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2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 正弦定理的变形应用典型例题


正弦定理的变形应用
例:已知圆 O 的半径为 R,它的内接三角形 ABC 中,2 R (sin A ? sin C ) ? ( 2a ? b) sin B 成
2 2

立,求角 C 的大小. 分析:观察已知等式的结构特征,用正弦定理将角转化为边,再用余弦定理求得角 C 后,将 面积 S 表示成函数关系式求解. 解:由 2 R (sin A ? sin C ) ? ( 2a ? b) sin B ,得
2 2

(2 R) 2 (sin 2 A ? sin 2 C ) ? ( 2a ? b) ? 2 R sin B
用正弦定理,得

a 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab .
由余弦定理,得

cos C ?
?C ?

a2 ? b2 ? c2 2ab 2 ? ? , 2ab 2ab 2
. C?

?
4

?
4 是解题的关键,类似地,由

小结:本题由 a ? b ? c ?
2 2 2

2ab ,联想余弦定理求得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? C ?
题.

?
3 ,由

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab ?

?
6 .熟记这些结论,可以快速解

-1-


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