河南省八市重点高中2016届高三数学下学期第二次质量检测试题 文(扫描版)

河南省八市重点高中 2016 届高三数学下学期第二次质量检测试题 文 （扫描版）

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河南省八市重点高中质量检测试题 文科数学参考答案 评分说明： 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的 主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则. 2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误 时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题 5 分） 1. B 7. D 2. D 8. D 3. A 9. A 4. C 10. A 5. C 11. B 6. A 12. D

二、填空题（每小题 5 分） 13. “若 x -1>0 则 x>1”或“若 x -1>0 则 x<-1” 14. ［2，8］ 三、解答题 17 . 解： （I）由 2Sn ? an ? n2 ? 2n ? 2 得 2S1 ? a1 ? 5 ① 15. { x | x ≤-2 或 x≥1 或 x ? 0 } 16. ? ??,
2 2

? ?

5? ? 2?

? a1 ?

5 3

?????????????????????????1 分 ②

2Sn?1 ? an?1 ? (n ?1)2 ? 2(n ? 1) ? 2
②－①得 3an?1 ? an ? 2n ? 3

???????????????????????3 分

? bn ? an ? n ?an ? bn ? n, an?1 ? bn?1 ? n ? 1

? 3bn ?1 ? bn , b1 ? a1 ? 1 ?

2 3

???????????????????????5 分

2 1 ? {bn } 是以首项为 ，公比 为 的等比数列， 3 3

5

? bn ?

2 3n

???????????????????????????????6 分

（II）由（I）得 bn ?

2 2n ? nbn ? n n 3 3

n? ?1 2 3 ? 数列 {nbn } 的前 n 项和为 Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 3 ? ?3 3 3 1 n ?1 n ? ?1 2 3 ? Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n?1 ? 3 3 3 ? ?3 3 3
分 二式相减得： Tn ? 2 ? ? ??????????????????9

2 3

1 n ? ?1 1 1 ? 3 ? ??? ? n ? n?1 ? 2 3 3 ? ?3 3 3

?1? 1? ? ? ?1 ? n ? n ? 2n ? 3 3 3 ? ＝2? ? ? n ?1 ? ? 1 ? n ?1 3 ? 3 ? 1? 1 ? ? 3 ? ?
3 ? 2n ? 3 ? ?Tn ? ?1 ? n ?1 ? 2? 3 ?
?????????????????????????12 分

18. （Ⅰ）证：设 BF 的中点为 G，连 DG，PG 则 DG//AF ∴DG//平面 AEF 由 BF=2FC ∴FC=FG EF //PG ∴PG//平面 AEF 因而平面 PGD//平面 AEF，PD ? 平面 PGD ∴PD//平面 AEF ???????????????6 分 （Ⅱ）解：∵E 是 PC 的中点，AB＝AC＝AP＝2，且 BF=2FC ∴ VP ? AEF ? VC ? AEF ? VE ? ACF ?

1 VP ? ACF 2
??? ??? ?????????? ???

1 1 1 1 1 2 ? ? VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 6 3 2 9
12 分

1 9．解： （I）编号依次为：385，482，462，231，309. ?????????????3 分 （II）由

8?m?9 ? 0.35 ，得 m=18， 100

因为 8+9+8+18+n+9+9+11+11=1 00， 得 n=17. ???????????????5 分 （III）由题意 m+n=35， 且 m ? 13, n ? 11 ， 所以满足条件的（m，n）有 （13,22） 、 （14,21） 、 （15,20） 、 （16, 19） 、 （17,18） 、 （18,17） 、 （19， 16） 、 （20,15） 、 （21,14） 、

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（22,13） 、 （23,12） 、 （24,11）共 12 种，且每组出现 都是等可能的. ??????????????????????????????????8 分 记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有（13,22） 、 （14,21） 、 （15,20） 、 （16,19） 、 （17,18）共 5 种， 所以 P(M)=

5 . ????????????????????????????12 分 12 p , 0) 2

20．解： （I）? ⊙M 过坐标原点 O（0,0）和抛物线 C： y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (

? 圆心 M 在 OF 的 垂直平分线 x ?
又圆心 M 到 C 的准线： x ? ?

p 上， 4

p 3 的距离为 2 2

?

p ? p? 3 ? ? ? ? ? ，解得 p ? 2 4 ? 2? 2
??????????????????????4 分

? 抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x

（II） （解法一）? 点 N(s, 4)在抛物线 C： y 2 ? 4 x 上，? s＝4，即 N（4，4） ， 由题意知，直线 AB 的斜率不为 0. 设 AB 的方程为： x ? my ? t 联立 ?

