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高三联考试卷(数学)


2015 届高三联考试题(数学卷)
(时间:120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设合集 U=R,集合 M ? {x | x ? 1}, P ? {x | x ? 1} ,则下列关系中正确的是(
2



A.M=P B.M

P C. P

M D.M ? P

x ?1 2.设集合 A={x| x ? 1 <0 } ,B={x || x -1|<a } ,若“a=1”是“A∩B≠φ ”的(A)
充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 3. 已知 p : 2 ? 2 ? 5, q : 3 ? 2 ,则下列判断中,错误的是( (A)p 或 q 为真,非 q 为假 (C)p 且 q 为假,非 p 为真 )

(B) p 或 q 为真,非 p 为假 (D) p 且 q 为假,p 或 q 为真 是 减 函

4.在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 数,则函数 f ?x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

y ? lg
5.为了得到函数

x?3 10 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有点 (



A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

y?
6.函数

lg | x | x 的图象大致是

(

)

7.函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为

(

)

f ?1 ( x) ?
(A)

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 x ? 2( x ? 0) 2

f ?1 ( x) ?
B.

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 x ? 2( x ? 2) 2

f ?1 ( x) ?
(C) 8.设曲线 y ? x 的值为(

f ?1 ( x) ?
(D)学科

n?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ?
n C. n ? 1

? xn



1 A. n

1 B. n ? 1

D.1 )

9.函数 f ( x) ? x cos x ? 1, x ? (?5,5) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m 等于( A.0 B.1 C. 2 D.4
?1

10 . 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 反 函 数 为 f

( x) , 且 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有
) D. 2 x ? 4

f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ?1( x ?1) ? f ?1(4 ? x) 等于(
A.0 B.-2 C.2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y= a ? 1 ,a>0,a≠1},如果 P ? Q 有且
x

只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是________. 12.函数

y ? loga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,

1 2 ? 其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为

.

?log 2 x( x ? 0) 1 , ? x 2 , ( x ? 0) ? 13.已知函数 f(x)= 若 f(a)= 2 .则 a 的值为__________.

1 1 (? , ) 14.若函数 f (x) = 4x3-ax+3 的单调递减区间是 2 2 ,则实数 a 的值为
15.给出定义:若
m? 1 1 ? x ? m? 2 2 (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 { x } ,

即 { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ?| x ? { x } | 的四个命题:

1 k x ? (k ? Z ) y ? f ( x) y ? f ( x ) 2 ① 的定义域是 R,值域是[0, 2 ];② 的图像关于直线 对称;
? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上是增函数; ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x ) 在 ?

则其中真命题是__ . 三、解答题(本大题共 6 小题,总分 75 分) 16.(本小题满分 10 分) 设命题 P:关于 x 的不等式 a
2

x 2 ?ax ?2 a 2

>1(a>0 且 a≠1)为{x|-a<x<2a};

命题 Q:y=lg(ax -x+a)的定义域为 R。 如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 17.(本小题满分 12 分) 机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养 费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后, 每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ )当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 已知 a 是实数,函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。

20.(本小题满分 14 分) . 已知奇函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c

是定义

??1,1? 在上的增函数

(1)求 b 的取值范围; (2)若

b2 ? tb ? 1 ? f ? x ?



x ???1,1?

恒成立,求实数 t 的取值范围。

21.(理) (本小题满分 14 分)

f ( x) ? 2ax ?
函数

1 , x ? (0,1], x2

(1)若 f ( x)在x(0,1] 是增函数,求 a 的取值范围;

(0,1] 上的最大值. (2)求 f ( x)在区间

21. (文) (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
函数

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x 12 2 .

? (1)如果函数 g ( x) ? f ( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值;
(2)如果函数 f ( x) 是 (??,

? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

数学答案
选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 题号 C A B B 答案 5 C 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A

填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11._____ m>1_____________ 12._________ 8_______ 13.______-1 或 2 ___ 14._______3___________

15._____ ①②③__________ 解答题 16.(本小题满分 10 分) 简解:P:0<a<1;Q:a>1/2;P、Q 中有且仅有一个为真∴0<a≤1/2 或 a≥1 17.(本小题满分 12 分)

x( x ? 1) ? ? y ? 50?12x ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. 2 ? ? 解 (1)依题得: (x ? N*)
(2)解不等式 ?2x ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51
2

∵x ? N*,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。

(3) (Ⅰ )

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 x 时,即 x=7 时等号成立.

