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lili:18学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4_图文

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1.向量数量积的坐标表示 设 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),则 a·b= x1x2+y1y2 . 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 . 2.度量公式 (1)长度公式:设 a=(x ,y),则|a|= x2+y2 . (2)夹角公式:设 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),a 与 b 的夹角 x1x2+y1y2 2 2 2 为θ ,则 cos θ= x2 1+y1 x2+y2 .

3.两向量垂直的坐标表示 设 a=(x 1, y1), b=(x 2, y2), 则 a⊥b?a·b=0? x1x2+y1y2=0 . 4.直线的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m =(1,k )与直线 l 共线, 把与直线 l 共线的 非零向量m 称为直线 l 的方向向量.

1.由向量长度的坐标表示,你能否得出平面内两点间 的距离公式?
提示:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB =(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得 |AB|=| AB |= x2-x1 2+ y2-y1 2.

2.坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别?
提示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: a⊥b?x1x2+y1y2=0,即“相应坐标相乘和为 0”; a∥b?x1y2-x2y1=0,即“坐标交叉相乘差为 0”.

3.直线l的方向向量唯一吗?

提示:直线l的方向向量即是与l平行的向量,意指表示该向 量的有向线段所在的直线与l平行或重合,所以直线l的方向向量

不唯一(有无数个),但它们都是共线向量.

1.已知向量a=(4,-2),b=(6,-3),求: (1)(2a-3b)· (a+2b);(2)(a+b)2.
[尝试解答] 法一:(1)∵2a-3b=(8,-4)-(18,-9) =(-10,5), a+2b=(4,-2)+(12,-6)=(16,-8), ∴(2a-3b)· (a+2b)=-160-40=-200. (2)∵a+b=(10,-5), ∴(a+b)2=(10,-5)×(10,-5)=100+25=125.

法二:由已知可得:a2=20,b2=45,a·b=30 (1)(2a-3b)·(a+2b)=2a2+a·b-6b2 =2×20+30-6×45=-200. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=20+60+45=125.

进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐

标表示,运算时常有两条途径:
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算; (2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计 算.

1.已知a=(2,1),b=(-1,3),向量c满足a· c=4,b· c=-9. (1)求向量c的坐标;
a·c=4, 解: (1)设 c=(x, y), 由 b·c=-9,

(2)求(a+b)· c的值.

2x+y=4, 得, -x+3y=-9.

解得 x=3,y=-2.∴c=(3,-2). (2)法一:∵a+b=(2,1)+(-1,3)=(1,4), ∴(a+b)·c=(1,4)·(3,-2)=1×3+4×(-2)=-5. 法二:(a+b)·c=a·c+b·c=(2,1)·(3,-2)+(-1,3)·(3,-2) =2×3+1×(-2)+(-1)×3+3×(-2) =-5.

2.已知 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5. 5 (1)求|a+2b|;(2)若(a+b)· c= ,求向量 a 与 c 的夹角. 2
[尝试解答] (1)a+2b=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,-6), ∴|a+2b|= ?-3?2+?-6?2=3 5.

(2)∵b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a, 5 ∴a+b=-a,∴(a+b)· c=-a· c=2. 5 -2 a· c 1 设 a 与 c 的夹角为 θ,则 cos θ= = =- , |a||c| 5× 5 2 2 2 ∵0≤θ≤π,∴θ=3π,即 a 与 c 的夹角为3π.

1.已知向量的坐标和向量的模(长度)时,可直接运用公式|a|= x +y 进行计算. 2.求向量的夹角时通常利用数量积求解,一般步骤为: (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积; (2)再求出两向量的模; a· b (3)由公式 cos θ= 计算 cos θ 的值; |a||b| (4)在[0,π]内,由 cos θ 的值确定角 θ.

2

2

2. 已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),e=(0,1),若 a≠b,|a-b|=2,且 a-b 与 e π 的夹角为 ,则 x1-x2=( ) 3 A.2 B.± 3 C. ± 2 D. ± 1

解析:选 B a-b=(x1-x2,y1-y2). ∴(a-b)· e=(x1-x2)×0+(y1-y2)×1=y1-y2. π ∵|a-b|=2,|e|=1,a-b 与 e 的夹角为3, e y1 -y2 1 π ?a-b?· ∴cos 3= = 2 =2,∴y1-y2=1, |a-b||e| 又由|a-b|=2 知,(x1-x2)2+(y1-y2)2=4, ∴(x1-x2)2=3.∴x1-x2=± 3.

3.已知 a=(

?1 3,-1),b=? ?2, ?

3? ? . 2? ?

