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江苏省连云港外国语学校2012-2013学年高二数学下学期期末复习试题(7)理 苏教版

连云港外国语学校 2012~2013 学年度高二年级数学理科期末复习 卷(七)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.若复数 z1 ? 1 ? 8 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z 2 ) i 的虚部为 2. 设 i 是虚数单位,若 z ?
1 1? i ? ai 是实数,则实数 a ?

.

C Y

.
? ???? ? ???? ?

3. 在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A B ? i , A D ? j , A A1 ? k ,设点 E 满足 D 1 E ? 3 E C 1 , 则向量 A E ? 4.在 ( x ?
2 x
5

??? ?

? ????

? ????

??? ?

(用 i , j , k 表示).
3

? ? ?

) 的二项展开式中, x 的系数是

.

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是 率 . (用数值作答)
1 2

.(以数字作答).

,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是_______. 8.若 ( 2 x ? 1) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ,则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ______.
4 2 3 4

9. 将曲线 x ? y ? 1 绕原点逆时针旋转 4 5 ? 后, 得到的曲线 C 方程为
2

.

10. 随机变量 ? 的分布列如下:
?
?1
a

0

1
c

P

b

其中 a, b, c 成等差数列,若期望 E ? ? ? ?

1 3

,则方差 V ? ? ? 的值是



11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)= .
1

12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可 以排成如图所示的三角形, 则第 n 个三角形数为 .

第 12 题 13. 已知 a , b , c ? Z ,若 a ? b ? c ,则下列说法正确的序号是
2 2 2

.

① a , b , c 可能都是偶数; ③ a , b , c 可能都是奇数; 14.数列 { a n } 是正项等差数列,若 b n ?

② a , b , c 不可能都是偶数; ④ a , b , c 不可能都是奇数.
a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n 1? 2 ? 3?? ? n

,则数列 { b n } 也为等差数 ,则数

列,类比上述结论,数列 { c n } 是正项等比数列,若 d n ? 列 { d n } 也为等比数列.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
?0 1 ? ? 0 ? 1? , N ? ? ? ? 。在平面直角坐标系中,设直线 ?1 0 ? ?1 0 ?

已知矩阵 M ? ?

2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程

2

16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在

AD 上,且 PG=4, AG

?

1 3

GD

,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. P 的值. F D

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求
PF FC

A

G

B

E

C

17. (本题满分 14 分)
x ? 3 cos ? y ? 3 sin ?

已知曲线 C : {

,直线 l : ? ( 2 cos ? ? 3 sin ? ) ? 1 3 .

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值.

18. (本题满分 16 分)
?3 ?0 a ? / ? , a ? R , 若点 P ( 2 , ? 3 ) 在矩阵 A 的变换下得到点 P ( 3 , 3 ). ? 1?

已知矩阵 A ? ?

(1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量.

3

19. (本题满分 16 分) 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要 么只写有数字“ 2012 ” ,要么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出的机 会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率是
1 7

.现甲、乙两个小朋友做游

戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再取,直到两个 小朋友中有一人取得写着文字“奥运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? .

20. (本题满分 16 分) 在数列 { a n } 、{ b n } 中, a 1 ? 2, b1 ? 4 ,且 a n , b n , a n ? 1 成等差数列,b n , a n ? 1 , b n ? 1 成等比 数列 ( n ? N ? ) . ⑴求 a 2 , a 3 , a 4 及 b 2 , b 3 , b 4 ,由此猜测 { a n } 、 { b n } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:
1 a 1 ? b1 ? 1 a 2 ? b2 ?? ? 1 a n ? bn ? 5 12



高二年级数学理科期末复习卷参考答案(七)
4

命题人:刘希团

2013 年 6 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y 1.若复数 z1 ? 1 ? 8 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z 2 ) i 的虚部为 2. 设 i 是虚数单位,若 z ?
1 1? i ? ai 是实数,则实数 a ?

