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2014北京西城高三上期末数学文(含解析)

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷 2014.1 高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. ≥0} ,则集合 A B ? () 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ?1 A. (0,1) B. (0,1] C. (1, 2) D. [1, 2)

2.已知命题 p :“ ?x ? R , x ? 2 ? 3 ”,那么 ? p 是() A. ?x ? R , x ? 2 ? 3 , C. ?x ? R , x ? 2 ? 3 B. ?x ? R , x ? 2 ≥3 D. ?x ? R , x ? 2 ≥3

3.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3) , B(?2, k ) ,若向量 OA ? AB ,则实数 k ? () A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4.若坐标原点在圆 ( x - m)2 + ( y + m)2 = 4 的内部,则实数 m 的取值范围是() A. - 1 < m < 1 C. B. -

3 < m< 3
2 2 < m< 2 2

2 < m<

2

D. -

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

3 A. 4 4 B. 5 5 C. 6
D. 1

开始 i=1,S=0

S?S?

1 i(i ? 1)

i=i+1

i≥5
是 输出 S 结束



1 / 14

6.若曲线 ax 2 ? by 2 ? 1为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足() A. a 2 ? b 2 C. 0 ? a ? b

1 1 ? a b D. 0 ? b ? a
B.

7. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 且当 x ? (0,1] 时,f ( x) ? x 2 ? x , 则当 x ? [ ?1,0] 时, f ( x) 的最小值为()

A. ?

1 8

B. ?

1 4

C. 0

D.

1 4

? x ? y≥0, ? 8 .在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 ? y≤2 ? ?u ? x ? y, T :? 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u , v ) ,则由点 (u , v ) 所形成的 ?v ? x ? y
平面区域的面积为() A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知复数 z 满足 z =

2i ,那么 | z |? ______. 1? i

10.在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a8 ? a10 ? 4 ,则公差 d ? ______;前 17 项的和 S17 ? ______. 11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此 三棱柱正(主)视图的面积为______. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a ? 3 , b ? 2 ,

cos( A ? B) ?

1 ,则 cos C ? ______; c ? ______. 3

2 侧(左)视图

13 . 设 函 数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0,
x ?4 ,

x≤0,

则 f [ f (?1)] ? ______ ; 若 函 数

g ( x) ? f ( x) ? k 存在两个零点,则实数 k 的取值范围是______.

) 14 . 设 M ? {( x , y ) | F (x , y ?

0} 为 平 面 直角 坐 标系 xOy 内 的 点集 , 若对 于 任意 ( x1 , y1 ) ? M , 存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,则称点集 M 满足性质 P .给出下列三个点集: ① R ? {( x, y) | cos x ? y ? 0} ; ② S ? {( x, y) | ln x ? y ? 0} ;

③ T ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} . 其中所有满足性质 P 的点集的序号是______.
2 / 14

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x , g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) ,且 g ( x) 的最小正周期为 π .

π 3

6 ? ?[?π, π] , ,求 ? 的值; 2 (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.
(Ⅰ)若 f (? ) ?

16. (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无 法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝 对值不超过 2 分的概率. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

3 / 14

17. (本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥ 平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:平面 BDGH//平面 AEF; E (Ⅲ)求多面体 ABCDEF 的体积.

F D

G H C

A B

4 / 14

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0, 4] 时,求函数 f ( x ) 的最小值.

5 / 14

19. (本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k (k ? 0) .设抛物 线 W 的焦点在直线 AB 的下方. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D .判断四 边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由.

6 / 14

20. (本小题满分 13 分)

[an ] 表示不超过实数 an 的最大整数 , ( n?N ) , 设无穷等比数列 {an } 的公比为 q , 且 an ? 0 (如 [2.5] ? 2 )
*

记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .

1 ,求 T3 ; 2 * (Ⅱ)证明: Sn = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 an ? N ;
(Ⅰ)若 a1 = 14, q = (Ⅲ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1 ,证明: ( ) 2012 ? q ? 1 .

2 3

1

7 / 14

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末 高三数学(文科)参考答案及评分标准
2014.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 2.D 3.A 5.B 6.C 7.A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 11. 2 3 4.C 8.C

1 34 8 1 12. ? 17 3
10.

