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高中数学必修3复习_概率的讲义与习题(含答案及详细解答过程)

【知识点:概率】 一.随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例

nA fn(A)= n 为事件 A 出现的频率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数
的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) , 称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n

nA 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数
的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 频率在大量重复试验的前 提下可以近似地作为这个事件的概率 二. 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4) 当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有

P(A)=1—P(B); 4) 互斥事件与对立事件的区别与联系, 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会 同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与 事 件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 三.古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;

A包含的基本事件数 ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 总的基本事件个数
四.几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1) 几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等. 【例题讲解】 1. 从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是( A
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B

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1 2
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C

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D

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无法确定

2. 从 12 个同类产品 (其中 10 个是正品,2 个是次品) 中任意抽取 3 个的必然事件是 ( ) A. 3 个都是正品 B 至少有 1 个是次品 3 个都是次品 D 至少有 1 个是正品 C 3. 从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A 至少有一个黒球与都是黒球 B 至少有一个黒球与都是黒球 C 至少有一个黒球与至少有 1 个红球 D 恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 4 平面上画了一些彼此相距 2 a 的平行线,把一枚半径 r ? a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率
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5.甲乙两人玩一种游戏, 每次由甲、 乙各出 1 到 5 根手指, 若和为偶数算甲赢, 否则算乙赢. (1)若以 A 表示和为 6 的事件,求 P(A); (2)现连玩三次,若以 B 表示甲至少赢一次的事件,C 表示乙至少赢两次的事件,试问 B 与 C 是否为互斥事件?为什么? (3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

【方法技巧】不放回抽样与列举法 1.关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可看作有顺序,又可看作无顺序,其结果是一 样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. 2.思维升华 (1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求出其中的基本事件总数、A 包含的基本事件的个数,再利用古典概型的概率公式求出事件的概率,这是一个形象、直观 的好方法,但列举时必须按某一顺序,做到不重复、不遗漏. (2)事件 A 的概率的计算,关键是分清基本事件总数与事件 A 中包含的个数.因此,必须要解 决好下面三个方面的问题:①本试验是否是等可能的;②本试验的基本事件有多少个;③事 件 A 是什么,它包含多少个基本事件.只有回答好了这三个方面的问题,解题才不会出错. 6.(2011·通州模拟)已知集合 {(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}. (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率; (2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率.

7.某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了一 个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小 组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;

8.(d22.(12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进 行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” , 否则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.

9.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过 时即可离去,求两人能会面的概率

【课堂练习】

1.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在 0 到 9 这十个数字中任选,某人忘记后一个号
码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为___ 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是 3. 先后抛掷骰子三次,则至少一次正面朝上的概率是( )
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A

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B

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C

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D

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)时一定有 P?B ? ? 0.7

4. 设 A, B 为两个事件,且 P? A? ? 0.3 ,则当( A
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A 与 B 互斥

B

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A 与 B 对立



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A? B



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A 不包含 B

5. 在 200 件产品中, 192 有件一级品, 8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品; ④在这 200 件产品中任意选出 9 件,其中不是一级品的件数小于 100 , 其中 是必然事件; 是不可能事件;

是随机事件

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6. 投掷红、 蓝两颗均匀的骰子, 观察出现的点数, 至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____ 7. 在区间 (0,1) 中随机地取出两个数,则两数之和小于

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5 的概率是______________ 6

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8. 在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草 履虫的概率是_____________
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9.(2011·福鼎高一检测)甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙 猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若 a=b 或 a=b-1, 就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( (A) )

7 36

(B)

1 4

(C)

11 36

(D)

5 12

10.(2011·宁德模拟)古田一中学校路口,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 5 秒, 绿灯时间为 45 秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( (A) ) (D)

1 12
2

(B)

3 8

(C)

5 6

1 16

11.已知实数 a 满足下列两个条件: ①关于 x 的方程 ax +3x+1=0 有解;②代数式 log2(a+3)有意义.

