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2014高三数学一轮复习:1.1集合及其运算_图文


[备考方向要明了]
考 什 么

1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问

题.
2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

怎 么 考
1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集 合之间的关系,考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本 逻辑能力,如2009年高考T14. 2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面: (1)判断给定两个集合之间的关系,主要是子集关系的判断. (2)以不等式的求解为背景,利用两个集合之间的子集关系求解参数的取 值范围问题,如2009年高考T11. 3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域 或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算,以补集与交集的基本 运算为主,考查借助数轴或Venn图进行集合运算,如2010年高考T1; 2011年高考T1,T14;2012年高考T1.

[归纳

知识整合]

1.元素与集合 (1)集合元素的特性: 确定性 、 互异性 、无序性. (2)集合与元素的关系:若a属于A,记作 a∈A ;若 b不属于A,记作 b?A . (3)集合的表示方法: 列举法 、 描述法 、图示法.

(4)常见数集及其符号表示:

数集

自然

数集 N*或N+ N ________ 符号 ___

正整数集 整数集 Z ___

有理数集 Q ___

实数集 R ____

[探究]

1.集合A={x|x2=0},B={x|y=x2},C={y|y

=x2},D={(x,y)|y=x2}相同吗?它们的元素分别是什么?
提示:这4个集合互不相同,A是以方程x2=0的解为

元素的集合,即A={0};B是函数y=x2的定义域,即B=
R;C是函数y=x2的值域,即C={y|y≥0};D是抛物线y= x2上的点组成的集合.

2.0与集合{0}是什么关系??与集合{?}呢?
提示:0∈{0},?∈{?}或??{?}.

2.集合间的基本关系
表示

关系
相等

文字语言 集合A与集合B中的所有元素 _______ 都相同

符号语言 A ? B且B ? A ?A=B A?B 或 B?A B?A 或

子集

A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素,

_____ A?B

真子集

且B中至少有一个元素不是A中的元 任何集合 任何 素

_____ ? ? ? A

非空集合 空集是
空集 _____

的子集,是

? __B(B≠?)

[探究]

3.对于集合A,B,若A∩B=A∪B,则A,

B有什么关系?
提示:A=B.假设A≠B,则A∩B?A∪B,与A∩B =A∪B矛盾,故A=B.

3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集
符号 表示 图形 表示 意义 x∈A, {x|______ 或x∈B } x∈A, {x|______ ?UA= {x|x∈U,且x?A} 且x∈B ________} _______________ A∪B _______ A∩B ________

集合的补集
若全集为U,则集合A的 ?UA 补集为 _____

[探究]

4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗?

提示:一般情况下不相同,如A={0,1}在全集B=
{0,1,2}中的补集为?BA={2},在全集D={0,1,3}中的补

集为?DA={3}.

[自测 牛刀小试] 1.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m=____

解析:∵5∈{1,m+2,m2+4},
∴m+2=5或m2+4=5, 即m=3或m=±1. 当m=3时,M={1,5,13};当m=1时,M={1,3,5}; 当m=-1时M={1,1,5}不满足互异性. ∴m的值为3或1. 答案:3或1

2.(教材改编题)已知集合A={1,2},若A∪B={1,2},则集 合B有________个. 解析:∵A={1,2},A∪B={1,2}, ∴B?A,∴B=?,{1},{2},{1,2}.

答案:4 3.(2013· 南京四校联考)若全集U={0,1,2,3,4},集合M=
{0,1},集合N={2,3},则(?UM)∩N=________.

解析:∵∪={0,1,2,3,4},M={0,1},∴?UM={2,3,4},
∴(?U)∪N={2,3}. 答案:{2,3}

4.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A
={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为 ________. 解析:∵z=xy,x∈A,y∈B,且A={1,2},B={0,2}, ∴z的取值有:1×0=0;1×2=2;2×0=0;2×2=

4.故A*B={0,2,4}.
∴集合A*B的所有元素之和为:0+2+4=6. 答案:6

5.(教材改编题)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x- 7≥8-2x},则A∪B=__________,A∩B=__________,

(?UA)∩(?UB)=__________.
解析:∵A={x|2≤x<4},B={x|x≥3}, ∴?UA={x|x<2,或x≥4},?UB={x|x<3}. ∴A∪B={x|x≥2},A∩B={x|3≤x<4}, (?UA)∩(?UB)={x|x<2}.

