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不等式恒成立中的参数求解技巧


不等式恒成立问题中的参数求解技巧
在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。 恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可 借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中 的一个热点。其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小 值,③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳, 供大家参考。 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题, 若能把不等式转化成二次函数或二次方程, 通过 根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。
2 例 1 对于 x∈R,不等式 x ? 2 x ? 3 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2 解:不妨设 f (x ) ? x ? 2x ? 3 ? m ,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使

f ( x ) ? 0 ( x ? R ) ,只需 ? ? 0 ,即 ( ? 2 )

2

? 4 ( 3 ? m ) ? 0 ,解得 m ? 2 ? m ? ( ?? ,] 。 2

变形:若对于 x∈R,不等式 mx

2

? 2 mx ? 3 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2

此题需要对 m 的取值进行讨论,设 f ( x ) ? mx ? 2 mx ? 3 。①当 m=0 时,3>0,显然 成立。②当 m>0 时,则△<0 ? 0 ? m ? 3 。③当 m<0 时,显然不等式不恒成立。由①②③
3 知 m ? [ 0,) 。

关 键 点 拨 : 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax
f ( x ) ? ax
2

2

? b x ? c ? 0 ( 或 <0 ) 的 问 题 , 可 设 函 数

? bx ? c , a 的符号确定其抛物线的开口方向, 由 再根据图象与 x 轴的交点问题,

由判别式进行解决。
2 例 2 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 kx ? 2 , x ? ? 1 时恒有 f ( x ) ? k , 在 求实数 k 的取值范围。 2 解:令 F ( x ) ? f ( x ) ? k ? x ? 2 kx ? 2 ? k ,则 F ( x ) ? 0 对一切 x ? ? 1 恒成立, F ( x ) 而 是开口向上的抛物线。 2 ①当图象与 x 轴无交点满足△<0,即 ? ? 4 k ? 4 ( 2 ? k ) ? 0 ,解得-2<k<1。

? ②当图象与 x 轴有交点,且在 x ? [ ? 1, ? ) 时 F ( x ) ? 0 ,只需

? ?? ? 0 ? k ? ? 2或 k ? 1 ? ? ? ?1 ? 2 k ? 2 ? k ? 0, ? 3 ? k ? ? 2 ? ? F ( ? 1) ? 0 ? ? 2k ?k ? ?1 ? ?? ? ?1 2 ?

由①②知 ? 3 ? k ? 1
? 关键点拨: 为了使 f ( x ) ? k 在 x ? [ ? 1, ? ) 恒成立, 构造一个新函数 F ( x ) ? f ( x ) ? k 是 解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来, 建立起明确的参数和变量 x 的关系, 则可以利用函数的单调 性求解。a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ,即大于时大于函数 f ( x ) 值域的上界。a ? f ( x ) 恒 成立 ? a ? f ( x ) min ,即小于时小于函数 f ( x ) 值域的下界。

例3 范围。

2 已知二次函数 f ( x ) ? ax ? x ,如果 x∈[0,1]时 | f ( x ) |? 1 ,求实数 a 的取值

解:x∈[0,1]时, | f ( x ) |? 1 ? ? 1 ? f ( x ) ? 1 ,即 ? 1 ? ax ①当 x=0 时,a∈R
? ? ax ? ? ax ?
2

2

? x ?1

? ?x ? 1 ? ?x ? 1

1 ②当 x∈ ( 0,] 时,问题转化为

2

恒成立
? 1 x
2


u (x ) ? ?

a ? ?

1 x
2

?

1 x

恒 成 立 , 即 求
2

?

1 x

的 最 大 值 。 设

1 x
2

?

1? ?1 ? ?? ? ? x 2? ?x 1

?

1 4 。因

1 x ? ( 0,], ? [1, ? ), u ( x ) 1 ? x 为减函数,所以当 x=1

时, u ( x ) max ? ? 2 ,可得 a ? ? 2 。
a ? 1 x
2



?

1

1
2

x 恒成立,即求 x

?

1 x 的最小值。设

v(x ) ?

1 x
2

1? ?1 ? ? ? ? ? x 2? ?x 1

2

?

1 4 。因

1 x ? ( 0,], ? [1, ? ), v ( x ) 1 ? x 为增函数,所以当 x=1 时, v ( x ) min ? 0 ,可得 a≤0。

由①②知 ? 2 ? a ? 0 。
1

关键点拨:在闭区间[0,1]上使 | f ( x ) |? 1 分离出 a,然后讨论关于 x 的二次函数在
[1, ? ) 上的单调性。 ?

lg 2 ax

例 4 若不等式 lg( a ? x )

?1

在 x∈[1,2]时恒成立,试求 a 的取值范围。

?x ? 1 ? 解:由题设知 ? 2 ax ? 0 ,得 a>0,可知 a+x>1,所以 lg( a ? x ) ? 0 。原不等式变形为
lg 2 ax ? lg( a ? x ) 。

2 ? 2 ax ? a ? x ,即 ( 2 x ? 1) a ? x 。又 x ? [1,] ,可得 2 x ? 1 ? 0
?a ? x 2x ? 1 ? 1? 1 1 ? 1 ? ? f (x ) ? ?1 ? ?1 ? ? ? 2? 2 x ? 1 ? 恒成立。设 2? 2 x ? 1 ? ,在 x∈[1,2]上为
2 3 ,知 a ? 2 3 。

减函数,可得 综上知

f ( x ) min ? f ( 2 ) ?
2 3 。

0 ? a ?

lg 2 ax

关键点拨:将参数 a 从不等式 lg( a ? x )
x

?1

中分离出来是解决问题的关键。
y x ? 2y x x ? 2y y 2 x ? y ,对任意正

例 5 是否存在常数 c 使得不等式 2 x ? y 数 x、y 恒成立?试证明你的结论。

?