则使得指数函数 y=(3a-2) 为减函数的概率为_____. 12. 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品, 2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率
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x

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13. 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间 少于 3 分钟的概率(假定车到来后每人都能上)
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14. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯

15. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽取 3 次 求: (1) 3 只全是红球的概率; (2) 3 只颜色全相同的概率;(3) 3 只颜色不全相同的概率
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【课后作业】 1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42 ,摸出白球的概率是 0.28 ,那么摸出黒球的概率是( ) A 0.42 B 0.28 C 0.3 D 0.7
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2.下列说法正确的是(

) B. 频率是客观存在的,与试验次数无关

A. 任何事件的概率总是在(0,1)之间

C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D. 概率是随机的,在试验前不能确定 3、下列事件中,随机事件的个数是( )①如果 a、b 是实数,那么 b+a=a+b;②某地 1 月 2 1 日刮西北风;③当 x 是实数时,x ≥0;④一个电影院栽天的上座率超过 50%。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8 4 抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 的概率
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5、如图,在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大 三个同心圆,半径分别为 2cm,4cm,6cm,某人站在 3m 之外向此板投镖,设 投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投) ,问:(1)投中大圆内的概率 是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概 率是多少?

6、有 100 张卡片(从 1 号至 100 号) ,从中任取一张,计算: (1)取到卡号是 7 的倍数的 有多少种?(2)取到卡号是 7 的倍数的概率。

概率答案
【例题讲解】 1 B 2 D 至少有一件正品 3.D 4. 解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记 为事件 A ,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向 靠得最近的平行线引垂线 OM ,垂足为 M ,如图所 示,这样线段 OM 长度(记作 OM )的取值范围就
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M 2a r o

是 [0, a ] ,只有当 r ? OM ? a 时硬币不与平行线相 碰,所以所求事件 A 的概率就是

P( A) ?

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

5.【解析】(1)基本事件与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应. 因为 S 中点的总数为 5×5=25(个),所以基本事件总数为 25.事件 A 包含的基本事件共 5 个: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以 P ? A ? ?

5 1 ? . 25 5

(2)B 与 C 不是互斥事件.因为事件 B 与 C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合 题意. (3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件为 13 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),( 5,5). 所以甲赢的概率为 平. 6.【解析】(1)设事件“x+y≥0,x,y∈Z”为 A,x,y∈Z,x∈[0,2] ,即 x=0,1,2; y∈[-1,1],即 y=-1,0,1.则基本事件如表, 基本事件总和 n=9,其中满足“x+y≥0”的基本事件 n=8

12 13 ,乙赢的概率为 , 所以这种游戏规则不公 25 25

P(A)=

m 8 8 ? ,故 x,y∈Z,x+y≥0 的概率为 . n 9 9

(2)设事件“x+y≥0,x,y∈R”为 B, x∈[0,2] ,y∈[-1,1],基本事件用下图四边形 ABCD 区域表示, SABCD=2×2=4 事件 B 包括的区域如阴影部分 S 阴影=SABCD-

1 1 7 ? 1? 1 ? 4 ? ? , 2 2 2

P ? B? ?

S阴影 7 / 2 7 7 ? ? ,故 x,y∈R,x+y≥0 的概率为 . 8 SABCD 4 8
1 45 x n 4 1 ? , ? ? ∴某同学被抽到的概率为 .设有 x 名男同学,则 15 60 4 m 60 15

7.【解析】(1) P ?

∴x=3,∴男、女同学的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b,则选取两名同学的基本事件有 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 种, 其 中有一名女同学的有 6 种. ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ? 8.【解析】(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3, 所以高为

6 1 ? 12 2

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5 120 ? 200 ,频率 第一组的人数为 0.6 200 ? 1 000. 由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 0.04×5=0.2,所以 n ? 0.2 195 ? 0.65. 第四组的频率为 0.03×5=0.15,所以第四组的人数 1 000×0.3=300,所以 p ? 300
为 1 000×0.15=150,所以 a=150×0.4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶30=2∶1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40,45)岁中有 4 人, [45,50)岁中有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d, [45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选取 2 人作为领队

的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、 (d,m)、(d,n)、(m,n),共 15 种;其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、 (b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n),共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P ?

8 . 15

9.解:以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够 会面的充要条件是

| x ? y |? 15 。在平面上建立直角坐标系如图中的阴影部分所表示。这
是一个几何概型问题,由由几何概型的概率公式, 得 P( A) ?

