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等差数列前n项和性质和应用2


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等差数列的前n项和公式:

形式1:

n(a1 ? an ) Sn ? 2

形式2:

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2
则 Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

练习:已知数列{an}是等差数列,且 a1= 21,公差d=-2,求这个数列的 前n项和Sn的最大值。

等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), an 此时有:S偶-S奇= nd , S奇 ?

S偶

an ? 1

性质2:(2)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S奇-S偶= an ,

S奇 S偶

n ? n?1

Sn 性质3: { } 为等差数列. n

两等差数列前n项和与通项的关系

性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1

性质5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=- -(m+p) (m+p)
例1.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 -110 . 例2.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 b5 bn
.

a5 64 ? b5 63

an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

例3、已知一个等差数列前n项和为25, 前2n项的和为100,求前3n项和。

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )

A.63

B.45

C.36

D.27

例5.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

例6、已知等差数列 ?an ? 的前10项之和
为140,其中奇数项之和为125 ,

求第6项。

解:由已知 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 140
a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? 125

则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 15

?5a6 ? 15
故 a6 ? 3

例7. 一个等差数列的前12项之和为354, 前12项中偶数项与奇数项之比为32:27, 求公差。
解一:设首项为a1,公差为d,则

12?11 ? ? 12a1 ? 2 d ? 354 ? 6?5 ? ? 2d ? 6(a1 ? d ) ? 32 2 ? ? 17 ? 6a ? 6 ? 5 ? 2d 1 ? 2 ?

?d ?5

例5. 一个等差数列的前12项之和为354, 前12项中偶数项与奇数项之比为32:27, 求公差。
解二:

?S 奇 ? S 偶 ? 354 ?S 偶 ? 192 由 ?S ?? ? 偶 ? 32 S 奇 ? 162 ? ?S 27 ? 奇

? S偶 ? S奇 ? 6d

?d ?5

例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

例9:已知等差数列 ?an ? 中,
S p ? q, S q ? p? p ? q?

求 S p ?q 的值。

p ? p ? 1? ? ?d ?q ? pa1 ? ?a1 ? ? 2 解法1: ?? ? ?d ? ? p ? qa ? q ?q ? 1? ? d 1 ? 2 ?

代入下式得:
S p?q

? p ? q ?? p ? q ? 1? ? d ? ? p ? q ?a1 ?
2

? ?? p ? q ?

S n ? An2 ? Bn n ? N * 解法2:设

?

?

? Ap 2 ? Bp ? q ? 2 2 ? A p ? q ? B? p ? q ? ? q ? p ? 2 ? Aq ? Bq ? p ?

?

?

? A? p ? q? ? B ? ?1
? A? p ? q? ? B ? p ? q? ? ? ? p ? q?
2

? S p ?q ? ? ? p ? q ?

p ( p ? 1) ? S p ? pa1 ? d ?q ? ? 2 解法3:由已知 ? q (q ? 1) ? S ? qa ? d?p q 1 ? ? 2 ( p ? q)( p ? q ? 1) d ?q? p 两式相减得 ( p ? q)a1 ? 2

?p?q
? S p?q

p ? q ?1 ? a1 ? d ? ?1 2

( p ? q)( p ? q ? 1) ? ( p ? q)a1 ? d ? ?( p ? q ) 2

练习:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2

3.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd ,

S偶

an ? 1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S奇-S偶= an ,

S奇 S偶

n ? n?1

Sn 性质5: { } 为等差数列. n

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1


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