? c ?

?

c ?

x x ? 2y

?

y 2 x ? y 恒成立(x、y>0) ,进行换元令

解:首先,欲使

2b ? a ? ?x ? ?x ? 2y ? a ? 3 ,得 ? ? ?2x ? y ? b ? y ? 2a ? b ? 3 ? 。
2b ? a 2a ? b ? 3 b


c ?















c ?

3 a





1 ? 2b ? a 2a ? b ? 1 ? 2b 2a 1 ? 2b 2a ? ? ?? ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? ? ? 3 ? a b 3? a b b ? ? 恒成立。寻求 3 ? a ? 的最小值,由

1 ? 2b 2a 1 ? ? ? ? 2? ? ??2 ? 3 a b 3 ? ? ? a>0,b>0,利用基本不等式可得 ?
c ? x 2x ? y ? y x ? 2 y 恒成立 ( x 、 y ? 0 ) ,令

2b a

?

2a

? 2 ? 2? ? ? b 3 ? 。

同理欲使

?2x ? y ? a ? ?x ? 2y ? b



2a ? b ? ?x ? ? 3 ? ?y ? 2b ? a 3 ? 得?
c ? 1 ? 2a ? b 2b ? a ? ? ? ? 3? a b ?,

∴上述不等式变为
c ?



1 ? b a? 1 ? a ?? 1 ? a ?? ?b ?b ??2 ? ? 2 ? ? ? ?4 ? ? ? ?? ?4 ? ? ? ?? 3 ? a b? 3? b ?? b ?? ?a ?a 。寻求 3 ? 的最大值,易得

1 ? a ?? 1? ?b ? ?4 ? ? ? ?? ? ? 4 ? 2 3? b ?? 3? ?a
c ? 2

b a

?

a ? 2 ? ? ? b ? 3 。

综上知存在

3 使上述不等式恒成立。

2

关键点拨:本题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边寻找最小值 3 ,左边寻找最
2 2

大值 3 ,可得 c= 3 。 三、变更主元 在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果, 使问题能更迅速地得到解决。
2 例 6 若不等式 2 x ? 1 ? m ( x ? 1) ,对满足 ? 2 ? m ? 2 所有的 x 都成立,求 x 的取值 范围。 2 解:原不等式可化为 m ( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 2 令 f ( m ) ? ( x ? 1) m ? ( 2 x ? 1)( ? 2 ? m ? 2 ) 是关于 m 的一次函数。

? f ( ? 2 ) ? ? 2 ( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? ? 2 ? 由题意知 ? f ( 2 ) ? 2 ( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0

?1?

7

解得

? x ?

1? 2

3

2

? ?1? ? ? 2 ∴x 的取值范围是 ?

7 1? ,

3? ? ? 2 ?

关键点拨:利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解。 例 7 已知 f ( x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数且 f (1) ? 1 ,若 a、b∈[-1,1] ,a+b
f (a ) ? f (b )

≠0,有

a ? b

? 0



(1)判断函数 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数还是减函数。
1? 1? ? ? f ? x ? ? ? f ? 2x ? ? 2? 2?。 ? (2)解不等式 ?
2 1 (3)若 f ( x ) ? m ? 2 am ? 1 对所有 x ? [ ? 1, ] 、a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取 值范围。

解: (1)设 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? 1 ,则
f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? f (x 1 ) ? f (? x 2 ) ? f (x 1 ) ? f (? x 2 ) x1 ? x 2 (x 1 ? x 2 ) ? 0



可知 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,所以 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数。
1 ? ?1? x ? ?1 ? 2 ? 1 ? ?1 ?? 1 ? 2x ? 2 ? 1 1 ? ? 2x ? ?x ? 2 2 (2)由 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数知 ?
? 1 4 ? x ? 1
1 1? ? ? x ? ? ?x | ? 4 2? 2 ,故不等式的解集 ?

解得

(3)因为 f ( x ) 在[-1,1]上是增函数,所以 f ( x ) ? f (1) ? 1 ,即 1 是 f ( x ) 的最大值。
2 2 依题意有 m ? 2 am ? 1 ? 1 ,对 a∈[-1,1]恒成立,即 m ? 2 am ? 0 恒成立。



g ( a ) ? ? 2 ma ? m
2

2

















线









? ? g ( ? 1) ? m ? 2 m ? 0 ? ? 2 ? g (1 ) ? m ? 2 m ? 0 m ? ( ?? ,? 2 ] ? { 0 } ? [ 2, ? ) 。 ? ?

关键点拨:对于(1) ,抽象函数单调性的证明往往借助定义,利用拼凑条件,判断差的 符号。对于(2) ,后一步解不等式往往是上一步单调性的继续,通过单调性、函数值的大小
2 转化到自变量的大小上来。对于(3) ,转换视角变更主元,把 m ? 2 am ? 0 看作关于 a 的

一次函数,即 g ( a ) ? ? 2 ma ? m 在 a∈[-1,1]上大于等于 0,利用 g ( a ) 是一条直线这一 图象特征,数形结合得关于 m 的不等式组,从而求得 m 的范围。
2


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