答案:{x|x≥2}

{x|3≤x<4}

{x|x<2}

集合的基本概念
[例 1] (1)(2013· 济南模拟)若集合 A={-1,1},B= {0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ________.

(2)已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}, 若 9∈(A∩B),则实数 a=________.

[自主解答] (1)集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3}. 故所求集合中元素的个数为3. (2)∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B, ∴2a-1=9或a2=9. ∴a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4, 9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元 素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-

8,4,9},符合题意.
∴a=5或a=-3. [答案] (1) 3 (2)5或-3

本例(2)中,将“9∈(A∩B)”改为“A∩B={9}”,其
他条件不变,则实数a为何值? 解:∵A∩B={9},∴9∈A且9∈B, ∴2a-1=9或a2=9, 即a=5或a=±3. 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, ∴A∩B={-4,9},不满足题意,

∴a≠5.

当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9}, 不满足集合中元素的互异性,∴a≠3. 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, ∴A∩B={9},符合题意, ∴a=-3.

—————

————————————

解决集合问题的一般思路
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素, 然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时, 注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要

注意检验集合是否满足互异性. ———————————————————————

1.(1)已知非空集合A={x∈R|x2=a-1},则实数a的取值
范围是________. (2)已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1?A,则实数a的 取值范围是________. 解析:(1)∵集合A={x∈R|x2=a-1}为非空集合, ∴a-1≥0,即a≥1. (2)∵1?{x|x2-2x+a>0}, ∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即1-2+a≤0,∴a≤1. 答案:(1)[1,+∞) (2)(-∞,1]

集合间的基本关系
[例 2] 已知集合
? ? 1 ? ? ?x|- <x≤2?, A={x|0<ax+1≤5}, ? B= 2 ? ? ?

若 A?B,则实数 a 的取值范围是________. [自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论:
①若 a=0,则 A=R; ②若 a<0,则 ③若 a>0,则
? 4 ? 1? ? ?x| ≤x<- ?; A=? a a? ? ? ? ? 1 4? ? ?x|- <x≤ ?. A=? a a? ? ?

当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在.

当 a<0 时,若 A?B,如图,

1 ?4 ?a>-2, 则? ?-1≤2, ? a

?a>0或a<-8, ? 即? 1 ?a>0或a≤-2. ?

又∵a<0,∴a<-8.

当 a>0 时,若 A?B,如图,

1 ? 1 ?-a≥-2, 则? ?4≤2, ?a

?a≥2或a<0, ? 即? ?a≥2或a<0. ?

又∵a>0,∴a≥2. 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

[答案] (-∞,-8)∪[2,+∞)

保持例题条件不变,当 a 满足什么条件时,B?A?
解:当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

1 ?4 ?a≤-2, 则? ?-1>2, ? a

?-8≤a<0, ? 即? 1 ?-2<a<0. ?

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

1 ? 1 ?-a≤-2, 则? ?4≥2, ?a

?0<a≤2, ? 即? ?0<a≤2. ?

又∵a>0,∴0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

—————

————————————

根据两集合的关系求参数的方法 已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关 系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助

分析,而且经常要对参数进行讨论,还要注意能否取
到端点值.

2.已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则 实数 m=________. 解析:当 B=?时,m=0,显然成立;

6 当 B={2}时,m=2,即 m=3; 6 当 B={3}时,m=3,即 m=2. 故 m=0 或 2 或 3.

答案:0或2或3

集合的基本运算
[例 3] (1)(2012· 江苏高考)已知集合 A={1,2,4},B={2,

4,6},则 A∪B=________. (2)(2012· 威海模拟改编)已知集合 A={1,2a},B={a,b}, 若
?1? ? ? A∩B=?2?,则 ? ? ? ?

A∪B=________.

(3)(2012· 武汉模拟)已知 A,B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6} 的子集, A∩B={3}, UB)∩A={1}, UA)∩(?UB)={2,4}, 且 (? (? 则 B∩(?UA)=________.

[自主解答] (1)∵A={1,2,4},B={2,4,6}, ∴A∪B={1,2,4,6}. (2)由
?1? ? ? A∩B=?2?得 ? ? ? ?

1 1 2 = ,解得 a=-1,则 b= .所以 A= 2 2
a

? ? 1? 1? ? ? ? ? ?1, ?,B=?-1, ?,则 2? 2? ? ? ? ? ? ?

