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江苏省无锡一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题.

高二数学试题
命题:刘伟
参考公式: S球 ? 4? R , V球 ?
2

4 1 1 ? R 3 ,V柱 ? Sh,V锥 ? Sh,V台 ? (S上 +S下 + S上 S下) ?h 3 3 3
▲ ▲ . ▲ ▲ . . .

一.填空题 1.过点 P?2,3? 和 Q?? 1,6? 的直线 PQ 的倾斜角为
2 2.命题“ ?x ? 0 , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是

3.直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 与直线 l 2 : ax ? y ? a ? 1平行,则 a ?

4.若长方体三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,则长方体的体积等于

5.三个球的半径之比是 1 : 2 : 3 ,则其中最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比是 ▲ . 6 .三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC ? 90? , PA ⊥平面 ABC ,且 ?CPB ? 30? ,则 ?PCB ? ▲ . 7.如果命题 p 是命题 q 成立的必要不充分条件,那么命题“ ? p ” 是命题“ ? q ”成立的 ▲ 条件. (填充要关系) 8.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E 在棱 CC1 上, C1 E ? 3CE ,设平面 A1 DE 与 正方体的侧面 BB1C1C 交于线段 EF ,则线段 EF 的长为
2





9.过点 ?3,3? 的直线 l 与圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,则直线 l 的 方程是 ▲ . ▲ .

10.设有两条直线 m 、 n 和两个平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 ①若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m // n ;

②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;

③若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;④若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m ∥ ? . 11. 已知集合 M ? {( x, y) y ? 9 ? x 2 }, N ? {( x, y) y ? x ? m} , 且M ? N ? ?, 则m的 取值范围为 12.当 m ? 最大. 13.有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥形礼品(如图所示) ,现用一张正方形包装纸将其完 全包住,要求包装时不能剪裁,但可以折叠,则包装纸的最小边长应为 ▲ . ▲ ▲ . 时,原点 O 到动直线 l: (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 的距离

1

14.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A 、 B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 二.解答题 ▲ .

15.设命题 p :关于 x 的方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 有实数根;命题 q : 函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域是 R .若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为 假,求 a 的取值范围.

16.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 B-FB1C 的体积.
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

17.如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥ABC,BD∥AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F 在 CD 上(不含 C, D 两点) (1)求多面体 ABCDE 的体积; (2)若 F 为 CD 中点,求证:EF⊥面 BCD; (3 ) 当

DF 的值为多少时,能使 AC ∥平面 EFB,并给出证明. FC

2

18. (本小题满分 16 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,与 y 轴交于 M 、 N 两点且 M 在 N 的上方.若直线

y ? 2 x ? 5 与圆 O 相切.
(1)求实数 r 的值; (2)若动点 P 满足 PM ? 3PN ,求 ?PMN 面积的最大值. (3)设圆 O 上相异两点 A、B 满足直线 MA 、 MB 的斜率之积为 3 .试探究直线 AB 是否经 3 过定点,若经过,请求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

19.四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD ? 平面ABCD , ?PAD 是正三角形,底面四边形 ABCD 是菱形, ?DAB =60? , E 为 PC 中点,F 是线段 DE 上任意一点. (1)求证: AD ? PB ; (2)若点 M 为 AB 的中点, N 为 DC 的中点,求证:平面 EMN //平面 PAD ; (3)设 P, A, F 三点确定的平面为 ? ,平面 ? 与平面 DEB 的交线为 l,试判断直线 PA 与 l 的位置关系,并证明之.

3

20.已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 和点 A?a,0? ,设圆 O 与 x 轴交于 P 、 Q 两点, M 是圆

O 上异于 P 、 Q 的任意一点,过点 A?a,0? 且与 x 轴垂直的直线为 l ,直线 PM 交直线 l 于点 E ,直线 QM 交直线 l 于点 F . (1)若 a ? 3 ,直线 l1 过点 A?3,0? ,且与圆 O 相切,求直线 l1 的方程; (2)证明:若 a ? 3 ,则以 EF 为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标; (3)若以 EF 为直径的圆 C 过定点,探求 a 的取值范围.

4

参考答案
1.

3? 4

2 2. ? x ? 0 , x ? 2 x ? 1 ? 1

3. 1 8.

4. 6

5. 3 : 1

6. 90 ?

7.充分不必要 10.④

3 2 4

9. y ? 3 或 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 12. m ? ?2

11. ? 3 ? m ? 3 2

13.(

2? 6 )a 2

14.4

15. p 真: a ? 0 ; q 真: a ?

1 ?1 ? ,所以 a ? ?? ?,0? ? ? ,?? ? 2 ?2 ?

16.证明: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(2)

D1 A1 E B1

C1

? ? ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?
B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1D1 ?

B1C ? AB B1C ? BC1

D F A B

C

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ?
(3)?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F ? 2

1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2

5

=

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

17.以 AB 中点为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 A?? 5,0? , B?5,0? .设

P ? x, y ? 为 分 界 线 上 任 一 点 , 从 B 地 向 P 处 运 货 的 单 位 运 费 为 a , 依 题 意 有
3a? | PA |? a? | PB | , 所 以 3 | PA |?| PB | . 即 9 ?x ? 5? ? y 2 ? ?x ? 5? ? y 2 , 即
2 2

?

?

25 25 ? ? 25 ? ? ? 25 ? 2 ? x ? ? ? y ? ? ? .这表明 A 、 B 两地区域分届线是以 ? ? ,0 ? 为圆心,以 为 4 4? ? 4 ? ? ? 4?
半径的圆.所以 A 地的购物影响区域的大小为 ?

2

2

? 25 ? . ? ? (平方公里) ? 4?
2 2 2

2

18.解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ 又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 .
2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

(3)设圆 P 的半径为 R ,? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2:圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些 半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原 点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. r= 3 3 5 2 -1 = 5 -1. 2 +1
2

y
2

A
P0
O
6

又 l’:x-2y = 0,

2

x P
l

Q

6 ? 6 3 ?x ? 5 , x ? 2 y ? 0, ? ? 解方程组 ? ,得 ? .即 P0( 5 ,5 ). ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 19. (1)略 (2) 取 AD 中点 M , 可证得 MB ? AD ,PM ? AD , 则 AD ? 平面 PAB AD ? PB ; EDB PA // (3)平行,可证得 平面 20.(1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且与

x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?
? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). t y? ( x ? 1) s ?1 s ?1 ? s ?1 ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6 x + 1) +

t ( x ? 1). s ?1

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y= 0, t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . (3)逆命题:设圆 O 与 x 轴交于 P 、 Q 两点, M 是圆 O 上异于 P 、 Q 的任意一点,过点
' ' 直线 PM 交直线 l 2 于点 P , 直线 QM 交直线 l 2 于点 Q , M ?m,0? 且与 x 轴垂直的直线为 l 2 ,

' ' 以 P Q 为直径的圆 C 总过定点,则 m ? 1 或者 m ? ?1 .

证明略 (注:逆命题可以有不同构造方法,按照学生所给的逆命题的情况酌情给分)

7

8


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