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2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案


2015 年福建省高中数学竞赛暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.设集合 ,从集合 中随机抽取一个元素,记 ,则随机 在 。 ,使

变量 的数学期望 。 ,其中 是定义在 上,最小正周期为 2 的函数。若 2.已知 区间 上的最大值为 1,则 在区间 上的最大值为 3. 得 、 为椭圆: ( )的左、右焦点,若椭圆 。 ,则 中, , 的最小值为 ( , ) , 则数列 ,且 。 、 ( 、。若 。 , ),则 的取值范围 ,则 上存在一点

,则椭圆离心率 的取值范围为 4.已知实数 x,y,z 满足 已知函数 5. , 数列 。 ,



的前 100 项之和 6.如图,在四面体中 面 所成角的余弦值为 7.在复平面内,复数
OZ1 OZ 2 ? 0 ,

与平

。则该四面体外接球半径 、 、 的对应点分别为 的取值范围是 恰有两个极值点



,则 。

8.已知函数 为 9.已知 范围为 10.若 sin 。

,若

的取值

?
9

? sin

2? n? 1 4? ? … ? sin ? tan ,则正整数 的最小值为 9 9 2 9



二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 的最小值。

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12.已知过点

斜率为 的直线 交双曲线







两点。

(1)求 的取值范围; (2)若 为双曲线 的右焦点,且

,求 的值。

13.如图, 、 分别为 , 为 与 的交点。 (1)求证: ;

的内心、旁心,

与圆 、圆

相切,切点分别为



(2)若 为 中点,求证: 。 (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平 分线的交点。)

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14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为 整点三角形。求以点 为内心且直角顶点在坐标原点 的整点直角三角形 的个数。

15.若对任意的正整数 ,集合 ?m,m ? 1,m ? 2,…,m ? 99? 的任意 ( 中,总有 3 个元素两两互素,求 的最小值。

)元子集

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