? 1? ? ? ?1,-1, ?. A∪B= 2? ? ? ?

(3)依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}.

[答案]

(1){1,2,4,6}

?1 ? ? ? ? ,1,-1? (2) 2 ? ? ? ?

(3){5,6}

—————
1.集合的运算口诀

————————————

集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属 于 A 且属于 B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集 U 是大范围,去掉 U 中 A 元素,剩余元素成补集. 2.解决集合的混合运算的方法
解决集合混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合 是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运 算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解. ——————————————————————————

3.(2012· 枣庄模拟改编)已知全集U=Z,集合A={x|x2=

x},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为
________.

解析:由 A={x|x2=x}得A={0,1},图中阴影部分所表 示的集合是由不在集合A中,但在集合B中的元素构成

的集合,即(?UA)∩B,易知(?UA)∩B={-1,2}.故图中
阴影部分所表示的集合为{-1,2}. 答案:{-1,2}

集合中的新定义问题 [例4] (2012· 东城模拟改编)非空集合G关于运算⊕满足:

(1)对任意a、b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在c∈G,使得对一 切a∈G,都有a⊕c=c⊕a=a,则称集合G关于运算⊕为“融

洽集”.现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},⊕为整数的加法; ②G={偶数},⊕为整数的乘法;

③G={平面向量},⊕为平面向量的加法;
④G={二次三项式},⊕为多项式的加法. 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________.

[自主解答]

②错,因为不满足条件(2);④错,

因为不满足条件(1).
[答案] ①③

—————

————————————

解决新定义问题应注意以下几点 (1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的 特点,弄清新定义的本质.

(2)按新定义的要求“照章办事”,逐步分析、验
证、运算,使问题得以解决.
—————————————————————————

1 4.若 x∈A,则x∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M
? ? 1 ? ? ?-1,0, ,2,3?的所有非空子集中具有伙伴关系 = 2 ? ? ? ?

的集合的个数是________.

1 解析:具有伙伴关系的元素组是-1; ,2. 2 所以具有伙伴关系的集合有 3
? ? 1 ? ? ?-1, ,2?. 2 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ,2? , 个:{-1}, ?2 ? ? ?

答案:3

? 1 组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化
在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存 在一定的联系,在一定的情况下,集合的运算关系和包含 关系之间可以相互转化,如 A?B?A∩B=A?A∪B=B? ?UA??UB?A∩(?UB)=?, 在解题中运用这种转化能有效简 化解题过程.

? 3 种技巧——集合的运算技巧
(1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理 转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时, 要注意单独考查等号. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借

助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.
(3)两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求 解,如果是两个无限集合相等,从两个集合中元素相同求解 就不方便,这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果 A ?B,且 B?A,则 A=B.

? 5 个注意——解答集合题目应注意的问题

(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化 简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的
包含关系. (3)要注意空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空

集和它本身.
(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. (5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素

的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题
错误.

创新交汇——与集合运算有关的交汇问题
1.集合的运算是高考的常考内容,以两个集合的交集 和补集运算为主,且常与函数、不等式、三角函数、向量 等内容相结合,以创新交汇问题的形式出现在高考中. 2.解决集合的创新问题常分三步:

(1)信息提取,确定化归的方向;
(2)对所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)将涉及到的知识进行转换,有效地输出,其中信息 的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.

(2012· 庆 高 考 改 编 ) 设 平 面 点 集 A = 重 ? ? ? ? 1? ? ??x,y?|?y-x??y- ?≥0? ,B={(x,y)|(x-1)2 +(y-1)2≤1},则 x? ? ? ? ? ? A∩B 所表示的平面图形的面积为________. ? 1? ?y- [解析] 不等式(y-x)· x?≥0 可化为 ? ?

[典例]

?y-x≥0, ?y-x≤0, ? ? ? 1 或? 1 集合 B 表示圆(x ?y-x≥0, ?y-x≤0. ? ? -1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所构成的集合, A∩B 所 1 表示的平面区域如图所示.曲线 y=x,圆(x-1)2+(y-1)2= 1 均关于直线 y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半. π [答案] 2

[名师点评] 1.本题具有以下创新点
(1) 命 题 方 式 的 创 新 : 题 目 并 不 是 直 接 求 解 不 等 式 组
? 1? ? ??y-x??y- ?≥0, x? ? ? 所表示的平面区域的面积,而是以求集合交 ??x-1?2+?y-1?2≤1 ?