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

得 y ? 4my ? 4t ? 0
2

?? ? 16m2 ? 16t ? 0 ? 则 ? y1 ? y2 ? 4m ? y y ? ?4t ? 1 2

?????????????????????????7 分

又 NA ? NB，? NA ? NB ? 0 即 ( x1 ? 4, y1 ? 4) ? ( x2 ? 4, y2 ? 4) ? 0

??? ? ??? ?

7

x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16 ? y2 y 2? y12 y2 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 16 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16 4? 4 4 ? ? 4 2 (y y ) ? 1 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 3 y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 32 16 2 ? t ? 16m 2 ? 12t ? 32 ? 16m ? 0 ?

? (t ? 6)2 ? 4(2m ? 1)2

? t ? 6 ? ?2(2m ? 1) ? t ? 4m ? 8 或 t ? ?4m ? 4
分 当 t ? ?4m ? 4 时， ? ? 16(m ? 2)2 ≥0

??????????????10

直线 AB 的方程为 x ? my ? 4m ? 4 ，恒过定点 N（4，4） ，不合题意舍去 当 t ? 4m ? 8 时， ? ? 16((m ? 2)2 ? 4) ? 0 ，直线 AB 的方程为

x ? my ? 4m ? 8 ，恒过定点（8，－4） ??? ???????????????12 分
解法二： ， ? 点 N(s, 4)在抛物线 C： y 2 ? 4x 上，? s＝4，即 N（ 4，4） 由题意知，AN， NB 的斜率都存在不为 0. 设 lAN : y ? 4 ? k ( x ? 4)

1 lBN : y ? 4 ? ? ( x ? 4) k
联立 ?

????????????????????????7 分
2

? y ? kx ? 4 ? 4k ? y ? 4x
2

消去 x 得 ky ? 4 y ? 16 ?16k ? 0 .

此方程的二根为 A，N 的纵坐标 ? y A ? 4 ?

4 k

? yA ?

4 ?4 k

1 代替 k 得 yB ? ?4k ? 4 ????????????????9 分 k y ? yB y A ? yB 4 4 ? 2 ? ? ? K AB ? A 2 yA y x A ? xB y A ? y B 4 ? 4k ? 8 ? B k 4 4 1 k ? ? 2 1 ? k ? 2 1 ? k ? 2k k
同理，在上式中用 ?
8

16 1 ? ? ? 32 ? 16 ? 2 ? 4 k k k ? l AB : y ? ? 4 ? ?x? ? k 1 ? k 2 ? 2k ? 4 ? ? ?
(1 ? k 2 ? 2k )( y ? 4) ? 4k ? 8 ? kx ? 8 ? 4k
即 (1 ? k 2 ? 2k )( y ? 4) ? k ( x ? 8)

? 直线 AB 恒过定点（8，－4） ????????????????????12 分
21. 解（I）? f ( x) ? e ln x ?
x

2e x ?1 x

x?0

e x 2 xe x ?1 ? 2e x ?1 ? x x2 ? f (1) ? 2, f ?(1) ? e ??????????????????????????3 分

? f ?( x) ? e x ln x ?

? 曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为
y ? 2 ? e( x ? 1) 即 y ? ex ? 2 ? e
分 （II）? g ( x) ? ?????????? ????????????4

x 2 f ( x) ? x ln x ? x e e

x?0

? g ?( x) ? 1 ? ln x
由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? , ?? ? ，由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 0, ?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

? 1? ?1 ? ? g ( x) 在 ? 0, ? 上是减函数，在 ? , ?? ? 上是增函数， ? e? ?e ?
在x ?

