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南昌二中2012届高三数学(理科)模拟题一

命题人

曹开文

2012 年 5 月 4 日

第Ⅰ卷 1、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若 A. ?

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z
B.





1 5 ? i 2 2

1 5 ? i 2 2

C.

1 5 ? i 2 2

D. ?

1 5 ? i 2 2


2.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是(

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r 1
A. r2 3.设 恒成立的是 A. a ? b ? 2cd 4.设函数 A. (??, ?1] ? [2, ??) B. a ? b ? 2cd

? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r ? r3 1
B. r4 ( C. | a ? b |? 2cd ) D. | a ? b |? 2cd )

,若 a,1,b 成等比数列,且 c,1,d 成等差数列,则下列不等式

若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取值范围是( B. [?1, 2] C. (??, ?2] ? [1, ??)

D. [?2,1] ??? ? ??? ? ??? ? ? 5.设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,若实数 x、y、z 满足 xOA ? yOB ? zOC ? 0 , 2 2 2 ) ( x ? y ? z ? 0), 则“ xyz ? 0 ”是“ O 为 ?ABC 的边所在直线上”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.对于函数

? 3? f ( x) ? cos( ? x) sin( ? x) ,给出下列四个结论:①函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ;②若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 2 2 ? ? 3? x1 ? ? x2 ;③ f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称;④ f ( x) 在 [ , ] 上是减函数,其中 4 4 4
f ( x) ? 3cos

正确结论的个数为 A.2 B.4 7.函数 A.2

?
2

( C.1

) D.3

6

a

x ? log 2 x ?
B.3

1 的零点个数为 2
C.4 D.5





1 主 图 视 左 图 视

8.某几何体的三视图如图,该几何体的体积的最大值为 A. 9.对任意正整数 n ,定义 n 的双阶乘 n !! 如下: 当 n 为偶数时, n !! ? n(n ? 2)(n ? 4) ?6 ? 4 ? 2 当 n 为奇数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4) ?5 ? 3 ?1

2

B.2

C.

6

D.3

1

b 俯 图 视

现有四个命题:① (2011!!)(2010!!) ? 2011! , ② 2010!! ? 5. 其中正确的个数为( A.1 B.2
2 2

2 ? 1005! ,③ 2010!! 个位数为 0,

④ 2011!! 个位数为

) C.3 D.4 P,且|PF|=5,则该双曲线的离心

10.双曲线 率为 A.

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,两曲线的一个公共点为 2 a b
( ) B.

5 2
共6页

5

C.

2

D.

2 3 3

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分) 第1页

二、填空题(本大题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 11.执行图 3 中程序框图表示的算法,若输入 m=5533,n=2012,则输出 d=_____

? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内,当此四棱锥的体积取得最 大值时,它的表面积等于 4 ? 4 3 ,则球 O 的体积等于 . 9 2 9 13.已知 ( x ? 2) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ?? a9 x ,则 (a1 ? 3a3 ? 5a5 ? 7a7 ? 9a9 )2 ? (2a2 ?
12.四棱锥 S

4a4 ? 6a6 ? 8a8 2)的值为

(a ? 0, b ? 0) 和函数 f ( x) ? mx?1 ? 1 (m ? 0, m ? 1) 的图像恒过同一个定点,且该定点始终落 ab 85 2 2 在圆 ( x ? a ? 1) ? ( y ? b ? 2) ? 的内部或圆上,那么 的取值范围是_______________. 2a ? b 4
14.如果直线 2ax ? by ? 5 ? 0 三.选做题 15. (在给出的二个题中,任选一题作答。若多选做,则按所做的第 A 题给分) ( A )( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 。 (B) (不等式选讲)已知对于任意非零实数 m,不等式 | 5m ? 3 | ?

? 2 ? sin(? ? ) ? 与圆? ? 2cos ?
4 2

的位置关系是

2 | 3 ? 4m |? | m | (x ? )恒成立,则实数 x

x 的取值范围是

。 四、解答题(本大题包括 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16、 本小题满分 12 分) ABC 中, ( 在△ 向量 m ? (2cos B,1) , 向量 n (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin
2

??

?

?? ? ?? ? ? B ? (2 cos 2 ( ? ), ?1 ? sin 2 B) , 且满足 m ? n ? m ? n 4 2

.

A ? sin 2 C 的取值范围

17. (本小题满分 l2 分)某市第一中学要用鲜花布置花圃中 ABCDE 五个不同区域,要求同一区域上用同一种颜色的鲜花,相邻区域 使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择. (Ⅰ)求恰有两个区域用红色鲜花的概率; A (Ⅱ)记 ? 为花圃中用红色鲜花布置的区域 的个数,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望.

