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选修2-1 第二章 圆锥曲线测试题 (1)


圆锥曲线检测题
一、选择题 1.椭圆 x 2 ? my2 ? 1的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, A. 则 m 的值为( )

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

2.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4

3. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( ) A. ( ?

15 15 , ) 3 3

B. (0 ,

15 ) 3

C. ( ?

15 , 0) 3

D. (?

15 , ? 1) 3

4.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 3 p ,则 | PQ | 等于( )
5.已知双曲线

A.4p

B.5p

C.6p

D.8p

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限 a2 b2
1 , tan?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方 2

的图象上,若△ AF 1 F2 的面积为 1,且 tan ?AF1 F2 ? 程为( ) A.

12x 2 ? 3y2 ? 1 5
2

B.

5x 2 y 2 ? ?1 12 3

C. 3 x ?
2

12 y 2 ?1 5

D.

x2 5 y2 ? ?1 3 12

6. 圆心在抛物线 y ? 2 x( y ? 0) 上, 并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是 ( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

7.已知椭圆 x ?
2

1 2 y ? a 2 (a>0)与 A(2,1) ,B(4,3)为端点的线段没有公共点, 2

则 a 的取值范围是( ) A. 0 ? a ?

3 2 3 2 82 B. 0 ? a ? 或a ? 2 2 2

C. a ?

3 2 82 3 2 82 ?a? 或a ? D. 2 2 2 2

1

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点,

MN 中点横坐标为 ?
A.

2 ,则此双曲线的方程是( 3

)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 3 4 4 3 5 2 2 5

二、填空题

9.以抛物线 y2=8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x± 3y=0 的双 曲线方程为__________.
10.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 2 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值_____. 11.若方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C ,给出下列四个命题:①若 C 为椭圆,则 4 ? t t ?1
②若 C 为双曲线, 则 t ? 4 或; ③曲线 C 不可能是圆; ④若 C 表是椭圆,

1? t ? 4;

且长轴在 x 轴上, 则1 ? t ?

3 .其中真命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填在横线上) 2

y2 x|x| 12.直线 y=x+3 与曲线 9 - 4 =1 的公共点的个数为__________个.
三、解答题 13.已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原 2 a b 3

点的距离为

3 . (1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 2

与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?

圆锥曲线检测答案
2

一、选择

ABDAADBD

二、填空题

x2 y2 9. - =110. 9 3
12.

L/2—1/4

11. (2)

y2 x|x| y2 x2 解析:当 x≥0 时,方程 9 - 4 =1 化为 9 - 4 =1;当 x<0 时, y2 x|x| y 2 x2 y2 x|x| 9 - 4 =1 化为 9 + 4 =1,∴曲线 9 - 4 =1 是由半个双曲线和半个 y2 x|x| 椭圆组成的图形, 结合图象可知(如图), 直线 y=x+3 与曲线 9 - 4 = 1 的公共点的个数为 3 个. 答案:3 个
三、解答题 13.解: (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b

解得

?a ? 3 , ∴ 椭圆方程为 ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ?

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

3



? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则 即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 . ∴



y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E 6

4


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