当前位置:首页 >> 高一数学 >>

高中不等式恒成立问题解题策略


高中不等式恒成立问题解题策略
重庆市江津中学校 402260 杨万机 恒成立问题是高中数学的常见问题,也是历年来高考中的一个热点问题,经 久不衰。不等式恒成立问题常常在知识网络交汇处设置,它可以与函数、导数、 数列、三角函数、解析几何等整合在一起,里面又涉及到不等式的证明问题和取 值范围问题, 学生往往由于方法不到位而出现错解或复杂的解法。下面我根据不 等式恒成立问题不同的特征采取不同的解题策略,为学生开辟一条成功的道路。 一、 函数最值法 有些不等式恒成立问题可以转换成求函数的最值问题:①若 f(X)>A 在 区间 D 上恒成立,则在区间 D 上 f ( x)min ? A 成立。②若 f(X)<A 在区间 D 恒上成立,则在区间 D 上 (1)利用判别式 例 1.已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,则函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2 在 R 上最 小值大于 0,故函数的图像与 x 轴无交点,?? ? 4a2 ? 8 ? 0, 所以? 2 ? a ? 2 (2)分类讨论 变式 1. 已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ? ?1, 2 ? 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:此题与例 1 相比较只是把 R 换成了区间 ?? ? 1, 2 ? ,但解法却差之甚远。不 能用判别式来求解了,可用用分类讨论的方法得出 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2 在区间
?? ? 1, 2? 上的单调性,从而求出其最小值。

f ( x)max ? A 成立。

解:令 f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 2 ? ? x ? a ? ? 2 ? a 2
2

①当a ? ?1时,f ? x ? 在 ? ? f ? x ?min ? f ? ?1? ? 2a ? 3 ? 0 ? a ? ? ? ?1, 2? 上单调递增, ?? 3 ? a ? ?1 2

3 2

②当-1 ? a ? 2时,f ? x ?min ? f ? a ? ? 2 ? a 2 ? 0 ?? 2 ? a ? 2 ? -1 ? a ? 2
3 ③当a ? 2时,f ? x ? 在 ? ? f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 6 ? 4a ? 0 ? a ? ? a ? ? ? ?1, 2? 上单调递减, 2 3 综上可得 ? ? a ? 2 2 二、 分离参数法 在解决不等式恒成立问题时,如果变量与参数能够分离,则可利用分离参数
1

来确定不等式恒成立时参数的取值范围。分离参数后不等式则可转化为 G (a)>f(x)( G(a)<f(x))在区间 D 上恒成立,求 f(x)在区间 D 上最大(最小) 值问题。此种方法的关键在于①变量与参数能够分离②函数 f(x)的最值容易求 出。 变式 2. 已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1, 2 ? 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: 变式 2 可采用变式 1 的方法求解,但变式 2 的特点在于变量 x 的取值 均为正, 能够把变量 x 与参数 a 分离开来, 故用分离参数法求解更为快捷、 简单。
x2 ? 2 x 1 x 1 x 1 ? ? 解:由题可得 a ? 令g ? x ? ? ? ? 2 ? ? 2 2x 2 x 2 x 2 x
x 1 当且仅当 ? 即x ? 2时g ? x ?min ? 2 ? a ? 2 2 x 三、 主参换位法 在给出的含有两个变量的不等式中,大家习惯把变量 x 看作是主元(未知 数) ,而把另一个 a 看作是参数,在有些问题中这样的解题过程非常繁琐,不 妨把主元与参数换位一下,可以达到意想不到的效果。

例 2.已知 2x2 ?1 ? m( x2 ?1)对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值范 围。 分析:本题是已知参数 m 的取值范围,求自变量 x 的取值范围,可以转换主 元 x 与参数 m 的位置,构造以 m 为自变量,x 为参数的一次函数 g(m),此题则 转换为对任意的 m ???2,2? g(m)<0 恒成立问题求解。 解:由不等式可得 ? x 2 ? 1? m ? 1 ? 2 x 2 ? 0对m ? ? ?2, 2? 恒成立. 令 g ? m ? ? ? x 2 ? 1? m ? 1 ? 2 x 2 ①当 x ? ?1 时 g ? m? ? ?1 ? 0恒成立
? 3 3 ? g ? ?2 ? ? 0 解之可得x ? ? 或x ? 且x ? ?1 ②当 x ? ?1 时,则 ? 2 2 g 2 ? 0 ? ? ? ?

综上可得 x ? ?

