当前位置:首页 >> 数学 >>

函数模型的应用举例 课件(人教A版必修1)


3.2

函数模型及其应用

3.2.2

函数模型的应用举例

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.对指数函数、对数函数的应用作简单的了解. 2.幂函数、分段函数模型的应用是本节的重点,应 重点掌握. 3.建立函数模型解决实际应用问题是高考的重点, 应认真对待.

研 习 新 知

? ? ? ?

新知视界 1.函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题; (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解 释有关现象,对某些发展趋势进行预测.

? 2.应用函数模型解决问题的基本过程

图1

? 自我检测 ? 1.今有一组数据,如表所示:

x

1

2

3

4

5

y

3

5

6.99

9.01

11

? 下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规 律的一个是( ) ? A.指数函数 B.反比例函数 ? C.一次函数 D.二次函数 ? 解析:画出散点图,结合图象可见各个点接近于一 条直线,所以可用一次函数表示. ? 答案:C

? 2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次由 一个分裂成两个,这种细菌由一个繁殖成4096个需 要经过的小时数为( ) ? A.12小时 B.4小时 ? C.3小时 D.2小时 ? 解析:设需要x个15分钟,由题意2x=4096,∴x= 12. ? ∴共需15×12=180分钟,选C. ? 答案:C

? 3.某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007 年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生 产 这 种 产 品 的 年 产 量 超 过 12 万 件 时 是 ________ 年.(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)( ) ? A.2015 B.2016 ? C.2017 D.2018

? 解析:此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年 的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础 上再过多少年其年产量大于12万件. ? 设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12 万件, ? 根据题意,得2(1+20%)n>12,即1.2n>6,两边取对 数,得nlg1.2>lg6.



n>

lg6 lg1.2



lg2+lg3 2lg2+lg3-1



0.3010+0.4771 . 2×0.3010+0.4771-1 ∴n=10,即 2006+10=2016.因此,选 B.

答案:B

4.某工厂生产某种产品的固定成本为 2000 万元,并且每多生产一单位产品,成本增加 10 万 元,又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数 k(Q)= 1 2 40Q- Q ,求总利润 L(Q)的最大值. 20

1 2 解:总利润 L(Q)=40Q- Q -10Q-2000 20 1 =- (Q-300)2+2500, 20 故当 Q=300 时, 总利润最大, 其值为 2500 万元.

互 动 课 堂

? 典例导悟
? 类型一
? [例1]

利用已知函数模型解决问题
通过研究学生的学习行为,心理学家发现,

学生接受能力信赖于老师引入概念和描述问题所用 的时间.讲授开始时,学生的兴趣激增,中间有一 段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,

随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,
用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大, 表示接受的能力越强),x表示提出和讲授概念的时间 (单位:min),可有以下的公式:

?-0.1x2+2.6x+43, 0<x≤10,? ? 10<x≤16,? f(x)=?59, ?-3x+107, 16<x≤30. ?

(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持 多长时间? (2)开讲后5 min与开讲后20 min比较,学生的接受能 力何时强一些?

(3)一个数学难题,需要55的接受能力以及13 min时 间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的 状态下讲授完这个难题?

? ? ? ? ? ? ?

[解] (1)当0<x≤10时, f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9. 故f(x)在(0,10]上单调递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59; 当16<x≤30时,f(x)单调递减, f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后10 min,学生达到最强的接受能力 (值为59),并维持6 min.

? (2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,

? f(20)=-3×20+107=47<53.5=f(5).
? 因此,开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min 强一些. ? (3)当0<x≤10时,令f(x)=55, ? 则-0.1×(x-13)2=-4.9,(x-13)2=49.

? 所以x=20或x=6.
? 但0<x≤10,故x=6.

? 当16<x≤30时,令f(x)=55,则-3x+107=55.

1 所以 x=17 . 3 因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间 为 1 1 17 -6=11 <13(min),所以老师来不及在学 3 3 生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难 题.

? [点评] 本题是常数函数、一次函数、二次函数混 合在一起的分段函数,自变量的取值不同函数解析 式可能不一样,这一点要特别注意.另外,函数的 最值也是通过先求每一段的最值,然后再作比较而 求得.