2x ?
当且仅当

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ )y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ 所用的时间较短,故方案Ⅰ 比较合理. 18. (本小题满分 12 分) 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1?上没有零点, 所以 a ? 0 .



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0
a? ?3 ? 7 2 时,

a?
, 解得

?3 ? 7 2

①当

y ? f ? x?

恰有一个零点在

??1,1? 上;

y ? f ? x? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, 在 上也恰有
一个零点.

③当

y ? f ? x?



??1,1? 上有两个零点时,
0



a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 2 4 a? 4 ? ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或



a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

a?

?3 ? 5 2 a? ?3 ? 5 2 .

综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

19.(本小题满分 13 分) 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
f ( ? x) ?

(2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0
f ( x) ?

1 f ( x)

∴ 又 x=0 时,f(0)=1>0 ∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 20.(本小题满分 14 分) . 解: (1) ∴ 又
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

1 ?0 f ( ? x)

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c

是奇函数,所以, a ? c ? 0

f ? x ? ? x3 ? bx, f ' ? x ? ? 3x2 ? b. f ? x ? ? x3 ? bx


??1,1? 上是增函数,所以, f ' ? x ? ? 3x2 ? b 在 ? ?1,1? 上横为正值,
x ???1,1? f ? x ? ? x3 ? bx
1? b

∴b ? 0。 (2) 要使

b2 ? tb ? 1 ? f ? x ?




恒成立, 由于



??1,1? 上是增函数,

f ? x ? ? x3 ? bx

??1,1?

上 的 最 大 值 为

, 所 以 , 只 需

b2 ? tb ? 1 ? 1 ? b,即b2 ? ?t ? 1? b ? 0



对任意 b ? 0 恒成立,因此只要 t ? 1 ? 0即t ? ?1. 21(理) (本小题满分 14 分)

f ?( x) ? 2a ?
解: (1)

2 ,? 命题等价于 f ?( x) ? 0对x ? (0,1]恒成立 ,即 x3

1 1 , 而g ( x) ? ? 3 在x ? (0,1]为增函数, 3 x x ? a ? [ g ( x)]max ? g (1) ? ?1, a?? 2(1 ? x 3 ) ,?当x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0, x3 ? f ( x)在(0,1]也是增函数; ? 而当a ? ?1时, f ?( x) ?
综上,a 的取值范围是 a ? ?1. (2)①

当a ? ?1时,? f ( x)在(0,1]为增函数 ,?[ f ( x)]max ? f (1) ? 2a ? 1;
2 1 1 ? 0得x ? ? 3 ? 1,? ? 3 ? (0,1], 3 x a a

a ? ?1时, 令f ?( x) ? 2a ?
②当

且f ?( x)的值在x ? ? 3

1 a

处左正右负 , 1 a ) ? ?33 a 2 .

?当a ? ?1时, [ f ( x)]max ? f (? 3
21. (文) (本小题满分 14 分)

f ?( x) ?
解:解:

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) 4 .

? (Ⅰ)∵ f ( x ) 是偶函数,∴ a ? ?1 .
f ( x) ?
此时

1 3 1 x ? 3 x f ?( x) ? x 2 ? 3 12 4 , ,

? 令 f ( x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 .
列表如下:

x
f ?( x)

(-∞,-2 3 ) +

-2 3 0

(-2 3 ,2 3 ) -

2 3 0

(2 3 ,+∞) +

f ( x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知: f ( x ) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 ,

f ( x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 . 分
f ?( x) ?
(Ⅱ)∵

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) 4 ,

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? ? (4a ? 1) ? a 2 ? 2a ? 0, 4 令
解得: 0 ? a ? 2 .

? 这时 f ( x) ? 0 恒成立,
∴函数 y ? f ( x) 在 (??,

? ?) 上为单调递增函数.

综上, a 的取值范围是

{a 0 ? a ? 2}

.


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