. ?2

C Y

.

1 2

??? ? ???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? 3. 在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A B ? i , A D ? j , A A1 ? k ,设点 E 满足 D 1 E ? 3 E C 1 ,

则向量 A E ? 4.在 ( x ?
2 x
5

??? ?

(用 i , j , k 表示).
3

? ? ?

3? ? ? i? j?k 4

) 的二项展开式中, x 的系数是

. ?10

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是 率 . (用数值作答)
15 128

.(以数字作答). 312

1 2

,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是_______.336 8.若 ( 2 x ? 1) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ,则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ______.1
4 2 3 4
2 9. 将 曲 线 x ? y ? 1 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 4 5 ? 后 , 得 到 的 曲 线 C 方 程 为

.

x ? y ? 2 xy ?
2 2

2x ?

2y ? 2 ? 0

10. 随机变量 ? 的分布列如下:
?
?1
a
0

1
c

P

b

其中 a, b, c 成等差数列,若期望 E ? ? ? ?

1 3

,则方差 V ? ? ? 的值是



5 9

11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)= .
13 35

5

12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可 以排成如图所示的三角形, 则第 n 个三角形数为 .
( n ? 1) ? n ? 2 ? 2

第 12 题 13. 已知 a , b , c ? Z ,若 a ? b ? c ,则下列说法正确的序号是
2 2 2

. ①④

① a , b , c 可能都是偶数; ③ a , b , c 可能都是奇数; 14.数列 { a n } 是正项等差数列,若 b n ?

② a , b , c 不可能都是偶数; ④ a , b , c 不可能都是奇数.
a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n 1? 2 ? 3?? ? n

,则数列 { b n } 也为等差数 ,则数

列,类比上述结论,数列 { c n } 是正项等比数列,若 d n ? 列 { d n } 也为等比数列.

?C

1

? C 2 ? C 3 ?? ? C n
2 3

n

?

2 n ? n ?1?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
?0 1 ? ? 0 ? 1? ? , N ? ? ? 。在平面直角坐标系中,设直线 ?1 0 ? ?1 0 ?

已知矩阵 M ? ?

2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程

解:由题设得 MN ? ?

?0 1 ? ? ?1 0 ?

? 0 ? 1? ?1 0 ? ?? ? ? ? ? ,设 ( x , y ) 是直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点, ?1 0 ? ? 0 ? 1?

点 ( x , y ) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ( x ?, y ? ) ,

6

则有 ?

?1 0 ? ? x ? ? x ?? ? x ? ? x ?? ? x ? x? ?? ? ? ? ? , 即 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 0 ? 1? ? y ? ? y ?? ?? y ? ? y ?? ? y ? ? y?

因为点 ( x , y ) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,从而 2 x ? ? ( ? y ? ) ? 1 ? 0 ,即: 2 x ? ? y ? ? 1 ? 0 所以曲线 F 的方程为 16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在
2x ? y ? 1 ? 0

AD 上,且 PG=4, AG

?

1 3

GD

,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求
PF FC
GP 为 x 轴、y 轴、 解:(1)以 G 点为原点, GB 、GC 、

的值.

P

z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0),
2,4)。 cos
? GE ,PC ?? GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 2 ? 20 ?

PC

=(0, ,

A

G

F D

10 10

B

E

C

∴GE 与 PC 所成的余弦值为

10 10



(2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,±1,0) . ∵ GD ?
3 4 AD ? 3 4 BC ? ( ? 3 2 , 3 2 3 2 ,0 )

, .
3 2 3 3 3 , , ) ? ( ,y ? 0 ,z ) 2 2 2

∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |=

(3)设 F(0,y,z),则 DF ? ( 0 ,y ,z ) ? ( ? ∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 , 即(
3 2 ,y ? 3 2 3 2 ,z ) ? ( 0 ,2 , ) ? 2 y ? 3 ? 0 0 3 2



, ,z-4)=λ (0,2,-4), ∴z=1,
7

∴y ?