1 ?1? 1 时， g ( x) 取到最小值 g ? ? ? e ?e? e
x ex
x?0

??????????????????8 分

令 h( x ) ?

则 h?( x ) ?

1? x ex

由 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ，由 h?( x) ? 0 得 x ? 1

? h( x) 在（0，1）上是增函数，在 (1, ??) 上是减函数
在 x ? 1 时， h( x) 取到最大值 h(1) ?

1 e

? 对任意 x ? 0 都有 g ( x) ?

x 成立. ????12 ex

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分 选做题 22. 证明： （1） PE 是切线，? ?A ? ?BEP

? PC 平分 ?APE,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE
??ECD ? ?EDC,? EC ? ED
??????????????????????5 分

（2）? ?PDB ? ?EDC, ?EDC ? ?ECD,??PDB ? ?PCE,

? ?BPD ? ?EPC,??PBD ∽ ?PEC ,?
分 同理， ?PDE ∽ ?PCA ,? 分

PE PC ? PB PD

??????????????8

PC CA CA PE ? ? ? PD DE CE PB

?????????????? 10

23. 解： （I）设点 M 的极坐标为 M（ ? ,? ） ，由题意可得：

? ?e ? sin ? ? p

? 曲线 C 的极坐标方程为： ? ?
若 0 ? e ? 1 时，曲线 C 是椭圆 若 e ? 1 时，曲线 C 是抛物线

ep 1 ? e sin ?

?????????????????3 分

若 e ? 1 时，曲线 C 是双曲线 ???????????????????????5 分 （II）由 e ? 1, p ? 1 得：曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? sin ? ? 1 化成直角坐标方程： x ? 2 y ? 1
2

直线 l : ? ?

4 的直角坐标方程为 cos ? ? 2sin ?
? ??????????7 分

x ? 2y ? 4 ? 0

M，N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点 |MN|的 最小值就是 M 到 l 的距离最小值

? | MN |min ?

| x0 ? 2 y0 ? 4 | 1 ? 22

?

| x0 ? 1 ? x02 ? 4 | 5

10

1 ? 11 ? | ? x0 ? ? ? | 2 1 | x ? x0 ? 3 | ? 11 5 2? 4 ≥ ，当 x0 ? 时，取“＝” ? 0 ? 2 20 5 5 11 5 ? 1 3? ，此时 M 点的坐标为 M ? , ? ? ?????????10 分 ? |MN|的最小值为 20 ? 2 8? 24. 解（I）? f ( x) ?| x ? 3| ?m ? 1 m ? 0 且 f ( x ? 3) ≥0 解集为 (??, ?2] ? [2, ??) ? | x | ≥m-1 的解集为 (??, ?2] ? [2, ??) ? m ? 1 ? 2,? m ? 3 ??????????????? ????????????5 分 （II）由（I）得 f ( x) ?| x ? 3| ?2 5 ? ?x ? R ，使 f ( x) ≥ | 2 x ? 1| ?t 2 ? t 成立 2 5 2 即 ?x ? R ，使 | x ? 3 | ? | 2 x ? 1| ≥ ?t ? t ? 2 成立 ??????????????6 2
分

2

? x ? ?3 ?x ? 4 ? 1 ? 令 g ( x) ?| x ? 3 | ? | 2 x ? 1|? ?3 x ? 2 ?3 ? x ? 2 ? 1 ? ?x ? 4 x ? ? ? 2 ?1? 7 故 g ( x)max ? g ? ? ? ?????????????????????????8 分 ?2? 2 7 5 2 2 则有 ≥ ?t ? t ? 2 ，即 2t ? 5t ? 3 ≥0. 2 2 3 (2t ? 3)(t ?1) ≥0，解得 t ≤1 或 t ≥ 2 ? ?3 ? 实数 t 的取值范围是 (??,1] ? ? , ?? ? ?????????????????10 分 ?2 ?

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