(1)求证:a⊥b; (2)是否存在实数 k,使 x=a-2b,y=-ka+b,且 x⊥y,若存在,求 k 的值;不存 在,请说明理由. 1 3 [尝试解答] (1)证明:∵a· b= 3×2+(-1)× 2 =0.∴a⊥b. ?1 3? ? ? ? ? 3-1,-1- 3?, (2)∵x=( 3,-1)-2? , ? = ? ? ? ?2 2 ? ?1 ? 3? 3? ? ? ?1 y=-k( 3,-1)+? , ?=? - 3k,k+ ? ?. 2 2 2 2 ? ? ? ?

假设存在 k 使 x ⊥y, 1 3 - 3k k+ ∴x ·y=( 3-1) 2 +(-1- 3) 2 化简得:-4k-2=0 1 1 ∴k=- 即存在 k=- ,使 x ⊥y. 2 2

两向量互相垂直,则其数量积为零,反之也成立,因此: (1)判断两个向量是否垂直,只需考察其数量积是否为0; (2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参

数的方程,进而求解.

已知向量a=(-2,-1),b=(t,1).且向量a与b的夹角为钝 角,求实数t的取值范围.
[错解] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 θ 为钝角, a· b ∴cos θ=|a|· b<0. |b|<0,∴a· 1 ∴a· b=(-2,-1)· (t,1)=-2t-1<0,得 t>-2. 1 故 t 的取值范围是(-2,+∞).

[错因] 错解在于误认为θ为钝角等价于a· b<0,实际上, a· b<0包含两向量反向共线的情况,即θ=π的情况,无疑扩大 夹角的取值范围.

[正解] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ, π a· b ∵θ 为钝角∴2<θ<π.∴cos θ=|a||b|<0, 1 ∴a· b<0,即(-2,-1)· (t,1)=-2t-1<0.∴t>-2. 当 a∥b 时,-2×1-(-1)×t=0,得 t=2, 这时 b=(2,1)=-a,b 与 a 反向. 即当 t=2 时,θ=π,不合题意. 1 故 t 的取值范围为(-2,2)∪(2,+∞).

3.(安徽高考)设向量 a=(1,2m ),b=(m +1,1),c=(2,m ). 若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)· b=0, 1 即 3(m+1)+3m=0,解得 m=-2, 则 a=(1,-1),故|a|= 2. 答案: 2

1.向量 i=(1,0),j=(0,1),下列向量中与向是 3i+j 垂直 的是( ) A.2i+2 3j B.-i+ 3j C .2i+ 3j D.-i- 3j
解析:选 B 可知 3i+j=( 3,1),逐项考察知, ( 3i+j)· (-i+ 3j)=( 3,1)· (-1, 3)=- 3+ 3=0. ∴-i+ 3j 与 3i+j 垂直.

2.已知向量 a=(4,3),b=(-1,2),若向量 a+kb 与 a-b 垂直,则 k 的值为( ) 23 11 23 A. B.7 C .- D.- 3 5 3

解析:选 A ∵a+kb=(4,3)+k(-1,2)=(4-k,3+2k) a-b=(4,3)-(-1,2)=(5,1). 由于(a+kb)⊥(a-b),∴(4-k,3+2k)· (5,1)=0, 23 ∴5(4-k)+(3+2k)=0,得 k= 3 .

3.(重庆高考)设 x ,y∈R ,向量 a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4)且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 B.2 10 C .2 5 D.10
解析:选 B 因为 a⊥c,b∥c,所以有 2x-4=0 且 2x+4=0, 解得 x=2,y=-2,即 a=(2,1),b=(1,-2). 所以 a+b=(3,-1),|a+b|= 10.

4.经过点A(1,0)且方向向量与d=(2,-1)垂直的直线 方程为________. 解析:设直线的方向向量为m=(1,k),

由m⊥d得2-k=0.
∴直线的斜率k=2,故所求直线的方程为y=2(x-1).

即2x-y-2=0.
答案:2x-y-2=0

5.设向量 a,b 的夹角为 θ,且 a=(5,5),2b-a=(-1,1),则 cos θ=________.
解析:∵a=(5,5),∴2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即 b=(2,3). 又|a|=5 2,|b|= 13,且 a· b=(5,5)· (2,3)=25. a· b 25 5 26 ∴cos θ=|a||b|= = . 5 2× 13 26 5 26 答案: 26

6.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2), (1)设 c=4a+b,求(b· c)a; (2)若 a+λb 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的射影.
解:(1)∵c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6), ∴b·c=(2,-2)·(6,6)=2×6-2×6=0,∴(b·c)a=0·a=0. (2)∵a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),(a+λb)⊥a 5 ∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,得λ= . 2 (3)法一:设 a 与 b 的夹角为 θ,

1×2+2×?-2? a· b 10 则 cos θ= = 2 2 =- 10 . |a||b| 1 +2 × 22+?-2?2

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∴向量 a 在 b 方向上的投影为 10 2 2 2 |a|cos θ= 1 +2 · (- 10 )=- 2 . 法二:∵a· b=(1,2)· (2,-2)=-2,|b|=2 2. a· b -2 2 ∴向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ= |b| = =- 2 . 2 2

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