变式体验 1 某产品生产厂家根据以往的生产销 售经验得到下面的统计规律:每生产产品 x 百台,其 总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每 生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+ 生 产 成 本 ) , 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x) =
?-0.4x2+4.2x-0.8,0≤x≤5? ? ? ?10.2,x>5 ?

.假定该产品产销平

衡,那么根据上述统计规律,解决下列问题:

? (1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围? ? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?并求此时每 台产品的售价为多少?

解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则
?-0.4x2+3.2x-2.8?0≤x≤5?? ? f(x)=? ?8.2-x?x>5? ?

.

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0. 当 0≤x≤5 时 , 有 - 0.4x2 + 3.2x- 2.8>0, 得 1<x<7,∴1<x≤5; 当 x>5 时,有 8.2-x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂盈利,应满足 1<x<8.2.即产品数 量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内.

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. 故当工厂生产 400 台产品时, 盈利最大, 此时, R?4? 每台产品的售价为 =2.4 万元/百台=240 元/ 4 台.

? ?

类型二 建立函数模型解决问题 [例2] 随着我国加入WTO,某市某企业决定从 甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,打入国 际市场.已知投资生产这两种产品的有关数据如下 表:(单位:万美元)

项目 年固定 每件产 每件产品 类别 成本 品成本 销售价 甲产品 乙产品 20 40 a 8 10 18

每年可最多 生产的件 数 200 120

? 其中年固定成本与年生产的件数无关,a为常数, 且3≤a≤8.另外,年销售x件乙产品时需上交0.05x2万 美元的特别关税. ? (1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1、 y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系; ? (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; ? (3)如何决定投资可获最大年利润.

? ? ? ?

[解] (1)y1=(10-a)x-20 (1≤x≤200,x∈N*), y2=-0.05x2+10x-40 (1≤x≤120,x∈N*). (2)∵10-a>0,故y1为关于x的增函数, ∴x=200时,y1 获得最大年利润S1 =1980-200a万 美元, ? y2=-0.05(x-100)2+460(1≤x≤120,x∈N*). ? ∴x=100时,y2获得最大利润,S2=460万美元.

? (3)S1 -S2 =200(7.6-a),故当3≤a<7.6时,S1>S2 , 投资生产200件甲产品可获较大利润. ? a=7.6时S1 =S2 ,投资200件甲产品与100件乙产品 可获相同利润, ? 7.6<a≤8时,S1<S2,投资生产100件乙产品可获较 大利润.

变式体验 2 某企业实行裁员增效.已知现有员 工 a 人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1 万元,据 评估在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗 员工每人每年可多创收 0.01 万元,但每年需付给每位 下岗工人 0.4 万元的生活费,并且企业正常运转所需 3 人数不得少于现有员工的 , 设该企业裁员 x 人后年纯 4 收益为 y 万元.

? (1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围; ? (2)当140<a≤280时,问该企业应裁员多少人,才 能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得最大 经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁.)

解: (1)由题意可得 y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x=- 1 2 a 140 x +( - )x+a, 100 100 100 3 1 ∵a-x≥ a,∴x≤ a. 4 4 a 即 x 的取值范围是(0, ]中的自然数. 4 1 a 1 a 2 (2)∵y=- [x-( -70)] + ( -70)2+a, 100 2 100 2 且 140<a≤280,

a ∴当 a 为偶数时,x= -70,y 取最大值. 2 a-1 当 a 为奇数时,x= -70,y 取最大值.(∵ 2 a+1 尽可能少裁人,∴舍去 x= -70) 2 a ∴当员工人数为偶数时,裁员( -70)人,才能获 2 a-1 得最大的经济效益;当员工人数为奇数时,裁员( 2 -70)人,才能获得最大的经济效益.