3 3 或x ? 2 2

四、数形结合法 有的不等式恒成立问题, 若把不等式进行合理变形后,能非常容易画出不等 式两边的图象,则可通过画图象来进行求解。 例 3. 当x ? ?1, 2 ? 时,不等式 ? x ? 1? ? log a x恒成立,求a的取值范围。
2

分析: 若将不等号两边分别设成两个函数, 则左边为二次函数, 右边为对数函数, 故可以采用数形结合借助图象位置关系求解 a 的取值范围。 y y1 ? ( x ? 1) 2 解:设 T1 : f ( x) ? ( x ? 1) 2 , T2 : g ( x) ? loga x , y2 ? loga x
2

1 2

x

则 T1 的图象为图中所示的抛物线, T2 的图象为 图中所示的对数函数的图象,要使对一切 x ? (1, 2) , f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 T1 的 图象一定要在 T2 的图象所的下方∴ a ? 1 且必须也只需 g (2) ? f (2) ∴ loga 2 ? 1 解 得a ? 2 故 a 的范围是 1 ? a ? 2 。

3


相关文章:
高中不等式恒成立问题解题策略.doc
高中不等式恒成立问题解题策略_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中不等式恒成立问题解题策略重庆市江津中学校 402260 杨万机 恒成立问题是高中数学的常见问题,...
常见不等式恒成立问题的几种求解策略.doc
常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常
高三专题复习不等式恒成立问题的解题策略.doc
高三专题复习不等式恒成立问题解题策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立问题解题策略 高三二轮学案 《不等式》 高三备课组 不等式恒成立、能...
高中数学恒成立问题的解题策略浅探.doc
高中数学恒成立问题解题策略浅探 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学恒成立问题解题策略浅探 作者:李珠琳 来源:《新课程 中旬》2015 年第 ...
恒成立与存在性问题的解题策略.doc
恒成立与存在性问题的解题策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。“恒成立问题...的基本策略 大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题不等式中的恒成立问题。...
不等式恒成立问题的几种求解策略.doc
不等式恒成立问题的几种求解策略(学生用)不等式恒成立问题,把不等式、函数、数列、
高中数学恒成立问题的解题方法研究.doc
高中数学恒成立问题的解题方法研究 云南师大附中 保敏 摘要: 通过多年的高中数学...本题中采用了分离最值法, 这是解决不等式恒成立问题的一种常用方法, 其解题...
常见不等式恒成立问题的几种求解策略.doc
常见不等式恒成立问题的几种求解策略 - 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 1
高中数学恒成立问题典型例题.doc
高中数学恒成立问题典型例题_数学_高中教育_教育专区。恒成立问题是数学中的常见...下面结合实例,介绍这类问题的几种求解策略。 一、参变分离法 在给出的不等式...
高中数学恒成立常见问题及求解策略.pdf
关键词 :恒成立求解 策略 恒成立是高中数学一类重要知识点 ,此 类问题是指在不等式恒成立条件下 ,求解参 数的取值范围 。 正确灵活应用函数 法,换元法, 参...
不等式中恒成立问题的解题策略_论文.pdf
不等式恒成立问题解题策略 - 课j }呈篇 不等式恒成 立 问题解题 策略 林东东 ( 浙江省温州市第二十一中学) 摘 要: 恒 成立问题 一直是 中学...
恒成立与存在性问题的基本解题策略.doc
恒成立与存在性问题的基本解题策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。恒成立与...的基本策略 大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题不等式中的恒成立问题。...
高中数学恒成立问题总结.doc
高中数学恒成立问题总结 - 高中数学恒成立问题解题思路 在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。 恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题,涉及...
浅谈高中数学不等式恒成立问题.doc
浅谈高中数学不等式恒成立问题 - 浅谈高中数学不等式恒成立问题 摘要:近年来全国
含参不等式恒成立问题的求解策略.doc
含参不等式恒成立问题求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何
不等式恒成立问题中的参数求解策略.doc
不等式恒成立问题中的参数求解策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒...不等式恒成立问题中的参数求解策略摘要:不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较...
不等式恒成立问题的的思考.doc
不等式恒成立问题的的思考 - 不等式恒成立问题的的思考 恒成立问题是高中数学的常见问题,也是历年来高考中的一个热点问题,经久不衰。 不等式恒成立问题常常在...
恒成立问题的几种求解策略.doc
恒成立问题的几种求解策略 - 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现,它综合考查函 数、方程和不等式的主要...
导数的应用恒成立问题的解题策略.doc
导数的应用恒成立问题解题策略_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数的应用二恒成立问题解题策略 一.典例分析 提炼方法 例 1.若不等式 x 2 ? 1...
《含参不等式恒成立问题的复习课》课后反思.doc
《含参不等式恒成立问题的复习课》课后反思_数学_高中教育_教育专区。《含参不...不等式恒成立问题成立的充要条件,并掌握解决此类问题的基本技能. 过程与方法:...
更多相关标签: