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等比数列基础知识点+练习


等比数列 复习资料题

数列专题(三) :等比数列
知识点 等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系

1. 定义: 公比:

等比数列 an ?1 a ? q或 n ? q an an ?1 q

等差数列 an ?1 ? an ? d 或an ? an ?1 ? d 公差: d

?递增数列 :a1 ? 0, q ? 1 单调性: ? ? a1 ? 0, 则反之 ?递减数列 :a1 ? 0, 0 ? q ? 1 通项公式: an ? a1q n ?1 ?①等比中项:若a, A, b成等比数列 ? 则 A2 ? ab ? ?②若m ? n ? p ? q, 则a ? a ? a ? a m n p q ?

?

?递增数列:d ? 0 ? ?递减数列:d ? 0 an ? a1 ? ? n ? 1? d ?①等差中项:若a, A, b呈是等差数列 ? a?b ? 则 A? ? 2 ? ? ?②若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq

性质:

? ?①定义法:an ? an ?1 ? d ? n ? 2, 且n ? N * ? 或an ?1 ? an ? d ? 数列?an ? 为等差数列 ? ? ? * ??1? 等差数列的判定: ?②等差中项法:2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, 且n ? N ) ? 数列?an ? 为等差数列 ? ? ③通项公式法:an ? kn ? b(k, b 为常数) ? 数列?an ? 为等差数列 ? ? ? 2.? ? an a ? ? q ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 n ?1 ? q ? 数列?an ? 为等比数列 ? ?①定义法: an ?1 an ?? 2 ? 等比数列的判定: ? ? ?②等比中项法:a 2 ? a ? a (n ? 2, 且n ? N * ) ? 数列?a ? 为等比数列 n n ?1 n ?1 n ? ? 注意:①an ?1 ? an ? d (d 为常数,n ? N * )对任意的n ? N *恒成立,不能几项成立就说 ?an ? 为等差数列。 ② an ?1 ? q (q为常数,n ? N * )对任意的n ? N *恒成立,不能几项成立就说 ?an ? 为等比数列。 an

? ?①若是两个数呈等差数列,则可设为a ? d , a ? d ; ? ? ??1? 等差数列的假设 ?②若是三个数呈等差数列,则可设为a ? d , a, a ? d ; ?③若是四个数呈等差数列,则可设为a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . ? ? ? ? ? a ? ?①若是两个数呈等比数列,则可设为 q , aq; 3.类比 ? ? ? ?? 2 ? 等比数列的假设 ?②若是三个数呈等比数列,则可设为 a , a, aq; ? ? q ? ? ? a a 3 ? ?③若是四个数呈等比数列,则可设为 3 , , aq, aq . ? q q ? ?
考点一 等比数列的通项公式:利用方程的思想求出等比数列的首项 a1 和公比 q

? an ? a1qn?1

例1

?1( ? 2013 ? 北京高考)等比数列?an ? 满足a2 ? a4 ? 20,a3 ? a5 ? 40,则公比q ? _________
3 ? ?a1q ? a1q ? 20 解: ? 2 4 ? ?a1q ? a1q ? 40 2 4 ? ?a1 ? 2 ?a q ? a1q ? 20q 方程①?q ???? ?? 1 2 ? ? 4 ② ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 40



等比数列 复习资料题

? 2( ? 2014 ? 江苏高考)已知等比数列?an ?的各项均为正数,且a2 ? 1,a8 ? a6 ? 2a4 , 则
解析:①运用解方程的思想,求首项a1和公比q ②若求出首项a1和公比q很麻烦,数字很大或很难处理时,有时需要整体代换

a6 ? ________

2 ? ?q ? 2 解:a8 ? a6 ? 2a4 ? a1q 7 ? a1q 5 ? 2a1q 3 ? q 4 ? q 2 ? 2 ? q 4 ? q 2 ? 2 ? 0 ? ? 2 ? a6 ? a2 q 4 ? 4 q ? ? 1 舍 ? ? ? ?

强化练习: 1 已知等比数列?an ?的公比为正数,且a2 ? a6 ? 9a4,a2 ? 1, 则 a1 ? ? A. 3 B. ? 3 C. ? 1 3 D. 1 3

?