13. ?2 (0,1] 14.①③ 10 12 13 2 注:第 、 、 题第一问 分,第二问 3 分.第 14 题若有错选、多选不得分,少选得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 π , 所以

2? ? ? ,解得 ω ? 2 . |ω|

π 3

……………… 3 分

6 6 ,得 3 cos 2? ? , 2 2 2 即 cos 2? ? , 2 π 所以 2? ? 2kπ ? , k ? Z . 4 ? ? [ ? π , π ] 因为 , 7π π π 7π , ? , , }. 所以 ? ? {? 8 8 8 8
由 f (? ) ? (Ⅱ)解:函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3 cos 2 x ? sin(2 x ? )

……………… 4 分

……………… 6 分

π 3

? 3 cos 2 x ? sin 2 x cos

π π ? cos 2 x sin ……………… 8 分 3 3

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
π ? sin(2 x ? ) , ………………10 分 3 π π π ………………11 分 由 2kπ ? ≤2 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2 5π π ≤x≤kπ ? 解得 kπ ? . ………………12 分 12 12 5π π ,kπ ? ](k ? Z) .…………13 分 所以函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 [kπ ? 12 12

8 / 14

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] ,

……………… 4 分 解得 a ? 1 . ……………… 5 分 (Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , a ? 0,1, 2, ,9 ……………… 6 分 依题意 ,共有 10 种可能. 由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, 所以当 a ? 2,3, 4, ,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.… 7 分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P( A) ?

1 3

1 3

……………… 3 分

8 4 ? . 10 5

……………… 8 分

(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分”为事件 B ,………… 9 分 当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是: (88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , ………………10 分 (92,90) (88,90) (92,91) 所以事件 B 的结果有 7 种,它们是: , , ,(92,92) ,(92,90) ,(92,91) , (92,92) . ……………… 11 分 因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率 P( B) ?

7 . 9

………………13 分 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是正方形, ……………… 1 分 所以 AC ? BD . 又因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,平面 BDEF 平面 ABCD ? BD ,且 AC ? 平面 ABCD , ……………… 4 分 所以 AC ? 平面 BDEF . CE , CF G , H ? CEF (Ⅱ)证明:在 中,因为 分别是 的中点, 所以 GH //EF , E 又因为 GH ? 平面 AEF , EF ? 平面 AEF , ……………… 6 分 所以 GH // 平面 AEF . 设 AC BD ? O ,连接 OH , G 在 ?ACF 中,因为 OA ? OC , CH ? HF , F 所以 OH //AF , H D 又因为 OH ? 平面 AEF , AF ? 平面 AEF , ……………… 8 分 所以 OH // 平面 AEF . C O 又因为 OH GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH , A ………………10 分 所以平面 BDGH // 平面 AEF . B (Ⅲ)解:由(Ⅰ) ,得 AC ? 平面 BDEF , 又因为 AO ? 2 ,四边形 BDEF 的面积 S 所以四棱锥 A ? BDEF 的体积 V1
BDEF

? 3? 2 2 ? 6 2 ,……………11 分
BDEF

1 ? ? AO ? S 3 同理,四棱锥 C ? BDEF 的体积 V2 ? 4 .
所以多面体 ABCDEF 的体积 V 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e x , x ? R , 所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e x .
9 / 14

? 4.

………………12 分

? V1 ? V2 ? 8 .

………………14 分

……………… 2 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ? 1 . 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

……………… 3 分

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

?


0

?


f ( x)

……………… 5 分 故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .………… 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) . 所以当 ?a ? 1≤0 ,即 a≥ ? 1 时, f ( x ) 在 [0, 4] 上单调递增, 故 f ( x ) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x)min ? f (0) ? a ; ……………… 8 分 当 0 ? ?a ? 1 ? 4 ,即 ?5 ? a ? ?1 时, f ( x) 在 (0, ? a ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 (?a ? 1, 4) 上单调递增,
? a ?1 故 f ( x ) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x)min ? f (?a ?1) ? ?e ;………………10 分

当 ? a ? 1≥4 ,即 a≤ ? 5 时, f ( x ) 在 [0, 4] 上单调递减,
4 故 f ( x ) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x)min ? f (4) ? (a ? 4)e .

………………12 分

所以函数 f ( x ) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x) min

a≥ ? 1, ? a, ? ? a ?1 ? ??e , ? 5 ? a ? ?1, ?(a ? 4)e 4 , a≤ ? 5. ?

……13 分

19. (本小题满分 14 分)

1 ……………… 1 分 4 ……………… 2 分 由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y ? 1 ? k (0,1 ? k ) 令 x ? 0 ,得 ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 . ……………… 3 分 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 1 所以 1 ? k ? , 4 3 解得 k ? . 4 因为 k ? 0 , 3 ……………… 5 分 所以 0 ? k ? . 4 ……………… 6 分 (Ⅱ)解:结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.
(Ⅰ)解:抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) . 理由如下: 假设四边形 ABDC 为梯形. 由题意,设 B( x1 , x ) , C ( x2 , x ) , D( x3 , y3 ) , 联立方程 ?
2 1 2 2

……………… 7 分

? y ? 1 ? k ( x ? 1),

2 ?y ? x , 消去 y ,得 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 , 由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 .

