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2015最新高考数学解题技巧大揭秘 专题6 三角函数的图象和性质


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专题六 三角函数的图象和性质

1 .已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在 直线 y = 2x 上,则 cos 2θ = ( ). A.- 4 5 3 B.- 5 C. 3 5 D. 4 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 2 2 = 2 =- .] 5 cos θ+sin θ 1+tan θ ). D.?-
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答案:B

[由题意知,tan θ=2,cos 2θ=

π? 2.函数 f(x)=sin x-cos? ?x+6?的值域为( A.[-2,2] 答案: B 3, 3].] B.[- 3, 3] C.[-1,1]

?

3 3? , 2 2?

[因为 f(x)=sin x-

3 1 ? 3sin x-1cos x?= 3sin?x-π?, cos x+ sin x= 3· ? 6? 所以函数 f(x)的值域为[- 2 2 2 ?2 ?

π ω>0,|φ|< ?的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( 3.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)? 2? ? π? A.f(x)在? ?0,2?单调递减 π? C.f(x)在? ?0,2?单调递增 答案:A π 3π? B.f(x)在? ?4, 4 ?单调递减 π 3π? D.f(x)在? ?4, 4 ?单调递增

).

π? [f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ )= 2sin? ?ωx+φ+4?.

π? π π 由最小正周期为 π 得, ω=2, 又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数, |φ|< 可知 φ= , 所以 f(x)= 2cos 2x 在? ?0,2? 2 4 单调递减.] 4.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=________. π? π π 1 3 解析 y =sin x- 3cos x=2? sin x- cos x?=2 sin? ?x-3?的最大值为 2,又 0≤x<2π,故当 x-3=2,即 x 2 ?2 ? 5π = 时,y 取得最大值. 6 答案 5π 6

1.对三角函数图象的考查主要表现在以下三个方面:(1)利用“五点法”作出图象;(2)图象变换;(3)由三角 函数的图象(部分)确定三角函数的解析式. 2.三角函数的性质是高考的一个重点,它既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.常通过三角变 换,将其转化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性). 3.三角函数的图象和性质经常与向量综合进行考查.

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由于本部分高考试题的难度不大,经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求,二轮复习就是在此基础上进 行的巩固和强化,在复习中注意如下几点: (1)该专题具有基础性和工具性,虽然没有什么大的难点问 题,但包含的内容非

常广泛,概念、公式很多,不少地方容易混淆,在复习时要根据知识网络对知识进行梳理,系统掌握其知识体系. (2)抓住考查的主要题型进行训练,根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数

值. 必备知识 同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注 意公式应用的条件. π 3π 五点法作 y=Asin(ωx+φ)的简图:五点取法是设 X=ωx+φ,由 X 取 0、 、π、 、2π 来求相应的 x 值及 2 2 对应的 y 值,再描点作图. 函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)最大值是 A+B,最小值是 B-A,周期是 T= 2π ω ,频率是 f= , ω 2π

π 相位是 ωx+φ,初相是 φ;其图象的对称轴是直线 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),凡是该图象与直线 y=B 的交点都是该 2 图象的对称中心. 由 y=sin x 的图象变换出 y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图 象变换.利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每 一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少. 三角函数的性质 三角函数的单调区间:y=sin x 递增区间是

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z), 2 2? ?
π 3π? 递减区间是? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z); y=cos x 的递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z), 递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); π π? y=tan x 的递增区间是? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z). 必备方法 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 三者中,知一可求二; (2)“1”的替换:sin2α+cos2α=1; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的问题: π 3π (1)“五点法”画图:分别令 ωx+φ=0、 、π、 、2π,求出五个特殊点; 2 2
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(2)给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 φ,一般从“五点法”中取靠 y 轴较近 的已知点代入突破; π (3)求对称轴方程:令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),求对称中心:令 ωx+φ=kπ(k∈Z). 2

三角函数的概念、诱导公式及其 基本关系的应用 常考查利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行化简、求值.主要以小题 形式考查,在综 合性问题第(1)问中也经常涉及到三角函数的化简、求值,多为基础问题. 1 cos 2α 【例 1】若 tan(π-α)=- ,则 的值为( 3 2sin αcos α+cos2 α A.- 8 3 8 B. 5 8 C. 15 D.- 8 7 ).

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先求 tan α,再将所求三角函数式分子分母同除 cos α 化成切的式子. 1 1- 9 8 cos2 α-sin2 α 1-tan2 α 1 1 cos 2α C [由 tan(π-α)=- 得,tan α= , = = = = .] 3 3 2sin αcos α+cos2 α 2sin αcos α+cos2 α 2tan α+1 2 15 +1 3 在三角函数求值类试题中,一般是先化简题目的已知条件或是目标式,把已知和求解之间的关系 明朗化后,再选择解决问题的方法.