2

已知等比数列?an ?中,且a6 ? a2 ? 34,a6 ? a2 ? 30, 则 a4 ? ? A. 8 B. 16 C. ? 8 D. ? 16

? ?

3

2 已知等比数列?an ?中,满足a1 ? 2,a3 a5 ? 4a6 ,则 a3 ? ?

4 5

1 1 B. 1 C. 2 D. 2 4 已知等比数列?an ?中,且a1 ? a2 ? 324,a3 ? a4 ? 36, 则a5 ? a6 ? ________ A. 已知等比数列?an ?中,且a5 ? a6 ? 27,a7 ? a8 ? 81, 则a3 ? a4 ? ________

2 ? ?①等比中项:a, G, b成等比数列,则 G ? ab; 考点二 等比数列的性质 ? ? ?②若m ? n ? p ? q, 则am an ? a p ? aq

例2

? 2014 ? 天津高考 ? 设 ?a ? 是首项为a ,公差为 ? 1
n 1

的等差数列,S n 为其前n项和,若 1 2 1 2

S1,S 2,S 4成等比数列,则a1 ? ? A 2 B ?2 C 1 2

?
D ?

解析:利用等比中项的性质。
2 ? S1,S 2,S 4成等比数列 ? S 2 ? S1 ? S 4

? ? 2a1 ? d ? ? a1 ? 4a1 ? 6d ? ,代入d ? ?1解得a1 ? ?
2

例3

? 2014 ? 广东高考 ? 等比数列?a ?的各项均为正数,且a a =4,
n 1 5

则 log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 ? ____________ ?ln e ? 1 ? ④ ?lg10 ? 1 , ?log 1 ? 0 ? a

解析:考察知识点① lg A ? lg B ? lg AB; ②若m ? n ? p ? q, 则am an ? a p ? aq

A ② lg A ? lg B ? lg ; B

③ lgA ? B lg A;
B

log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 ? log 2 a1a2 a3 a4 a5 , 又a1a5 ? a2 a4 ? a3a3 ? 4 ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 ? log 2 a1a2 a3 a4 a5 ? log 2 4 ? 2 ? 4 ? log 2 32 ? 5

等比数列 复习资料题

强化练习:

?1( ? 2014 ? 全国高考II)等差数列?an ? 公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则?an ?的前n项和S n ? ? n ? n ? 1? n ? n ? 1? A. n(n ? 1) B. n ? n ? 1? C. D.
2 2 ( 2013 ? 江西高考)等比数列 x ,3 x ? 3 , 6 x ? 6,... 的第四项等于 ? ? ? A. ? 24 B. 0 C. 12

?

?
D. 24

2

? 3( ? 2014 ? 安徽高考)数列?an ? 是等差数列,若a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5构成公比为q的等比数列,则q ? ___ ? 4( ? 2014 ?山东高考)等差数列?an ?中,已知公差d ? 2, 若a2是a1与a4的等比中项,则an ? ___________ ? 5( ? 2014 ?山东高考)等差数列?an ?的公差d ? 2, 前n项和为Sn ,且S1,S2,S4成等比数列,则an ? _____ ? 6( ? 2014 ? 重庆高考)对任意等比数列?an ?,下列说法一定正确的是 ?
A. a1 ,a3 ,a9成等比数列 C. a2 ,a4 ,a8成等比数列 B. a2 ,a3 ,a6成等比数列 D. a3 ,a6 ,a9成等比数列

?

? 7 ? 等比数列?an ?的各项均为正数,且a1a9 =2,则 log 2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 ? log 2 a6 ? log 2 a7 ? _______ ? 8 ? 等比数列?an ?的各项均为正数,且a2 a7 =10,则 lg a1 ? lg a3 ? lg a4 ? lg a5 ? lg a6 ? lg a8 ? __________ ? 9 ? 等比数列?an ?的各项均为正数,且a2 a7 =10,则 lg a1 ? lg a3 ? lg a4 ? lg a5 ? lg a6 ? lg a8 ? __________ ?10( ? 2014 ? 广东高考)等比数列?an ?的各项均为正数,且a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5,则
ln a1 ? ln a2 ? ... ? ln a20 ? _____________

?11( ? 2014 ? 全国高考)等比数列?an ?中,已知a4 ? 2,a5 ? 5,则数列?lg an ?的前8项和等于 ?
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

?

