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直线的参数方程 (1)


直线的参数方程

请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?

点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )
斜截式: y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

截距式: x ? y ? 1
a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0

自主学习:

时间:3分钟

请大家阅读课本P35-P36的内容,回答下 面几个问题: 1, 直线的参数方程是如何推导的? 2,直线的参数方程中的参数有何意义?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 ?????? ? M 0 M ? x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ( M(x,y) ? y 设e是直线l的单位方向向量,则 ? e ? (cos ? ,sin ? ) ?????? ? ? M0(x0,y0) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ? ?????? ? ? e 使M 0 M ? te,即 ? (cos ? ,sin ? )

( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? )

x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ?

O

x

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,
求这条直线的方程.

即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ?
y

M(x,y)

所以,该直线的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

? e

M0(x0,y0)

?
O
x

?????? ? ? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗? ?????? ? ? ?????? ? ? 解: ? M M ? te ? M 0 M ? te 0

? ? 又 ? e是单位向量, e ? 1 ?
?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

y M M0

这就是t的几何 所以,直线参数方程中参 意义,要牢记 数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|

? e
O
x

直线的参数方程(标准式)
?x ? x 0 ? t cos? 直线的参数方程 ( t为 参 数) ? ?y ? y 0 ? t sin?
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, ? 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 )或x ? x0。 t表示几何意义: M(x0 , y0 )到直线上的点M x, y )(不同于点M 0)的 ( 0 有向线段M 0 P的数量.

注意向量工具的使用. 此时,若t>0,则 M 0 M 的方向向上; 若t<0,则 M 0 M 的点方向向下;
y

M(x,y)
M0(x0,y0)

若t=0,则M与点M0重合. 并且,直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离. |t|=|M0M|

? e

O

x

· ?x ? x ? t cos? · ? · ? y ? y ? t sin ? · ?
y
B
A M(x,y)
0

(t是参数)

M0(x0,y0)

0

O

x ?t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|

若M 0为中点, t ? 0 ? t1+t 2 ? 0

?t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点,它们所对应的参 数值分别为t1,t2. (1)|AB|= t1 ? t 2

(2)M是AB的中点,求M对应的参数

t1 ? t 2 2

练习
? x ? 2 ? t sin20? 1.求直线 ? ? ( t为参数 )的倾斜角 ? y ? t cos 20
? x ? t sin 20 ? 3 ? 2。直线 ? (t为参数)的倾斜角是 o ? y ? ?t cos 20 ?
o

C

A.20

o

B.70

o

C.110o

D.160

o

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2 cos ? 3.直线 ? (t为参数)与圆 ? ? y ? t sin a ? y ? 2sin ? (?为参数)相切,则直线倾斜角? 为( A )

? 5? 5? ? 2? ? 3? D. ? 或 ? A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4

?

直线的参数方程一般式:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

当a ?b ? 1时,t有明确的几何意义,即 t ? M 0 M
2 2 2 2

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

当a ?b ? 1时,t没有明确的几何意义。

| M 0 M |? a ? b | t |
2 2

| M1 M 2 |? a ? b | t1 ? t 2 |
2 2

小结:
1.直线参数方程的标准式

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? |t|=|M0M| ? y ? y0 ? t sin ?
2.直线参数方程的一般式

当a ?b ? 1时,t有明确的几何意义,即 t ? M 0 M 当a ?b ? 1时,t没有明确的几何意义。
2 2

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y 2? y0 ? bt 2
2 2

| M M |? a ? b | t |

| M1 M 2 |? a ? b | t1 ? t 2 |
2 2

直线参数方程的应用
1. 求(线段)弦长 2. 线段的中点问题 3. 求轨迹问题

当堂测试:

1 ? ?x ? 1? 2 t ? .一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t 42 3 ? ? 另一条直线的方程是x-y-2 3 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是
课后作业:P39.T1

例题选讲
例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于
2

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y

M(-1,2)

O

B

x

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 即? (t为参数) ?y ? 2 ? 2 t ? ? 2

y

A
M(-1,2)

把它代入抛物线y=x2的方程,得

t ? 2t ? 2 ? 0
2

O

B

x

? t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?2
由参数t的几何意义得

AB ? t1 ? t2 ? 10
MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

例题选讲
1.一 直 线 过 点P0 (3,4), 倾 斜 角 为 = , 求 此 直 线 与 l ? 4 3 x ? 2 y ? 6的 交 点 与 0 之 间 的 距 离 P .
2.直 线l过 点P0 ( ?4,0), 倾 斜 角 为 = ,l与 圆x 2 ? y 2 ? 7 ? 6 相 交 与 B两 点. A, () 求 弦 长| AB |;( 2)求 交 点 , B的 坐 标 1 A .

?

?

思考:

? x ? 1 ? 2t 2 2 求直线 与 圆x ? y ? 9所 交 弦 长 。 ? ? y ? 2 ? 3t
分析:此处的t的系数平方和不等于1,且-

3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。

解: ? x ? 1 ? 2 ( ? 13t ) ?

? x ? 1 ? 2t 与圆x 2 ? y 2 ? 9所交弦长。 思考.求直线? ? y ? 2 ? 3t
? 13 ? 3 ?y ? 2? ( ? 13t ) ? 13 ?

令t =- 13t
'

? ? x ? 1? ? 方程可化为 ? ?y ? 2? ? ?

2 t' 13 3 t' 13

4 '2 4 ' 9 ' 2 12 ' t +1+ t + t +4-9=0 代入方程得: t - 13 13 13 13

8 ' 8 ' ' ' ' t ? t ? 4 ? 0; t1 ? t 2 ? ? , t1t 2 ? ?4; 13 13
'2

? t ? t ? ( t ? t ) ? 4t t ?
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2

4 17

.

例 例11.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于 A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2

两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入 直线方程后,符合直线方程, 所以点M在直线上. A

y

M(-1,2)

O 所以直线的参数方程可以写成 3? ? ?x=-1+tcos 4 ? (t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3?

B

x

练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.

3 ? x=2+ t ? x ? 3t ? 2 ? 5 (t为参数)? ? (t为参数) ? y ? 4t ? 1 ? ? y ? 1? 4 t ? 5 ?

练习
4。求直线l : 4 x ? y ? 4 ? 0与l1:x ? 2 y ? 2 ? 0及直线 l2:x ? 3 y ? 12 ? 0所得两交点间的距离。 9 17 4

14 x ? 4 ? at ? 4.如直线 ? (t为参数)与曲线x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? bt ? 2? ?1 ? 0相切,则这条直线的倾斜角等于 3 或 3


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