3 4? 【突破训练 1】 如图, 以 Ox 为始边作角 α(0<α<π), 终边与单位圆相交于点 P, 已知点 P 的坐标为? ?-5,5?.

求 解

sin 2α+cos 2α+1 的值. 1+tan α 3 4 由三角函数定义,得 cos α=- ,sin α= , 5 5 2sin αcos α+2cos2 α 2cos α?sin α+cos α? = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α

∴原式=

3 18 - ?2= . =2cos2 α=2×? ? 5? 25

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三角函数y=Asin?ωx+φ?的图 象及解析式 常考查:①利用已给三角函数的图象特点,求三角函数解析式;②函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.考查学 生三角函数基础知识的掌握情况. 【例 2】已知

π 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|< , x∈R) 的图象的一部分如图所示. 则函数 f(x)的解析式为________. 2 [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 观察图象,由周期确定 ω,由特殊点的坐标确定 φ. T 2π 解析 由图象知 A=2, =2?T=8= , 4 ω π π ? 所以 ω= ,得 f(x)=2sin? ?4x+φ?. 4 π π π 由对应点得当 x=1 时, ×1+φ= ?φ= . 4 2 4 π π? 所以 f(x)=2sin? ?4x+4?. π π? 答案 f(x)=2sin? ?4x+4? 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于 “五点法”中的哪一个点.“第一点”(即图象 上升时与 x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可. 【突破训练 2】函

π 数 f(x)=sin (ωx+φ), (其中|φ|< )的图象如图所示, 为了得到 g(x)=sin ωx 的图象, 则只要将 f(x)的图象( 2 π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6 答案:A B.向右平移 π 个单位 12 π 个单位 12

).

D.向左平移

T 7π π π [由图象可知, = - = ,∴T=π, 4 12 3 4

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2π π ∴ω= =2,再由 2× +φ=π. π 3 π? π 得 φ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+3?, 3 π? π 故只需将 f(x)=sin2? ?x+6?向右平移6个单位, 得到 g(x)=si n 2x.]

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三角函数性质的有关考查 三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高考的热点,常与三角恒等变换交汇命题,在考查三角恒等 变换的方法与技巧的同时,又考查了三角函数的性质,难度中低档. 【例 3】已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx),设函数 f(x)=a· b+λ(x∈ 1 ? R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈? ?2,1?. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π ? ? 3π? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x) 在区间?0, 5 ?上的取值范围. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 对于第(1)问的求解主要是根据函数性质和三角函数的定义进行合一化简求最小正周期; 对于第(2) 问的求解则要对三角函数在定义域内求值域. 解 π? (1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· cos ωx+λ=-cos 2ω x+ 3sin 2ωx+λ=2sin? ?2ωx-6?+λ.

π? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? ?2ωπ-6?=±1, π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). 6 2 2 3 1 ? 5 又 ω∈? ?2,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. 所以 f(x)的最小正周期是 6π . 5

π ? ?π? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0, 5 π π? π 即 λ=-2sin? ?6×2-6?=-2sin4=- 2, 即 λ=- 2. 5 π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2, 由 0≤x≤ 3π π 5 π 5π ,得- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6

5 π? 1 所以- ≤sin? ?3x-6?≤1, 2 5 π? 得-1- 2≤2sin? ?3x-6?- 2≤2- 2, 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性的问题时,通常是将三角函数化为只含一个函 数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式,即 y=Asin(ωx+φ)+m,其中 A>0,ω>0,φ∈[0,2π),若给定区间 x∈[a,b],则最大(小)值、单调区间随之确定;若定义域关于原点对称,且 φ=kπ(k∈Z),m=0,则 y=Asin(ωx
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π +φ)+m 是奇函数;若定义域关于原点对称,且 φ=kπ+ (k∈Z),m=0,则 y=Asin ( ωx+φ)+m 是偶函数;其 2 2π 周期为 T= . ω 【突破训练 3】 已知 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a(a∈R). (1)若 x∈R,求 f(x)的单调递增区间; π? (2)若 x∈? ?0,2?时,f(x)的最大值为 4,求实数 a 的值. 解 因 f(x)=2cos2 x+ 3sin 2x+a

π? =cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin? ?2x+6?+a+1. π π π (1)令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6 π π? ∴f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π? π π 7π (2)若 x∈? ?0,2?,6≤2x+6≤ 6 , π ∴当 x= 时,f(x)取得最大值 a+3. 6 则由条件有 a+3=4,得 a=1. 三角函数图象与性质的综合应用 三角函数图象与性质是三角函数的综合交汇点,是高考命题的重点,主要考查三角函数的周期性、单调性、 奇偶性、对称性、图象变换等,近几年关于三角函数综合应用的高考题不断求新求异,但考查的知识方法不变, 首先是化简所给式子,然后结合三角函数的性质求解相关问题. π 1 1 π 1 +φ?(0<φ<π),其图象过点 , . 【例 4】? 已知函数 f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin? ? 2 2 ?2 6 2 (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x) 2 π? 在? ?0,4?上的最大值和最小值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,然后再求解. 解 π 1 1 +φ? (1)∵f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin? ? 2 2 ?2
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(0<φ<π),

