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高中数学 数列前n项和的求法_图文

数列前n项和的求法 求数列前n项和是数列的重要内容, 也是一个难点。求等差(等比)数列的 前n项和,主要是应用公式。对于一些既 不是等差也不是等比的数列,就不能直 接套用公式,而应根据它们的特点,对 其进行变形、转化,利用化归的思想, 来寻找解题途径。 一、拆项转化法 n an ? t ? n ? 3 且 例1已知数列 {a n } 中, n ? N ,且t为常数),求 S (t ? 0 , n an ? t ? n ? 3 且 例1已知数列 {a n } 中, n ? N ,且t为常数),求 S ( t ? 0, n n 分析:观察数列的通项公式,数列 {a n } 可以 n {t } 和一 “分解”为一个公比为t的等比数列 {n ? 3} ,因此,只要分 个公差为1的等差数列 别求出这两个数列的前n项之和,再把它们相 S n 。注意等比数列前n项和公式对 加就可得 公比q的要求,可得如下解法: n[?2 ? (n ? 3)] n(n ? 3) 解:当t=1时, S n ? n ? ? 2 2 t (1 ? t ) n(n ? 5) 当 t ? 1时, S n ? 1 ? t ? 2 n a 总结:拆项转化常用于通项a nn 是多项式 的情况。这时,可把通项 拆成两个 (或多个)基本数列的通项,再求和。 有时也应用自然数的方幂和公式求 Sn , n 常用的有: n( n ? 1) ?k k ?1 ? 2 1 k ? n( n ? 1)(2n ? 1) ? 6 k ?1 2 n 1 2 2 k ? n ( n ? 1) ? 4 k ?1 3 n 例2、求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4 , · ‥ ,1+2+3+· ‥+n,· ‥的前n项和Sn。 1 2 1 解:该数列通项 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? n 2 2 1 1 2 c n ? n ,则 a n ? bn ? c n 令 bn ? n , 2 2 1 2 ? { b } 数列 n 的前n项和 S N ? (1 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) 1 1 数列{cn } 的前n项和 Sn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? n(n ? 1) 2 4 ? 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 12 2 ∴ Sn ? Sn ? Sn ? ? 1 ? n ( n ? 1)( n ? 2) 6 二、裂项相消法 常用的消项变换有: ①: 1 1 1 an ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 ②: 1 1 1 1 an ? ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 ③ : an ? ? n ?1 ? n n ?1 ? n an ? n ? n!? (n ? 1)!?n! ④: 1 1 1 1 an ? ? [ ? ] ⑤: n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) 1 ⑥: a n ? n(n ? 1) ? 3 [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] 二、裂项相消法 常用的消项变换有: ⑦: a n ? n(n ? 1)(n ? 2) 例3、求 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3? 4 ? ?? n ? (n ? 1)(n ? 2) 解:由上面⑦ 知: 1 Sn ? {(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ?1 ? 2 ? 3) ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4) ? ? 4 1 ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)] 4 ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)]} 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 4 例4、求 1 1 1 1 Sn ? ? ? ??? 2 5 21 45 4n ? 4n ? 3 1 1 an ? 2 ? 解:其“通项” 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)( 2n ? 3) 1 1 1 ? ( ? ) 4 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 4 5 3 7 5 9 2n ? 3 2n ? 1 n(4n ? 5) 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? 4 3 2n ? 1 2n ? 3 3(2n ? 1)(2n ? 3) 1 1 ?( ? )] 2n ? 1 2n ? 3 三、 倒序相加法 课本等差数列前n项和 公式 S n就是用倒序相加法推导的。 例5、已知数列{a n } 是首项为1,公差为2的等差 0 1 2 n 数列,求 S n ? Cn a1 ? Cn a2 ? Cn a3 ? ?Cn an?1 k n?k 分析:注意到 Cn ? Cn 且当m+n=p+q时, 有: a m ? a n ? a p ? a q(等差数列的性质) 解: Sn ? C a ? C a ? C a ? ?? C a 0 n 1 n n n?1 1 n 2 n?1 n n 2 n 3 n?2 n n?1 Sn ? C a ? C a ? C a ? ?? C a n ,又 n n?1 0 n 1 0 1 n n 两式相加得: 2Sn ? (a1 ? an?1)(Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? (a1 ? an?1) ? 2 ∴ n?1 n?1 n Sn ? (a1 ? an?1) ? 2 ? (2 ? 2n) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 四、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的 方法。利用S n ? qS n可求两类数列的和,其通项分 别是: ?系数是等差数列

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