定义域为( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1 或 x≤0} D.{x|0≤x≤1}

解析:
答案:

?1-x≥0, ? ?0≤x≤1.故选 D. ?x≥0

D

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3.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确 的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数

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解析:

答案:

C

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4.已知集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-a≤0},若 M∩N≠?,则a的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.[-1,+∞) C.(-1,+∞) D.[-1,1] 解析: N={x|x≤a} ∵M∩N=? ∴a≥-1.故选B 答案: B

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5.已知集合{2x,x+y}={7,4},则整数x=_____,y =________.

解析: 由集合相等的定义知, ?2x=7 ?2x=4 ? 或? , ?x+y=4 ?x+y=7
? ?x=7 ? 2 解得? 1 ? ?y=2 ? ?x=2 或? , ?y=5

又 x,y 是整数,所以 x=2,y=5.
答案: 2 5
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k 1 k 1 6.设集合 M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x= + ,k 2 4 4 2 ∈Z},则集合 M 与 N 的关系为________. 2k+1 解析: ∵M={x|x= ,k∈Z} 4 k+2 N={x|x= ,k∈Z} 4 ∵k∈Z∴2k+1 是奇数,k+2 是整数. ∴M N
答案: M N

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7.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1 =0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范 围. 解析: 由A∩B=B得B?A,而A={-4,0}, Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8, 当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=?,符合B?A; 当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B?A; 当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而 B?A={-4,0}, ∴B={-4,0},得a=1.∴a=1或a≤-1
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8.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)求实数a的范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调 函数; (2)求f(x)的最小值. 解析: (1)f(x)=(x+a)2+2-a2, 可知f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=-a, 要使f(x)在[-5,5]上单调,则-a≤-5或-a≥5, 即a≥5或a≤-5.

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(2)当-a≤-5,即 a≥5 时,f(x)在[-5,5]上是增 函数, 所以 f(x)min=f(-5)=27-10a. 当-5<-a≤5,即-5≤a<5 时, f(x)min=f(-a)=2-a2, 当-a>5, a<-5 时, 即 f(x)在[-5,5]上是减函数, 所以 f(x)min=f(5)=27+10a,
?27-10a ?a≥5? ? 2 ?2-a ?-5≤a<5?. 综上可得,f(x)min= ? ?27+10a ?a<-5?

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