考点三 等比数列的判定 an a ? ? q ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 n ?1 ? q ? 数列?an ? 为等比数列 ?①定义法: an ?1 an 等比数列的判定: ? ?②等比中项法:a 2 ? a ? a (n ? 2, 且n ? N * ) ? 数列?a ? 为等比数列 n n ?1 n ?1 n ? 注意:在说明一个数列是等比数列的同时,必须交代首项和公比分别是什么。 例4

?1?已知数列?an ?中,an ? 2an?1 ? n ? 2, 且n ? N * ? , 且a1 ? 1, 则通项公式an ? __________ ? 2 ?已知各项为正数的数列?an ?中,an?1 ? 1 ? 3 ? an ? 1? , 且a1 ? 3, 则通项公式an ? __________

解析: ?1? 可用定义法直接判定数列?an ? 为等比数列;

? 2 ?以新数列的视界看待?an ? 1?,数列?an ? 1? 是以a1 ? 1 ? 2为首项,公比为3的等比数列。
解: ?1? ? an ? 2an ?1 ? an ?2 an ?1 ? 数列?an ? 是以a1 ? 1为首项,为公比的等比数列 2 ,即an ? a1q n ?1 ? 2n ?1

等比数列 复习资料题

? 2 ? ? an?1 ? 1 ? 3 ? an ? 1? ?

an ?1 ? 1 ? 3.即?an ? 1? 是以a1 ? 1 ? 2为首项,公比为3的等比数列 an ? 1

? an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ? an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 例5 已知数列?an ?的前n项和为S n , 且an ? S n ? n

?1? 设cn ? an ? 1,求证: ?cn ? 是等比数列
解析:思路由S n ? S n ?1 ? an ? cn ? 解: ? S1 ? a1 ?1? 证明: ? a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? 1 2

? 2 ? 求数列?an ?的通项公式.
① ? ②得an ? an ?1 ? an ? 1 ? 2an ? an ?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? ? an ?1 ? 1 ? an ? 1 1 ? an ?1 ? 1 2

cn ? q ? ?cn ? 是等比数列 ? ?an ?的通项公式 cn ?1

? an ? S n ? n................① ? an ?1 ? S n ?1 ? n ? 1........② 1 1? ? 2 ? ? cn ? ? ? ? ? ? 2 ?2? 强化练习:
n ?1

1 1 ??cn ? 是以a1 ? 1 ? ? 为首项,公比为 的等比数列 2 2 ,又cn ? an ? 1 ? cn ? 1 ? an ?1? ? an ? ? ? ? ? 1 ?2?
n

?1? ? ?? ? ?2?

n

?1?已知数列?an ?中,an ?

1 an ?1 ? n ? 2, 且n ? N * ? , 且a1 ? 2, 则通项公式an ? __________ 2 2 , 则通项公式an ? ________________ 3

? 2 ?已知数列?an ?中,an?1 ? 3an ? n ? N * ? , 且a1 ?

? 3?已知各项为正数的数列?an ?中,an ?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? , 且a1 ? 3, 则通项公式an ? __________ ? 4 ?已知各项为正数的数列?an ?中,an ?1 ?
1 2? 1? ? ? an ? ? , 且a1 ? 1, 则通项公式an ? __________ 2 3? 2?

2 1 an ? ,则数列?an ?的通项公式an ? ________________ 3 3 ? 6 ?已知数列?an ?的前n项和为Sn ,且Sn ? 4an ? 3 ? n ? N ? ? ,

? 5? ? 2013 ? 全国卷I ? 若数列?an ?的前n项和Sn ? ? I ? 证明:数列?an ? 是等比数列.

? II ? 求 ?an ?的通项公式.

? 7 ? ? 2014 ? 全国高考 ?已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1 ? 3an ? 1? n ? N ? ? , ? I ? 证明:数列 ? ?an ?
? 1? ? 是等比数列. 2?

? II ? 求 ?an ?的通项公式.


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