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四川省成都外国语学校2018-2019学年高二下学期3月月考试题数学(文)(含答案)

成都外国语学校 2018-2019 学年度高二下期第一次月考 数学(文科)试卷
(时间:120 分钟 总分:150 分 ) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题
目要求的. 1.已知集合 A ? x|x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x|y ? ln ? 2 ? x ? A. ?1,3? B. ?1,3

?

?

?

? ,则 A ? B =(



?

C. ?1, 2? )

?

D. ? ?1, 2 ?

2、下列导数式子正确的是( A. ( )? ?

1 x

1 x2

B. (cos x)? ? sin x

C. (sin

? ? )? ? cos 3 3

D. (log 2 x)? ? )

1 x ln 2

3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 ? 14 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2x ? y ? 6 ? 0
4.设 x , y 满足约束条件 { x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 取最小值时的最优解 ? x, y ? 是( )

y?0
A. ? 6, 0 ? B. ? 3,0 ? C. ? 0, 6 ? D. ? 2, 2 ?

5.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米) ,左 图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为 ,以下结论中不正确的为( )

A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系,

C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米, 6.已知
1

f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (1) ? 6 ,



f ' (1) 等于(



A.-2 7. 设 A. C.

B.0

C.2

D. 4 是两个不同的平面,则 B. D. , , , , ) 的一个充分不必要条件是( )

是两条不同的直线, , , , ,

8. 若函数 f ( x) ? ax3 ? 2x2 ? x ? 1 在 A. a ? ?

上有最大值无最小值,则实数 a 的取值范围为( D. ?

3 4

B. a ? ?

5 3

C. ?

5 3 ?a?? 3 4

5 3 ?a?? 3 4

9.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为 r 的圆,若该几何体的体 积是 A. ,则它的表面积是( B. C. ) D. 的导函数为 ) D. 的斜率分别为 3,6, D. ,则 的重心坐标为( ) ,当 时, ,若

10.已知定义域为 的奇函数 ,则 A. 11. 已知抛物线 A. B. B. 上有三点 C.

的大小关系正确的是( C. ,

12. 已知函数 取值范围为 A. B. C.

, 函数

, 若方程

有 4 个不同实根, 则实数 的

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在答题卷相应位置上. 13.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, k ), 若a与b 共线,则 3a ? b = 14.已知双曲线 15. 已知 ,则 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 的值为 . . .

16. —只蚂蚁在三边长分别为 , , 不超过 的概率为 .

的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离

三、解答题:本大题 6 题,共 70 分.解答应在答题卷写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)
2

命题 关于 的不等式 (1)若 是真命题, 求实数 的取值范围; (2)若“ ”是真命题,“

的解集为 ;命题 函数

为增函数.

”是假命题, 求实数 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大约 10 万名市民进行了汉 字听写测试 现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况, 发现被测试市民正确书写汉字的个数全部 在 160 到 184 之间, 将测试结果按如下方式分成六组: 第1组 第2组 , ,第 6 组 ,

,如图是按上述分组方法得到

的频率分布直方图. 若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访,求被采访人恰好 在第 2 组或第 6 组的概率; 试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数; 已知第 4 组市民中有 3 名男性,组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少 有 1 名女性市民的概率.

19. (本题满分 12 分)已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在[0,2]上的最值; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 过 点作平面 (1)若 ,分别交 中, 于 求证: 为 面 , ∠BAC= 点. 的中点; 的距离. , 且 =1,

(2)在(1)的条件下,求点 到平面

21. (本题满分 12 分) 已知点 是椭圆 E: 上一点, 、 分别是椭圆的左右焦点,且 .

求曲线 E 的方程;
3

若直线 l: 别为 、

不与坐标轴重合 与曲线 E 交于 M,N 两点,O 为坐标原点,设直线 OM、ON 的斜率分 ,求实数 的取值范围.

,对任意的斜率 k,若存在实数 ,使得

22. (本题满分 12 分)已知函数 (1)若 (2)设 (3)当 在 处取得极值,求 的值; ,试讨论函数 时,若存在正实数 满足



.

的单调性; ,求证: .

高二下期第一次月考数学(文科)答案
CDCBDAACCDCB13. 5 14. 17.(1)关于 的不等式 所以 p 为真命题时, (2)q 为真命题时, ,解得 15. 16. 的解集为 ,等价于 ,解得 或 . 或 “ . ”是真命题,且“ ”是假命题, . 恒成立,

有两种情况:p 为真命题,q 为假命题时, 故“ 18. ”是真命题,且“

;p 为假命题,q 为真命题时, .

”是假命题时,a 的取徝范围为

被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率 中位数

设中位数为 x,则 共

人,其中男生 3 人,设为 a,b,c,女生三人,设为 d,e, , , , , , , , , , , , , , ,

则任选 2 人,可能为 , ,

,共 15 种,其中两个全是男生的有

,共 3 种情况,

设事件 A:至少有 1 名女性,则至少有 1 名女性市民的概率 19.(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.令 f′(x)=0,则 x=- 2或 x= 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) f(0)=0
2

0

(0, 2) + ↗ ,f(x)min=f(0)=0. 0

2

( 2,2)

2

↘ f(2)=0

极大值 f( 2)

所以,f(x)max=f( 2)=(-2+2 2)e
4

(2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到 ex>0, x2+2x 1 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立,也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1 1 1 1 1 3 3 设 y=x+1- , 则 y′=1+ >0, 即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, 则 y<1+1- = , 故 a≥ . 2 x+1 ?x+1?2 x+1 1+1 2 20.∵ ∴ ,∵ 面 ,


∴ ,又 为 的中点, 为 的中点

(2)设点 到平面 又 又 ∴ 21. 由 设 设 , ,

的距离为 , ∵ 为 ,∴ , 由 , ,

的中点, ∴ 边 上的高为 ,



,∵ ,AM= ,可得 ∴h=

, ,曲线 E 的方程为: , ,



∴ 当 则 22.(1)因为 所以 (2) 解: . ①若 当 ,则当 时, 时, , 函数 ,所以函数 在 在 ,解得 ,所以 .验证:当 时, , 所以 时, ; 当 时, 综上 ,因为 在 ,由

,即

, 对任意 恒成立,



处取得极值,

处取得极大值.

上单调递增;

上单调递减.

5

②若 当 当 当

, 时,易得函数 时, 在 和

, 上单调递增,在 在 上单调递增; 上单调递增,在 , ,所以 ,所以 , . , 在 在 上单调递减; 上单调递增. 上单调递减. 上单调递减;

恒成立,所以函数 在 和

时,易得函数 时,

(3)证明:当 因为 即 令 当 当 所以函数 所以 因为 所以 , 时, 时,

,则 ,所以函数 ,所以函数 在 ,即

时,取得最小值,最小值为 . ,所以 .当 时, ,此时不存在 或 满足条件, .

为正实数,所以 .

6


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