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高中数学人教A版必修四课件:第一章 第1节 第2课时 弧度制_图文

第2课时 弧度制 [核心必知 ] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P6~P9 的内容,回答下列问题. (1)我们知道, 角可以用度为单位进行度量, 1 度的角是如 何定义的? 1 提示: 1 度的角等于周角的 . 360 (2)为了使用方便,数学上还采用弧度制来度量角,1 弧度 的角是如何定义的? 提示:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (3)阅读教材 P6“探究”的内容,思考: ①如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l,那 么 α 的弧度数的绝对值是多少? l 提示:|α|= . r ②既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间是 如何换算的? 提示:π=180°. 2.归纳总结,核心必记 (1)度量角的两种制度 角度 制 定义 用 度 作为单位来度量角的单位制 1 度的角 定义 1 周角的 360 为 1 度角,记作 1° 以 弧度 为单位来度量角的单位制 长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角 .1 弧度记作 1 rad 弧度 制 1 弧度的 角 (2)弧度数的计算 (3)角度制与弧度制的换算 (4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π (5)扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α 为其圆心角,则 α 为度数 扇形的 弧长 πα R l= 180 α 为弧度数 l= αR 2 π α R 1 1 2 扇形的 lR αR S= 360 S= 2 = 2 面积 [问题思考] (1)在大小不同的圆中,长为 1 的弧所对的圆心角相等吗? 提示:不相等.这是因为长为 1 的弧是指弧的长度为 1,在大 小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同. l (2)比值 与所取的圆的半径大小是否有关? r 提示:无关. (3)在具体的运算中, “弧度”二字和单位符号“rad”可以略去 不写,但“度”作单位时“°”能省略吗? 提示:不能省略. π (4)你认为式子“α=k· 360°+ ,k∈Z”正确吗? 3 提示: 不正确, 在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制. [课前反思 ] (1)角度制的定义: (2)弧度制的定义: (3)任意角的弧度数与实数的对应关系: (4)角的弧度数的计算公式: (5)角度与弧度的互化: (6)扇形的弧长及面积公式: ; ; ; ; ; . 讲一讲 1.有关角的度量给出以下说法: 1 1 ① 1°的角是周角的 ,1 rad 的角是周角的 ; 360 2π ② 1 rad 的角等于 1 度的角; ③ 180°的角一定等于π rad 的角; ④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. 其中正确的说法是________. [尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知,①③ ④均正确;因为 1 ?180 ? ? ? rad=? ?°≈57.30°≠1°,故②不正确. ?π ? 答案:①③④ (1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念.如本题 中要准确理解 1 弧度角的概念, 知道角度制与弧度制的关系. (2)角度制和弧度制的比较: ①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,而角 度制是以“度”为单位来度量角的单位制. ② 1 弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角, 而1 1 度的角是指圆周角的 的角,大小显然不同. 360 ③无论是以“ 弧度” 还是以“度 ”为单位来度量角, 角的大小都是一个与“ 半径”大小无关的值. ④用“度”作为单位度量角时, “度” (即“° ”)不能 省略,而用 “ 弧度 ” 作为单位度量角时, “ 弧度” 二字或 “ rad”通常省略不写.但两者不能混用,即在同一表达式 中不能出现两种度量方法. 练一练 1.下列说法正确的是 ( ) A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应 关系 B.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应 C.用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,数量也不同 2π D.-120°的弧度数是 3 答案:B 讲一讲 2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度: 2π (1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)- . 9 π 2π [尝试解答 ] (1)72°= 72× = ; 180 5 π 5π (2)- 300°=- 300× =- ; 180 3 ?180 ? ?360 ? ? ? ? (3)2= 2×? ?°=? ? π ?°; ?π ? ? ? ?2π 180? 2π ? ? (4)- =-? × ? °=- 40° . 9 9 π? ? 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad = π 180°是关键,由它可以得到:度数 × =弧度数,弧度 180 ? ?180 ? ? 数×? ?°=度数. ?π ? 练一练 3π 2.已知 α1=-570°,α 2=750°,β 1= ,β 5 π =- . 3 (1)将 α1,α 2 用弧度表示出来,并指出它们是第几象 限角; (2)将 β1,β 2 用角度表示出来,并在-720°~0°范 围内,找出与它们有相同终边的所有角. 2 570π 19π 解: (1)α1=- 570°=- =- , 180 6 750π 25π α2=750°= = . 180 6 19π 5π ∵α 1=- =- 2× 2π+ , 6 6 25π π α2= = 2× 2π+ , 6 6 ∴α 1 是第二象限角,α2 是第一象限角. 3π 3 (2)β1= = × 180°= 108°, 5 5 设 θ=k· 360°+ 108° (k∈ Z), 则由- 720°≤θ< 0°, 得- 720° ≤ k· 360°+ 1

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