? 类型三 建立拟合函数模型解决问题 ? [例3] 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种 商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:

投资A种商品金额(万元) 获纯利润(万元) 投资B种商品金额(万元) 获纯利润(万元)

1 0.65 1 0.25

2 1.39 2 0.49

3 1.85 3 0.76

4 2 4 1

5 1.84 5 1.26

6 1.40 6 1.51

? 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但 不知投入A、B两种商品各多少万元才合算.请你 帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得 最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得 的最大纯利润(结果保留两个有效数字). ? [分析] 只给出数据,没明确函数关系,这样就需 要准确的画出散点图.然后根据图形选择合适的函 数模型来解决实际问题.

? [解] 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平 面直角坐标系中画出散点图,如图2所示.

图2

? 观察散点图可以看出,A种商品的所获纯利润y与投 资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模 拟,如图2①所示. ? 取 (4,2) 为 最 高 点 , 则 y = a(x - 4)2 + 2 , 再 把 点 (1,0.65) 代 入 , 得0.65 =a(1 - 4)2 +2 ,解得 a =- 0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. ? B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是 线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所 示.

设 y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1)代入,
?0.25=k+b, ? 得? ?1=4k+b, ? ?k=0.25, ? 解得? ?b=0. ?

所以 y=0.25x.

? 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额 x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所 获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系 式是y=0.25x. ? 设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA ,xB(万 元),总利润为W(万元),

?x +x =12, ? A B ? 那么 ? W=yA+yB=-0.15?xA-4?2+2+0.25xB. ?

19 2 19 2 所以 W=-0.15(xA- ) +0.15×( ) +2.6. 6 6 19 当 xA= ≈3.2(万元)时,W 取最大值,约为 4.1 6 万元,此时 xB≈8.8(万元). 即该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种 商品,8.8 万元投资 B 种商品,可获得最大利润约为 4.1 万元.

? [点评] 根据题中给出的数值,画出散点图,然后 观察散点图,选择合适的函数模型,并求解新的问 题,这是本节新的解题思路.请同学们在用待定系 数法求解析式时,选择其它数据点,观察结果的差 异.

? 变式体验3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食 用植物,不仅可以美化居室、净化空气,又可美容 保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场, 某人准备进入芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情, 进入市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单 位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如 下表:

时间t 种植成本Q

50 150

110 108

250 150

? (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反 映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at +b;Q=at2+bt+c;Q=a·bt;Q=alogbt;

? (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时上 市天数t及最低种植成本?

? 解:(1)由所提供的数据知,反映芦荟种植成本Q与 上市时间t的变化关系不可能是常数函数,故用上 述四个函数中任意一个来反映时都应有a≠0,而函 数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt均为单调函数, 这与表格所给数据不符合,所以应选择二次函数y =at2+bt+c,将上述表格中的数据代入可得:

?150=2500a+50b+c, ? ?108=12100a+110b+c, ?150=62500a+250b+c. ?

? ?a= 1 , 200 ? ? 3 解得?b=- , 2 ? ? 425 ?c= 2 , ?

所以,芦荟上市时间 t 与芦荟成本 Q 之间的关系 1 2 3 425 为 Q= t - t+ . 200 2 2

3 - 2 (2)当 t=- =150(天)时, 1 2× 200 1 2 3 芦荟种植成本最低为 Q= ×150 - ×150+ 200 2 425 =100(元/10 kg). 2 ∴芦荟种植成本最低时,上市天数为 150 天, 最低种植成本为 100 元/10 kg.

? 思悟升华 ? 1.建立数学模型是解决数学问题的主要方法.对于 确定性函数模型,只需对应用问题进行定量分析, 这类问题相对简单. ? 2.对于已经过提炼加工,忽略了次要因素,保留下 来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题, 建立函数模型,解决实际问题,只要学会阅读题目, 分析条件,归纳出变量之间的函数关系,写出函数 关系式即可.

? 3.建立拟合函数模型解决实际问题,其基本过程是

图3

? 4.在根据数据特点选择函数模型时,由于应用问 题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的 模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或 舍,或重新修正模型,直到满意为止. ? 但有时由于要面临的问题比较复杂,要想由这些数 据直接发现函数模型是困难的,可利用表中数据输 入计算器或计算机,然后通过拟合功能选择合适的 函数模型.

? 由于选择的数据不同,有时从收集的数据中得到的 拟合模型结果会有所差别,但只要误差在允许范围 内就认为是合适的.

