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抛物线焦点弦性质(公开课)_图文

抛物线焦点弦性质

(二)

探究1.抛物线的焦半径的表示方法 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与 这条抛物线相交于A,B两点,其中A在x轴 上方,设直线AB的倾斜角为 ? ,则有:
(用直线AB的倾斜角?及p表示)

p |AF|= 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? BF

p |BF|= 1 ? cos ?

AF

2 1 1 ? ? p AF BF

探究2.抛物线焦点弦长和面积的表示方法 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与 这条抛物线相交于A,B两点,其中A在x轴 上方,设直线AB的倾斜角为 ? ,则有:
(用直线AB的倾斜角?及p表示)

2p |AB|= 2 sin ?

S?AOB ?

p 2 sin ?

2

过焦点的所有弦中,何 时最短? ?AOB的面积何时最小?

例题讲解:
2

例1.(教材71页)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0)的焦点F作倾斜角为 的直线, 4 AF 交抛物线于A, B两点,点A在x轴的上方, 的值为 _______ BF
解:设直线方程: y ? x? p 2

?

法一

? y 2 ? 2 px p2 ? 2 由? ?0 p 消去y得x ? 3 px ? 4 ?y ? x ? 2 ? 3p ? 2 2 p 3p ? 2 2 p 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )则x1 ? , x2 ? 2 2 p x ? 1 AF 2 ? 2? 2 ? 3? 2 2 ? p 2? 2 BF x2 ? 2

例题讲解:
2

例1.(教材71页)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0)的焦点F作倾斜角为 的直线, 4 AF 交抛物线于A, B两点,点A在x轴的上方, 的值为 _______ BF

?

法二

AF 2? 4 解: ? ? ? BF 2? 1 ? cos 4

1 ? cos

?

2 ? 3? 2 2 2

例题讲解:

例2.(2012 重庆)过抛物线 y 2 ? 2 x的焦点F 25 作直线交抛物线于 A, B两点,若 AB ? , 12 AF ? BF , 则 AF ? _______ .
2p 2 25 解:不妨设A在x轴上方, ? AB ? ? ? 2 2 sin ? sin ? 12 24 1 ? 2 2 ? sin ? ? ? cos ? ? , 又 AF ? BF ,?? ? ( , ? ), 25 25 2 1 5 ? cos? ? - ? AF ? 5 6

例题讲解:

例3 ( . 2012 安徽)过抛物线 y 2 ? 4 x( p ? 0)的焦点F的直线交 该抛物线于A, B两点,O为坐标原点 .若 AF ? 3,则?AOB 的面积为_______ .
1 解: ? AF ? 3, ? A 2,2 2 , 又x1 ? x2 ? 1? B( ,? 2 ), 2 1 1 3 2 S ?AOB ? OF ? ( y A ? y B ) ? ?1? 3 2 ? 2 2 2

法一

?

?

P 2 1 解: ? AF ? ? ? 3 ? cos? ? , 1 ? cos? 1 ? cos? 3 法二 2 2 p2 3 2 又? ? [0, ? ),? sin ? ? , S ?AOB ? ? 3 2 sin ? 2

当堂检测:

1.(2014 浙杭模拟)已知抛物线 y 2 ? 8 x的焦点为F, 直线y ? k ( x ? 2)与此抛物线相交于 P, Q两点,则 1 1 1 ? ? _________ . 2 FP FQ

2.(2014 全国卷2)设F为抛物线C:y ? 3x的焦点,
2

过F且倾斜角为30?的直线交C于A, B两点,,O为
9 坐标原点,则 ?AOB的面积为_________ . 4

当堂检测:

3 ( . 2010 重庆)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0)的焦点F作
2

倾斜角为?的直线,交抛物线于 A, B两点,且AF ? 4 FB 则直线AB的斜率为_______ .

1 ? cos? 解: ? AF ? 4 FB ? ? ?4 BF 1 ? cos? AF 3 4 cos? ? ? tan? ? 5 3

本堂小结:

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与 这条抛物线相交于A,B两点,其中A在x轴 上方,设直线AB的倾斜角为 ? ,则有:
p |AF|= 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? BF p |BF|= 1 ? cos ?

AF

2 1 1 ? ? p AF BF

2p |AB|= 2 sin ?

S?AOB ?

p 2 sin ?

2


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