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2015年北京市高考数学试卷(文科)解析


2015 年北京市高考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分) (2015?北京)若集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3} 2. (5 分) (2015?北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) 2 2 2 A.(x﹣1) +(y﹣1) B.B(x+1) +(y+1) C.(x+1) +(y+1) D.(x﹣1)2+(y﹣1)
2

=1

2

=1

2

=2

2

=2

3. (5 分) (2015?北京)下列函数中为偶函数的是( ) 2 2 A.y=x sinx B.y=x cosx C.y=|lnx|

D.y=2

﹣x

4. (5 分) (2015?北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调 查教师的身体状况, 在抽取的样本中, 青年教师有 320 人, 则该样本的老年教师人数为 ( ) 类别 人数 900 老年教师 1800 中年教师 1600 青年教师 4300 合计 A.90 B.100 C.180 D.300 )

5. (5 分) (2015?北京)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(

第 1 页(共 20 页)

A.3

B.4

C .5

D.6

6. (5 分) (2015?北京)设 , 是非零向量,“ A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

=| || |”是“

”的(



B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7. (5 分) (2015?北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(

A.1

B.

C.

D.2

8. (5 分) (2015?北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时 的情况 加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)
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35000 2015 年 5 月 1 日 12 35600 2015 年 5 月 15 日48 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均耗 油量为 ( ) A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升

二、填空题 9. (5 分) (2015?北京)复数 i(1+i)的实部为



10. (5 分) (2015?北京)2 ,3

﹣3

,log25 三个数中最大数的是



11. (5 分) (2015?北京)在△ ABC 中,a=3,b=

,∠A=

,则∠B=



12. (5 分) (2015?北京)已知(2,0)是双曲线 x ﹣ b= .

2

=1(b>0)的一个焦点,则

13. (5 分) (2015?北京)如图,△ ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大值为 .

14. (5 分) (2015?北京)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩, 数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

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从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学系两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是

; .

三、解答题(共 80 分) 15. (13 分) (2015?北京)已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值. sin
2

16. (13 分) (2015?北京)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4﹣a3=2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项相等? 17. (13 分) (2015?北京)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁 四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 甲乙丙丁 100√ × √ √ 217× √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98× √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 18. (14 分) (2015?北京)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为 等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB
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(3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

19. (13 分) (2015?北京)设函数 f(x)=

﹣klnx,k>0.

(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,
2 2

)上仅有一个零点.

20. (14 分) (2015?北京)已知椭圆 C:x +3y =3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的 直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.

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2015 年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分) (2015?北京)若集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用集合的交集的运算法则求解即可. 解答: 解:集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3}, 则 A∩B={x|﹣3<x<2}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.
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2. (5 分) (2015?北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x﹣1) +(y﹣1) B.B(x+1) +(y+1) C.(x+1) +(y+1) D.(x﹣1) +(y﹣1)
2

=1

2

=1

2

=2

2

=2

考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程. 解答: 解:由题意知圆半径 r= , 2 2 ∴圆的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2. 故选:D. 点评: 本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.
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3. (5 分) (2015?北京)下列函数中为偶函数的是( ) 2 2 A.y=x sinx B.y=x cosx C.y=|lnx|

D.y=2

﹣x

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先从定义域上排除选项 C,然后在其他选项中判断﹣x 与 x 的函数值关系,相等的 就是偶函数. 2 2 解答: 解:对于 A, (﹣x) sin(﹣x)=﹣x sinx;是奇函数; 2 2 对于 B, (﹣x) cos(﹣x)=x cosx;是偶函数; 对于 C,定义域为(0,+∞) ,是非奇非偶的函数;
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对于 D,定义域为 R,但是 2 =2 ≠2 ,2 ≠﹣2 ;是非奇非偶的函数; 故选 B 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函
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﹣(﹣x)

x

﹣x

x

﹣x

数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断 f(﹣x)与 f(x) 关系,相等是偶函数, 相反是奇函数. 4. (5 分) (2015?北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调 查教师的身体状况, 在抽取的样本中, 青年教师有 320 人, 则该样本的老年教师人数为 ( ) 类别 人数 900 老年教师 1800 中年教师 1600 青年教师 4300 合计 A.90 B.100 C.180 D.300

考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16,即可得出结论. 解答: 解:由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16, 因为青年教师有 320 人,所以老年教师有 180 人, 故选:C. 点评: 本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.
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5. (5 分) (2015?北京)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(



A.3 考点: 程序框图.

B.4

C .5

D.6

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第 7 页(共 20 页)

专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,k 的值,当 a= 退出循环,输出 k 的值为 4. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=0,a=3,q= a= ,k=1 不满足条件 a< ,a= ,k=2 不满足条件 a< ,a= ,k=3 不满足条件 a< ,a= ,k=4

时满足条件 a< ,

满足条件 a< ,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.