……………… 8 分

10 / 14

1 ?1. k 对函数 y ? x2 求导,得 y? ? 2 x ,
同理,得 x2 ? ? 抛物线 y ? x2 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2 x2 ? ? 由四边形 ABDC 为梯形,得 AB //CD 或 AC //BD .

……………… 9 分

所以抛物线 y ? x2 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 , ……………… 10 分

2 ? 2 . ………………11 分 k

2 ? 2 ,即 k 2 ? 2k ? 2 ? 0 , k 因为方程 k 2 ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB 与 CD 不平行. 1 若 AC //BD ,则 ? ? 2k ? 2 ,即 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0 , k 2 因为方程 2k ? 2k ? 1 ? 0 无解,所以 AC 与 BD 不平行. 所以四边形 ABDC 不是梯形,与假设矛盾. 因此四边形 ABDC 不可能为梯形.
若 AB //CD ,则 k ? ? 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为等比数列 {an } 的 a1 = 14 , q = 所以 a1 = 14 , a2 = 7 , a3 = 3.5 . 所以 b1 = 14 , b2 = 7 , b3 = 3 . 则 T3 = b1 + b2 + b3 = 24 . (Ⅱ)证明: (充分性)因为 an ? N , 所以 bn = [an ] = an 对一切正整数 n 都成立. 因为 Sn = a1 + a2 + L + an , Tn = b1 + b2 + L + bn , 所以 Sn = Tn . (必要性)因为对于任意的 n ? N , Sn = Tn ,
*

………………12 分

……………13 分 ……………14 分

1 , 2
……………… 1 分 ……………… 2 分 ……………… 3 分

*

……………… 5 分 ……………… 6 分 ……………… 7 分 ……………… 8 分 ……………… 9 分 ………………10 分 ………………11 分

当 n ? 1 时,由 a1 = S1 , b1 = T1 ,得 a1 = b1 ; 当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 , bn ? Tn ? Tn?1 ,得 an ? bn . 所以对一切正整数 n 都有 an ? bn . 因为 bn = [an ] Z , an > 0 , 所以对一切正整数 n 都有 an ? N . (Ⅲ)证明:因为 Tn ? 2n ? 1(n≤2014) , 所以 b1 = T1 = 3 , bn ? Tn ? Tn?1 ? 2(2≤n≤2014) . 因为 bn = [an ] , 所以 a1 ?[3, 4) , an ?[2,3)(2≤n≤2014) . 由q ?
*

a2 ,得 q ? 1 . a1
2012

因为 a2014 ? a2 q 所以 q
2012

?[2,3) ,



2 2 ? , a2 3
11 / 14

所以

2 2 1 ? q 2012 ? 1 ,即 ( ) 2012 ? q ? 1 . 3 3

………………13 分

12 / 14

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末 高三数学(文科)部分解析 一、 选择题
8.【答案】C

u?v ? x? , ? ?u ? x ? y, ? 2 【解析】由 ? 得, ? ?v ? x ? y ?y ? u ?v ? ? 2 ? x ? y≥0, ?u≥0, ? ? 代入不等式组 ? x ? y≤0, 得 ?v≤0, ? y≤2 ?u ? v≤4 ? ?
画出 (u , v ) 如图所示
1 所以点 (u , v ) 所形成的平面区域的面积为 ? 4 ? 4 ? 8 . 2 二、 填空题 14.【答案】①③ uuuu r uuuu r 【解析】依题意,设 M1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y2 ) ,则 OM1 ? OM 2 ? 0 uuuu r uuuur 所以 OM1 与 OM 2 的夹角为钝角或 π . 数形结合知①③可以,②不可以;如下图所示

v O 4 u

u-v=4

-4

y y=cosx O x

π π 因为过原点的直线与 y ? cos x, x ?[? , ] 一定有交点,所以①符合题意; 2 2

y y=lnx O 1 x

uuuu r uuuur 反例:取 M 1 (1,0) ,则 y ? ln x 图象上不存在 M 2 ( x2 , y2 ) 使 OM1 与 OM 2 的夹角为钝角,故②不正确;

13 / 14

由双曲线的对称性,图象上任意一点 M 1 ,其关于原点的对称点 M 2 一定在双曲线上, uuuu r uuuu r 此时 OM1 ? OM 2 ? 0 ,所以③符合题意.

14 / 14


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