C B E D

7 1 1 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 18. (本小题满分 l2 分)已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = 2 2 4 1 } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (Ⅰ)求证:数列 {bn 2 12k * ? 2n 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. (Ⅱ)如果对任意 n ? N ,不等式 12 + n - 2Tn
ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线 段 AD 上, OA ? 1 , OD ? 2 ,△ OAB ,△ OAC ,△ ODF ,△ ODE 都是正三角形. (Ⅰ)证明: 直线 BC ? 平面EFD ;
19. (本小题满分 l2 分)如图, (Ⅱ)求二面角 C—EF—D 的余弦值.

第2页

共6页

?
20. (本小题满分 l3 分)设 C1 是以 F 为焦点的抛物线 以

0

1

2

y 2 = 2 px ( p > 0) , C2 是以直线 2 x -

3y = 0 与 2x +

3 y = 0 为渐近线,

(0,

7 为一个焦点的双曲线.

)

(Ⅰ)求双曲线 C2 的标准方程;

??? ??? ? ? A 和 B ,求 p 的取值范围,并求 FA ×FB 的最大值; ? ? 2 ??? ??? (Ⅲ)若 DFAB 的面积 S 满足 S = FA FB ,求 p 的值. 3
(Ⅱ)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x-xlnx , a 为正常数. (Ⅰ)求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)对任意的正实数 ,且 ,证明:

,其中

表示函数 f(x)在 x=a 处的导数,

(Ⅲ)对任意的

答案

17 解: (1)当 A,D 区域同时用红色鲜花时,其它不能用红色,因此布置花圃的不同方法的种数为 4 ? 3 ? 3 ? 36 种.

(2)设 M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花” ,当区域 A,D 同色时共有 5 ? 4 ? 3 ? 1? 3 ? 180 种;当区域 A,D 不同色时共有

5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 240 种,因此所有基本事件总数为: 180 ? 240 ? 420 种(是等可能的)
第3页 共6页

又因为 A,D 为红色时,共有 4 ? 3 ? 3 ? 36 种;B,E 为红色 因此, 事件 M 包含的基本事件有:36 ? 36 ? 72 种, 所以, (3)随机变量 ? 的分布列为

P

6 35

23 35

6 35

时,共有 4 ? 3 ? 3 ?

36 种;

P( M ) ?

72 6 ? 420 35

6 23 6 ? 1? ? 2 ? ? 1 35 35 35 * 1 1 1 1 1 18.解: (1) 对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ? bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) , 2 4 2 2 2 1 1 1? ? 则 ?bn ? ? 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 , 2 2 2? ? 1 1 n ?1 1 n ?1 1 ? . 所以 bn ? ? 3 ? ( ) , bn ? 3 ? ( ) 2 2 2 2
所以: E?

? 0?

(2)将

y = 2 px ( p > 0) 代入到

2

y 2 x2 ? ? 1 中并整理得: 2 x2 ? 3 px ? 6 ? 0 4 3

第4页

共6页

? ? ? ( ?3 p ) 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 0 ? 3p ? ?0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )其中x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 则 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? x1 x2 ? 3 ? ??? ??? ? ? p p p 4 3 ( ) +y ,又 F ( , 0) ,? FA?FB ? x1 - (x2 - ) 1 y2 ?p? 2 2 2 3 1 1 p p2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 p x1 x2 ? ? p 2 ? 2 3 p ? 3 ? ? ( p ? 2 3) 2 ? 9 ? 9 2 2 2 4 ??? ??? ? ? ? 当且仅当 p ? 2 3 时 FA ×FB 的最大值为 9 y ? y1 x ? x1 (3)直线 AB 的方程为: 即 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 ? y2 ? y1 x2 ? x1 p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | p 2 ? F ( , 0) 到直线 AB 的距离为: d ? 2 2 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2

p | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | 2 2 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2 1 1 p 1 ? S ? | AB | d ? | ? y1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( ? x1 ) | ? (2 3 ? p) 3 p 2 ? 4 3 p 2 2 2 4 ? ? 2 1 2 1 2 ??? ??? 2 又 S = FA FB ,? (? p ? 2 3 p ? 3) ? (2 3 ? p) 3 p ? 4 3 p ,? p ? 2 3 3 3 2 4 21.解: (1) f ' ( x) ? ? ln x , g ( x) ? x ? x ln x ? x ln a , 1 1 ? S ? | AB | d ? | AB | 2 2

第5页

共6页

所以 ?k ' ( x) ? 0 , ? k (x ) 在 (1 , ? ?) 上单调递减.

第6页

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