1+cos 2x 1 1 ∴f(x)= sin 2xsin φ+ cos φ- cos φ 2 2 2
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1 1 = sin 2xsin φ+ cos 2xcos φ 2 2 1 = (sin 2x sin φ+cos 2xcos φ) 2 1 = cos(2x-φ), 2 π 1? 又函数图象过点? ?6,2?, π 1 1 2× -φ?, ∴ = cos? 6 ? 2 2 ? π ? 即 cos? ?3-φ?=1, π 又 0<φ<π,∴φ= . 3 π 1 1 2x- ?,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 (2)由(1)知 f(x)= cos? 3? 2 ? 2 π 1 4 x- ? , y=g(x)的图象,可知 g(x)=f(2x)= cos? 3? 2 ? π? 因为 x∈? ?0,4?,所以 4x∈[0,π], π 2π π π 1 - , ?,故- ≤cos?4x- ?≤1 因此 4x- ∈? 3? ? 3 ? 3 3? 2 π? 1 1 所以 y=g(x)在? ?0,4?上的最大值和最小值分别为2和-4. .

(1) 形 如 y = asin ωx + bcos ωx 型 的 三 角 函 数 通 过 引 入 辅 助 角 化 为 y = a2+b2 sin(ωx +

? φ) cos φ= ?

a b ? ,sin φ= 2 的形式. 2 a +b a +b2?
2

(2)求三角函数式最值的方法 ①将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. ②将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解. π? 【突破训练 4】 若函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+m 在区间? ?0,2?上的最大值为 6. (1)求常数 m 的值;
[来源:21 世纪教育网] 21 世纪教育网

π (2)作函数 f(x)关于 y 轴的对称图象得函数 f1(x)的图象,再把 f1(x)的图象向右平移 个单位长度得 f2(x)的图象, 4 求函数 f2(x)的单调递减区间. 解 (1)f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1+m
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π? =2sin? ?2x+6?+1+m, π? π π 7π 由于 x∈? ?0,2?,所以6≤2x+6≤ 6 ,

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π? 1 所以- ≤sin? ?2x+6?≤1. 2 所以 m≤f(x)≤3+m,所以 3+m=6,所以 m=3. π? (2)由(1)得 f(x)=2sin? ?2x+6?+4, π? f1(x)=2sin? ?-2x+6?+4, π? π? f2(x)=2sin?-2? ?x-4?+6 +4

?

?

2 ? =-2sin? ?2x-3π?+4. π 2 π 由- +2kπ≤2x- π≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 7 ? 得 f2(x)的单调递减区间是? ?12+kπ,12π+kπ?,k∈Z.

三角函数标准式的应用 利用辅助角公式化已知三角函数式为“标准式”, 是历年高考的热点, 三角函数标准式在求三角函数性质(如 单调性、最值等)时有着重要作用.化简时常常要结合三角恒等变换知识,这是解决三角函数问题的基础,因此, 要牢固掌握这一解题技巧. π? 【示例】设 f(x)=4cos? ?ωx-6?sin ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π? (2)若 f(x)在区间? ?- 2 ,2?上为增函数,求 ω 的最大值. [满分解答] (1)f(x)=4? 3 1 2 2 2 ? ? 2 cos ωx+2sin ωx?sin ωx+cos 2ωx=2 3sin ωxcos ωx+2sin ωx+cos ωx-sin ωx

= 3sin 2ωx+1,(4 分) 因为-1≤sin 2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].(6 分) π π? (2)因 y=sin x 在每个闭区间? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间

?kπ- π ,kπ+ π ?(k∈Z)上为增函数.(8 分) ? ω 4ω ω 4ω?
3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意知? ?- 2 ,2??? ω -4ω, ω +4ω?对某个 k∈Z 成立,

?- 2 ≥-4ω, 此时必有 k=0,于是? π π ?2≤4ω,



π

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1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 .(12 分) 6 6 老师叮咛:本题考查三角函数的基本知识,利用公式进行化简,然后数形结合找函数的单调区间,再根据单 调区间求参数的最值.其中,第?1?问需利用三角恒等变换知识将三角函数式化为标准式,是解?2?问的基础;第?2? 问得分率不高,不少考生找不到解题突破口是失分原因. 【试一试】要得到函数 y= 2cos x 的图象,只需将函数 y= π? 2sin? ?2x+4?的图象 上所有的点的( ).

1 π A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 π B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4 π C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4 π D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8 π? 答案:C [将函数 y= 2sin? ?2x+4?图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得函数 y= 2 π? π ? π π? sin? ?x+4?的图象;再向左平行移动4个单位长度后便得:y= 2sin?x+4+4?= 2cos x 的

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