课时作业(25)


相关文章:
3.2.2 函数模型的应用举例 课件(人教A版必修1)_图文.ppt
3.2.2 函数模型的应用举例 课件(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用举例 目标了然于胸,让讲台见证您的...
函数模型的应用举例 课件(人教A版必修1)_图文.ppt
函数模型的应用举例 课件(人教A版必修1) - 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用举例 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.对指数函数、对数函数...
3.2.2函数模型的应用实例课件(人教A版必修1)_图文.ppt
人教A版 数学 必修1人教A版 数学 必修1 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例人教A版 数学 必修1 自学导引 1.函数模型的应用实例主要...
...的应用实例》课件23(19张PPT)(新人教A版必修1).doc
函数模型的应用实例课件 23(19 张 PPT) (新人教 A 版必修 1) 函数模型的应用实例 应用已知函数模型解决问题 收集数据,建立函数模型解决问题 根据图表,建立...
3-2-2函数模型的应用实例_课件(人教A版必修1)_图文.ppt
3-2-2函数模型的应用实例_课件(人教A版必修1) - 第三章 函数的应用 第三章 3.2 函数模型及其应用 第三章 3.2.2 函数模型的应用实例 课前自主预习 课堂...
3.2.2 函数模型的应用实例 课件1(人教A版必修1)_图文.ppt
3.2.2 函数模型的应用实例 课件1(人教A版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例 复习引入一次函数、二次...
3.2.2 函数模型的应用实例1课件 新人教A版必修1_图文.ppt
3.2.2 函数模型的应用实例1课件 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。高一年级数学 3.2.2 函数模型的应用实例第一课时 函数建构和函数模型 巩固练习: 在...
...高一数学人教A版必修1《函数模型的应用实例》课件_....ppt
安徽省桐城中学高一数学人教A版必修1函数模型的应用实例课件 - 3.2.2 函数模型的应用实例 复习: 总存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xn<ax( a>1, n...
...3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1 (2)_....ppt
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1 (2)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例 1.了解函数...
...第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人....ppt
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修1 - 阶段一 阶段三 3.2.2 函数模型的应用实例 学业分层测评 阶段二 1.会利用给...
3-2-2函数模型的应用实例 课件(人教A版必修1)_图文.ppt
3-2-2函数模型的应用实例 课件(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。
...(人教A版)必修1课件:3-2-2 函数模型的应用实例_图文....ppt
高一数学(人教A版)必修1课件:3-2-2 函数模型的应用实例_数学_高中教育_
...3.2.2 函数模型的应用举例课件 新人教A版必修1_图文....ppt
2012高一数学 3.2.2 函数模型的应用举例课件 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用举例 目标了然于胸,让...
...高中数学必修一:3.2.2(第2课时)函数模型的应用举例(优秀课件)_....ppt
2015-2016年最新审定(人教a版)高中数学必修一:3.2.2(第2课时)函数模型的应用举例(优秀课件) - 最新审定人教a版高中数学必修一优秀课件 指数型、对数型函数模型...
...数学(人教A版)必修1课件:3.2.2函数模型的应用实例_....ppt
【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:3.2.2函数模型的应用实例 - 成才之路 数学 人教A版 必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 成才之路 ...
人教A版数学必修1课件:3.2.2函数模型应用实例(1)_图文.ppt
人教A版数学必修1课件:3.2.2函数模型应用实例(1) - 函数模型的应用实例 v (km/h) 1 一辆汽车在某段路程中 的行驶速度与时间的关 系如图, (1)求图中...
...3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1_图文....ppt
高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1_其它课程_高中教育_教育专区。高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1 ...
...3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1_图文.ppt
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。自主学习基础知识 3.2.2 函数模型的应用实例 解题模板规范示例 ...
...3.2.2 函数模型的应用举例 课件 新人教A版必修1_图....ppt
高一市北数学 3.2.2 函数模型的应用举例 课件 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。§3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用举例 学习目标 1....
...版必修1课件 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例_....ppt
2018-2019年高中数学人教A版必修1课件 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用...
更多相关标签: