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江西省萍乡市高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1.1 直线与平面垂直的判定课件 北师大版必修2_图文

§6 垂直关系

6.1

垂直关系的判定

第1课时

直线与平面垂直的判定

1.理解直线与平面垂直的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.能运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直.

直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那 么称这条直线和这个平面垂直. (2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表 示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.

(3)判定定理:

名师点拨1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,“任何一条”与 “所有”表达相同的含义. 2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特例. 3.由定义可得线面垂直?线线垂直,即若a⊥α,b?α,则a⊥b. 4.直线与平面垂直的判定定理告诉我们要证线面垂直可通过线 线垂直来完成. 5.由公理4可知平行具有传递性,因此两条平行直线中的一条垂直 于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.

【做一做1】 直线l垂直于平面α内的无数条直线,则 ( ) A.l⊥α B.l?α C.l∥α D.以上均有可能 答案:D 【做一做2】 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方 形,PD⊥BC,PD=1,PC= 2 求证:PD⊥平面ABCD. 证明:∵PD=DC=1,PC= 2 ∴△PDC是直角三角形. ∴PD⊥CD. 又PD⊥BC,BC∩CD=C,BC?平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PD⊥平面ABCD.

题型一

题型二

题型三

题型一

对线面垂直定义的理解

【例1】 有下列说法: ①已知三棱锥P-ABC的高为PO,且PA=PB=PC,则点O为△ABC的 外心; ②如果直线l与平面α不垂直,那么在α内不存在与l垂直的直线; ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; ④与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行; ⑤过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条. 其中正确说法的序号是 .

题型一

题型二

题型三

解析: 序号 正误 原因分析



正确 如图所示 ,PO 为三棱锥的高 ,则 PO⊥平面 ABC,O 为垂 足 ,连接 OA,OB,OC,则 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.由 PA=PB=PC,易得 OA=OB=OC,故 O 为 △ABC 的外心 很明显结论错误 可假设结论不成立证明 因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直 , 所以直线也可能在平面内 可假设结论不成立证明

② ③ ④ ⑤

错误 正确 错误 正确

答案:①③⑤

题型一

题型二

题型三

反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有且只有一条直线与 已知直线垂直.在立体几何中,也有类似的重要结论: 结论1:过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 结论2:过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个.

题型一

题型二

题型三

【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个 平面垂直 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线和 这个平面垂直 C.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线 和这个平面垂直 D.如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直 线和这个平面垂直

题型一

题型二

题型三

解析:本题主要考查直线和平面垂直的概念,解决本题关键是理 解概念的本质.我们以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图.

直线A1C1⊥BD,且A1C1与平面ABCD内的和BD平行的直线都垂直, 而A1C1与平面ABCD平行,故选项A,B,C错,正确答案是D. 答案:D

题型一

题型二

题型三

题型二

直线与平面垂直的判定

【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E是BB1的中点,O 是底面正方形ABCD的中心. 求证:OE⊥平面ACD1. 分析:只需证OE⊥AC,OE⊥D1O即可.其中OE⊥AC易证,通过计算 可得D1E2=D1O2+OE2,从而得到OE⊥OD1.

题型一

题型二

题型三

证明 :如图所示 ,连接 AE,CE,D1O,D1B 1,D 1E,BD,易知 AE=EC. ∵AO=OC,∴在等腰三角形 EAC 中 ,OE⊥AC. 在 Rt△D1DO 中 , D1O = 1 2 + 2 = 12 +
2 2
2

=

6 . 2

在 Rt△EBO 中 , OE= 2 + 2 = 在 Rt△D1B1E 中 , D1E =
2 1 1

1 2 2

+

2 2

2

=

3 . 2

+ 1

2

=

( 2) +

2

1 2 2

= .

3 2

∵D1O 2+OE2=D1E 2,∴ D1O⊥ OE. ∵D1O∩AC=O,D 1O?平面 ACD1,AC?平面 ACD1, ∴OE⊥平面 ACD1.

题型一

题型二

题型三

反思要善于利用平面图形的性质构造线线垂直关系,如等腰三角 形底边上的中线、菱形的对角线、勾股定理的逆定理等,这是证明 空间垂直关系的基础,解题时要善于挖掘题中隐含条件.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 如图,已知PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直 径,C是☉O上不同于A和B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E. 求证:AE⊥平面PBC. 证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC. 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. 又AE?平面PAC,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.

题型一

题型二

题型三

题型三

易错辨析

易错点:推理不严密而致误 【例3】 如图所示,已知α∩β=l,PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,AQ⊥l 于点Q,连接BQ. 求证:l⊥BQ. 错解:∵α∩β=l,l?α,l?β, 又PA⊥α,∴PA⊥l. ∵PB⊥β,∴PB⊥l. 而PA∩PB=P,∴l⊥平面PAQB,∴l⊥BQ. 错因分析:PA∩PB=P,则PA与PB确定一个平面,此时还不能确定点 Q是否在平面PAB内,题中不加证明,就认为点Q在平面PAB内.显然 是错误的.题设中还有条件AQ⊥l,显然如果没有AQ⊥l,那么BQ就不 可能垂直于l.

题型一

题型二

题型三

正解:连接AB,∵α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β, ∴PA⊥l,PB⊥l. 又PA∩PB=P,∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB. 又AQ⊥l,而AQ∩AB=A, ∴l⊥平面ABQ,∴l⊥BQ.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2, , 分别是 , 的中点. 证明: ⊥平 面 BEF.

题型一

题型二

题型三

证明:如图所示,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE 中,PA=AB=CD,AE=DE, 所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形. 又F是底边PC的中点,所以EF⊥PC.

又 BP= 2 + 2 = 2 2 = , F是PC的中点,所以BF⊥PC. 又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.

1

2

3

4

1.若一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和这个三角形 的第三边的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 解析:如果一条直线垂直于三角形的两条边,那么必垂直于这个三 角形所在平面,因而必与第三边垂直. 答案:B

1

2

3

4

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案:B

1

2

3

4

3.在三棱锥P-ABC中,最多有 个直角三角形. 解析:如图所示,不妨设PA⊥AB,PA⊥AC,则△APB和△PAC均为直角 三角形. 由线面垂直的判定定理知,PA⊥平面ABC,即PA⊥BC,若∠ABC=90°, 则BC⊥AB, ∴BC⊥面PBA,即∠PBC=90°. ∴△ABC,△PBC为直角三角形, 故直角三角形最多有4个. 答案:4

1

2

3

4

4.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中 点,O是底面ABCD的中心.

求证:EF⊥平面BB1O.

1

2

3

4

证明:如图所示,连接AC,BD,则O为AC和BD的交点,OB与OD在一 条直线上. ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BO. 又B1B⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴BB1⊥AC. 又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O. 又E,F分别是AB,BC的中点, ∴在△ABC中,EF∥AC. ∴EF⊥平面BB1O.


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