, 又 PF ? ? PC ,即(0,

3 5

故 F(0,

3 2

,1)

1 , PF ? ( 0 , ,? 3 ) ,FC ? ( 0 , ,? 1) 2 2

3

,∴

PF PC

?

2 5 2

?3



17. (本题满分 14 分)
x ? 3 cos ? y ? 3 sin ?

已知曲线 C : {

,直线 l : ? ( 2 cos ? ? 3 sin ? ) ? 1 3 .

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值. (1) 2 x ? 3 y ? 13 ; (2) 13 ? 3 18. (本题满分 16 分)
?3 ?0 a ? / ? , a ? R , 若点 P ( 2 , ? 3 ) 在矩阵 A 的变换下得到点 P ( 3 , 3 ). ? 1?

已知矩阵 A ? ?

(1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量. (1) a ? 1 ; (2)特征值 ? 1 ? 3 , ? 2 ? ? 1 对应的特征向量分别为 ? 1 ? ? ? , ? 2 ? ?
?0 ? ?1 ? ? 1 ? ? ?? 4?

19. (本题满分 16 分) 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要 么只写有数字“ 2012 ” ,要么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出 的机会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率是
1 7

.现甲、乙两个小

朋友做游戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再 取,直到两个小朋友中有一人取得写着文字“奥运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? .

解: (1)4 个;

8

(2)
?
P
E? ? 2

1
3 7

2
2 7

3
6 35

4
3 35

5
1 35

20. (本题满分 16 分) 在数列 { a n } 、{ b n } 中, a 1 ? 2, b1 ? 4 ,且 a n , b n , a n ? 1 成等差数列,b n , a n ? 1 , b n ? 1 成等比数列
(n ? N ? ) .

⑴求 a 2 , a 3 , a 4 及 b 2 , b 3 , b 4 ,由此猜测 { a n } 、 { b n } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:
1 a 1 ? b1 ? 1 a 2 ? b2 ?? ? 1 a n ? bn ? 5 12



解:⑴由条件得 2 b n ? a n ? a n ? 1 , a n ? 1 ? b n b n ? 1 ,再由 a 1 ? 2, b1 ? 4 推得 a 2 ? 6, b 2 ? 9,
2

a 3 ? 1 2, b 3 ? 1 6, a 4 ? 2 0, b 4 ? 2 5 ,猜测 a n ? n ( n ? 1), b n ? ( n ? 1) ,用数学归纳法证明如
2

下: n ? 1 时, ① 由上知结论成立。 ②假设 n ? k 时, 结论成立, a k ? k ( k ? 1), b k ? ( k ? 1) , 即
2

那么 n ? k ? 1 时, a k ? 1 ? 2 b k ? a k ? 2 ( k ? 1) ? k ( k ? 1) ? ( k ? 1)( k ? 2 )
2

bk ?1 ?

a k ?1 bk

2

?

( k ? 1) ( k ? 2 )
2

2

( k ? 1)

2

? ( k ? 2 ) ,结论也成立,
2

由①②知, a n ? n ( n ? 1), b n ? ( n ? 1) 对一切正整数都成立.
2

⑵证明当 n ? 1 时,

1

a 1 ? b1

?

1 6

?

5 12

, n ? 2 时, 当 由①知 a n ? b n ? n ( n ? 1) ? ( n ? 1)

2

? ( n ? 1)( 2 n ? 1) ? 2 ( n ? 1) n ,故

1 a 1 ? b1

?

1 a 2 ? b2

?? ?

1 a n ? bn

?

1 6

?

1

2 2?3

(

1

?

1 3? 4

?? ?

1 n ( n ? 1)

) ?

1 6

?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ? 2 2 n ?1 6 4 2 ( n ? 1)

?

1 6

?

1 4

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5 12


9


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