602 ? 452 7 ? 。 602 16
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【课堂练习】1 4.B 对立事件 6. 7
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1 10
5.④;

P( A) ?
②;

A包含的基本事件的个数 1 ? 基本事件的总数 10
①③

2

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1 4

3.D

3 4
25/75

其对立事件为都出现奇数点, 8
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0.004

1 1 1 1 3 ? ? ,1 ? ? 2 2 4 4 4 2 ? 0.004 500

9.【解析】选 C.所有的基本事件共有 36 个,其中“心有灵犀”包含的基本事件有(1,1)(1, 2)(2,2)(2,3)(3,3)(3,4)(4,4)(4,5)(5,5)(5,6)(6,6)共 11 个,所以 P ? C. 10.【解析】选 D.易知该题为几何概型,根据几何概型的概率公式得

11 ,故选 36

P?

5 5 1 ? ? . 30 ? 5 ? 45 80 16
9 ,满足条件②的实数 a 的范围是 a>-3,则 4

11.【解析】满足条件①的实数 a 的范围是 a ? 满足条件①②的实数 a 的范围是 ?3 ? a ?

0<3a-2<1

9 ,要使指数函数 y=(3a-2)x 为减函数,只需 4 2 1? 2 3 ? 4 . 答案: 4 即 ? a ? 1 ,故所求的概率为 P ? 9 3 63 ? ? ?3? 63 4

12.

解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序 ( x, y, z ) 记录结果,则 x, y , z 都有 10 种可能,

所以试验结果有 10 ?10 ?10 ? 10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事
3

件共有 8 ? 8 ? 8 ? 8 种,因此, P ( A) ?
3

83 ? 0.512 103

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 ( x, y, z ) ,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能,z 有 8 种可能, 所以试验的所有结果为 10 ? 9 ? 8 ? 720 种 事件 B 为“ 3 件都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8 ? 7 ? 6 , 所以 P ( B ) ? 13
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336 720

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解:可以认为人在任何时刻到站是等可能的

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设上一班车离站时刻为 a ,则该人到站

的时刻的一切可能为 ? ? (a, a ? 5) ,若在该车站等车时间少于 3 分钟,则人到站的时刻为

g ? (a ? 2, a ? 5) , P( A) ?
14
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g的长度 3 ? ?的长度 5

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解:总的时间长度为 30 ? 5 ? 40 ? 75 秒,设红灯为事件 A ,黄灯为事件 B ,

(1)出现红灯的概率 P( A) ?

构成事件A的时间长度 30 2 ? ? 总的时间长度 75 5 构成事件B的时间长度 5 1 ? ? 总的时间长度 75 15

(2)出现黄灯的概率 P( B) ?

2 3 ? 5 5 1 1 1 1 1 15. 解:①每次抽到红球的概率为 , P ? ? ? ? 2 2 2 2 8 1 1 1 ②每次抽到红球或黄球 P ? ? ? 8 8 4 1 3 ③颜色不全相同是全相同的对立, P ? 1 ? ? 4 4
(3)不是红灯的概率 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 【课后作业】 1.C

1 ? (0.42 ? 0.28) ? 0.3

2.C

3.B

4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点, 2 点,…, 6 点 6 种不同的结果, 我们把两颗骰子标上记号 1, 2 以便区分,因此同时掷两颗骰子的结果共有 6 ? 6 ? 36 ,在上 面的所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4, 4),(5,3),(6, 2) ,共 5 种, 所以,所求事件的概率为

5 36

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5、解:整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为 ?? ? 16 ?16 ? 256cm 。
2

记“投中大圆内”为事件 A, “投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B, “投中大圆之外”为 事件 C ,则事件 A 所占区域面积为 ? A ? ? ? 62 ? 36? cm2 ;事件 B 所占区域面积为

?B ? ? ? 42 ? ? ? 22 ? 12? cm2 ;事件 C 所占区域面积为 ?C ? (256 ? 36? )cm2 。
由几何概型的概率公式,得(1) P( A) ?

?A 9 ? 3 ? ? ;(2) P( B) ? B ? ? ; ?? 64 ?? 64

(3) P(C ) ?

?C 9 ? 1? ? 。 ?? 64

评析:对于(3)的求解,也可以直接应用对立事件的性质 P( A) ? 1 ? P( A) 求解。 6、解: (1)取到卡号是 7 的倍数的有 7,14,21,…,98,共有 (2)P( “取到卡号是 7 的倍数” )=

98 ? 7 ? 1 ? 14 种; 7

14 7 ? 。 100 50


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