6. (5 分) (2015?北京)设 , 是非零向量,“ A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

=| || |”是“

”的(



B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 由 便可得到 夹角为 0,从而得到 ∥ ,而 ∥ 并不能得到 夹
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角为 0,从而得不到 正确选项. 解答: 解: (1) ∴ ∴ ∴ ∥ ; ∴“ 时,cos ;

,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出

; =1;

”是“ ∥ ”的充分条件;
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(2) ∥ 时, ∴ 即 ∥ 得不到 ∴“ ∴总上可得“

的夹角为 0 或 π; ,或﹣ ; ”不是“ ∥ ”的必要条件; ”是“ ∥ ”的充分不必要条件. ;

故选 A. 点评: 考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积 的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义. 7. (5 分) (2015?北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )

A.1

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是四棱锥, 且四棱锥的一条侧棱与底面垂直, 结合直观图求相关几何量的数据, 可得答案 解答: 解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直, 底面为正方形如图:
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其中 PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形 ∴PA=1,AB=1,AD=1, ∴PB= ,PC= = . PD= 该几何体最长棱的棱长为: 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题, 根据三视图判断几何体的结构特征是 解答本题的关键 8. (5 分) (2015?北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时 的情况 加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米) 35000 2015 年 5 月 1 日 12 35600 2015 年 5 月 15 日48 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均耗 油量为 ( ) A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升 考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由表格信息,得到该车加了 48 升的汽油,跑了 600 千米,由此得到该车每 100 千米 平均耗油量. 解答: 解:由表格信息,得到该车加了 48 升的汽油,跑了 600 千米,所以该车每 100 千米 平均耗油量 48÷6=8; 故选:B. 点评: 本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.
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二、填空题 9. (5 分) (2015?北京)复数 i(1+i)的实部为 ﹣1 . 考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的乘法运算法则,求解即可. 解答: 解:复数 i(1+i)=﹣1+i, 所求复数的实部为:﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.
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10. (5 分) (2015?北京)2 ,3 考点: 不等式比较大小.

﹣3

,log25 三个数中最大数的是

log25 .

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专题: 函数的性质及应用. 分析: ﹣3 运用指数函数和对数函数的单调性,可得 0<2 <1,1<3 即可得到最大数. 解答: ﹣3 解:由于 0<2 <1,1<3

<2,log25>log24=2,

<2,

log25>log24=2, 则三个数中最大的数为 log25. 故答案为:log25. 点评: 本题考查数的大小比较, 主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用, 属于基础题. 11. (5 分) (2015?北京)在△ ABC 中,a=3,b=

,∠A=

,则∠B=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理可得 sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角 B. 解答: 解:由正弦定理可得,
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=



即有 sinB=

=

=



由 b<a,则 B<A, 可得 B= . .

故答案为:

点评: 本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.

12. (5 分) (2015?北京) 已知 (2, 0) 是双曲线 x ﹣

2

=1 (b>0) 的一个焦点, 则 b=



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 求得双曲线 x ﹣ =1(b>0)的焦点为(
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,0) , (﹣

,0) ,可得 b 的

方程,即可得到 b 的值. 解答: 2 解:双曲线 x ﹣ =1(b>0)的焦点为(
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,0) , (﹣

,0) ,

由题意可得

=2,

解得 b= . 故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题. 13. (5 分) (2015?北京)如图,△ ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大值为 7 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解答: 解:由 z=2x+3y,得 y= ,
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平移直线 y=

,由图象可知当直线 y=

经过点 A 时,直线 y=

的截距最大,此时 z 最大. 即 A(2,1) . 此时 z 的最大值为 z=2×2+3×1=7, 故答案为:7.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 14. (5 分) (2015?北京)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩, 数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
第 12 页(共 20 页)

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ; ②在语文和数学系两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 . 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 概率与统计. 分析: 根据散点图分析三位同学总成绩名次,语文、数学名次. 解答: 解:由高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与 总成绩在全年级的排名情况的散点图可知 ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙; ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学; 故答案为:乙;数学. 点评: 本题考查了对散点图的认识;属于基础题.
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三、解答题(共 80 分) 15. (13 分) (2015?北京)已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值. sin
2

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ )﹣ ,由三角
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函数的周期性及其求法即可得解; (2)由 x∈[0, ],可求范围 x+ ∈[ ,π],即可求得 f(x)的取值范围,即可

得解. 解答: 解: (1)∵f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣2 ×

sin

2

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=sinx+

cosx﹣ )﹣ =2π;

=2sin(x+

∴f(x)的最小正周期 T= (2)∵x∈[0, ∴x+ ∈[ ],

,π], )∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+ ]上的最小值为:﹣ )﹣ . ∈[﹣ ,2﹣ ],

∴sin(x+

∴可解得 f(x)在区间[0,

点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的 最值的应用,属于基本知识的考查. 16. (13 分) (2015?北京)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4﹣a3=2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项相等? 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由 a4﹣a3=2,可求公差 d,然后由 a1+a2=10,可求 a1,结合等差数列的通项公式 可求 (II)由 b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式 可求 b6,结合(I)可求 解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d. ∵a4﹣a3=2,所以 d=2 ∵a1+a2=10,所以 2a1+d=10 ∴a1=4, ∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…) (II)设等比数列{bn}的公比为 q, ∵b2=a3=8,b3=a7=16,
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∴ ∴q=2,b1=4 ∴ ∴n=63 ∴b6 与数列{an}中的第 63 项相等 点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用, 属于对基本公式应用的考 查,试题比较容易.
第 14 页(共 20 页)

=128,而 128=2n+2

17. (13 分) (2015?北京)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁 四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 甲乙丙丁 100√ × √ √ 217× √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98× √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人,从而求得顾 客同时购买乙和丙的概率. (2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人,求得顾客顾客在甲、 乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率. (3)在这 1000 名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同 时购买甲和丁的概率,从而得出结论. 解答: 解: (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人,
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故顾客同时购买乙和丙的概率为

=0.2.

(2)在这 1000 名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 100+200=300 (人) , 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 (3)在这 1000 名顾客中,同时购买甲和乙的概率为 同时购买甲和丙的概率为 同时购买甲和丁的概率为 =0.1, =0.6, =0.2, =0.3.

故同时购买甲和丙的概率最大. 点评: 本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题. 18. (14 分) (2015?北京)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为 等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.
第 15 页(共 20 页)

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线得出 OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明 VB∥平面 MOC; (2)证明:OC⊥平面 VAB,即可证明平面 MOC⊥平面 VAB (3)利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积. 解答: (1)证明:∵O,M 分别为 AB,VA 的中点, ∴OM∥VB, ∵VB?平面 MOC,OM?平面 MOC, ∴VB∥平面 MOC; (2)∵AC=BC,O 为 AB 的中点, ∴OC⊥AB, ∵平面 VAB⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥平面 VAB, ∵OC?平面 MOC, ∴平面 MOC⊥平面 VAB (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1, ∴S△ VAB= , ∵OC⊥平面 VAB,
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∴VC﹣VAB=

?S△ VAB= .



∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=

点评: 本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用 线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.

19. (13 分) (2015?北京)设函数 f(x)=

﹣klnx,k>0.

(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,

)上仅有一个零点.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 求得函数的单调区间并能求出极值; (2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.
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解答: 解: (1)由 f(x)=

f'(x)=x﹣ 由 f'(x)=0 解得 x= f(x)与 f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下: X (o, ) 0 f'(x) ﹣ ↓ f(x) 所以,f(x)的单调递增区间为( f(x)在 x= 处的极小值为 f( )=

( + ↑



) ,单调递减区间为(0, . ) =

) ;

(2) 证明: 由 (1) 知, f (x) 在区间 (0, +∞) 上的最小值为 f ( 因为 f(x)存在零点,所以 ,从而 k≥e )=0



当 k=e 时,f(x)在区间(1, )上单调递减,且 f( 所以 x= 是 f(x)在区间(1, ]上唯一零点. 当 k>e 时,f(x)在区间(0, )上单调递减,且 ,

所以 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 综上所述,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 点评: 本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型. 20. (14 分) (2015?北京)已知椭圆 C:x +3y =3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的 直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过将椭圆 C 的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论; (2)通过令直线 AE 的方程中 x=3,得点 M 坐标,即得直线 BM 的斜率; (3)分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可. 2 2 解答: 解: (1)∵椭圆 C:x +3y =3,
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2

2

∴椭圆 C 的标准方程为: ∴a= ,b=1,c= ,

+y =1,

2

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∴椭圆 C 的离心率 e= =



(2)∵AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴, ∴可设 A(1,y1) ,B(1,﹣y1) , ∵E(2,1) ,∴直线 AE 的方程为:y﹣1=(1﹣y1) (x﹣2) , 令 x=3,得 M(3,2﹣y1) , ∴直线 BM 的斜率 kBM= =1;

(3)结论:直线 BM 与直线 DE 平行. 证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)知 kBM=1, 又∵直线 DE 的斜率 kDE= =1,∴BM∥DE;

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠1) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则直线 AE 的方程为 y﹣1= (x﹣2) ,

令 x=3,则点 M(3,

) ,

∴直线 BM 的斜率 kBM=



联立

,得(1+3k )x ﹣6k x+3k ﹣3=0,

2

2

2

2

由韦达定理,得 x1+x2= ∵kBM﹣ 1=

,x1x2=



=

=
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=0, ∴kBM=1=kDE,即 BM∥DE; 综上所述,直线 BM 与直线 DE 平行. 点评: 本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题 方法的积累,属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘长柏;changq;w3239003;wkl197822;sdpyqzh; 双曲线;maths;吕静;caoqz;雪狼王;cst(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 13 日

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