集的形式考查. (2)考查内容的创新: 本题通过集合 A, 考查了一次函数 y=x、 B
1 反比例函数 y=x的图象和圆的方程(x-1)2+(y-1)2=1,以及圆和 1 函数 y=x的图象的对称性、不等式所表示的平面区域等内容.

2.解决本题的关键有以下两点 (1)正确识别集合 A 与集合 B 中元素的几何性质, 并正确画出各自所 表示的区域;

1 (2)注意到圆(x-1) +(y-1) =1 与函数 y=x(x>0)的图象都关于直线
2 2

y=x 对称. 3.在解决以集合为背景的创新交汇问题时,应重点关注以下两点

(1)认真阅读,准确提取信息,是解决此类问题的前提.如本题应首 先搞清集合 A 与 B 的性质,即不等式表示的点集.
(2)剥去集合的外表,将未知转化为已知是解决此类问题的关键,如 本题去掉集合的外表, 将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题.

[变式训练]
1. 已知 A={(x, y)|y=|ln
? ? x2 y2 ? ? ??x,y?| + =1?, A∩B x|}, B= 则 9 4 ? ? ? ?

的子集个数为________.

解析:A∩B 中元素的个数就是函数 y=|ln x| x2 y2 的图象与椭圆 + =1 的交点个数,如图所 9 4 示.由图可知,函数图象和椭圆有两个交点,即 A∩B 中 有两个元素,故 A∩B 的子集有 22=4 个. 答案:4

2 . 设 集 合 M = {y|y = |cos2x - sin2x| , x ∈ R} , N =
? ? ?x || x- ? ?

1? ?< i?

? ? 2,i为虚数单位,x∈R?,则 ? ?

M∩N=____.

解析:∵y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,且 x∈R, ∴y∈[0,1],∴M=[0,1].在 N 中,x∈R ∴|x+i|< 2,
? 1? 且?x- i ?< ? ?

2,

∴x2+1<2,解得-1<x<1,∴N=(-1,1). ∴M∩N=[0,1).

答案:[0,1)

3.设M={a|a=(2,0)+m(0,1),m∈R}和N={b|b=(1,1)+

n(1,-1),n∈R}都是元素为向量的集合,则M∩N=
________. 解析:设c=(x,y)∈M∩N,则有(x,y)=(2,0)+m(0,1) =(1,1)+n(1,-1),即(2,m)=(1+n,1-n),所以由 此解得n=1,m=0,(x,y)=(2,0),

即M∩N={(2,0)}.
答案:{(2,0)}

1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且 a≠b},则集合M与集合N的关系是________. 解析:由于M={-1,0,1},所以x=0,-1,故N={0, -1},所以N?M.

答案:N?M

2.设全集U=R,A={x|-x2-3x>0}, B={x|x<-1},则图中阴影部分表

示的集合为________.
解析:依题意得集合A={x|-3<x<0},所求的集合 即为A∩B,所以图中阴影部分表示的集合为{x|- 3<x<-1}. 答案:{x|-3<x<-1}

3.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c,+∞),则 c=________.

解析:A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},即 A=(0,4],由 A?B,B=(-∞,a),且 a 的取值范围是(c,+∞),可 以结合数轴分析得 c=4. 答案:4

4. 已知集合 A={x|x2-6x+8<0}, B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的取值范围.

解:∵A={x|x2-6x+8<0},∴A={x|2<x<4}. (1)若 A?B, 当 a=0 时,B=?,显然不成立; 当 a>0 时,B={x|a<x<3a},

?a≤2, ? 应满足? ?3a≥4 ?

4 ? ≤a≤2; 3

当 a<0 时,B={x|3a<x<a},
?3a≤2, ? 应满足? ?a≥4, ?

此时不等式组无解,

4 ∴当 A?B 时, ≤a≤2. 3

(2)∵要满足 A∩B=?, 当 a=0 时,B=?满足条件; 当 a>0 时,B={x|a<x<3a}, a≥4 或 3a≤2. 2 ∴0<a≤ 或 a≥4; 3 当 a<0 时,B={x|3a<x<a},a≤2 或 3a≥4. ∴a<0 时成立, 2 综上所述,a≤ 或 a≥4 时,A∩B=?. 3 (3)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a=3.


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