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高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2.1对数函数的概念、图象及性质课件【苏教版】_图文


3.2.2

对数函数

第1课时

对数函数的概念、图象及性质

学习目标 1.理解对数函数的概念、图象及性 质. 2.会判定一个函数是否为对数函 数. 3.利用对数函数的图象和性质,解 与对数定义域、值域相关的问题 .

重点难点 重点:对数函数的概念、 图象和性质. 难点:解决与对数定义 域、值域有关的问题 .

1.对数函数的概念 一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,它的定义域为 (0,+∞). 为什么对数函数中特别要求a>0且a≠1? 提示对于底数a,必须满足a>0,且a≠1这两个条件,这是因为在指 数函数y=ax中,a>0,且a≠1,x∈R,y>0,所以在对数函数y=logax中,a>0, 且a≠1,x>0,y∈R.

2.对数函数的图象和性质
0<a<1 a>1

图象 定义域 值域 性质 (0,+∞) R 过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数

交流2 底数a的大小变化对对数函数y=logax的图象有何影响? 提示(1)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴. (2)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴. 交流3 (1)比较下列各数的大小: ①log26 log27; ②log0.10.3 log0.10.4. (2)写出下列函数的值域: ①y=lg x; ②y=lg(x2-2x+2). 提示(1)①< ②> (2)①R ②[0,+∞)

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一、对数函数的概念 指出下列函数中哪些是对数函数: (1)y=logax2(a>0,且a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=2log7x; (4)y=logxa(x>0且x≠1); (5)y=log5x. 思路分析所给的函数中有些形似对数函数,解答时要严格按照对 数函数的定义寻找其满足的条件.

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解(1)中真数不是自变量x,不是对数函数. (2)中对数式后减1,不是对数函数. (3)中log7x前的系数是2,而不是1,故不是对数函数. (4)中底数是自变量x,而非常数,故不是对数函数. (5)为对数函数.

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(1)y=loga (a>0,a≠1);



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对数函数的判断: 判断一个函数是否是对数函数,必须严格符合形如y=logax(a>0,且 a≠1)的形式,即满足以下条件: (1)系数为1; (2)底数为大于0且不等于1的常数; (3)对数的真数仅有自变量x.

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二、对数函数的图象 作出函数y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单调区间,并说明 它的图象可由y=log2x的图象经过怎样变换而得到.(导学号 51790088) 思路分析由y=log2x的图象经过对称变换可得函数y=log2|x|的图 象,再经平移变换即得所求函数图象.由图象易得所求单调区间.

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解先作出函数y=log2x的图象,再作出y=log2x的图象关于y轴对称 的图象,由此得到函数y=log2|x|的图象,再将y=log2|x|的图象向左平 移1个单位长度,就得到函数y=log2|x+1|的图象.如图所示.

由图象可得函数y=log2|x+1|的单调减区间为(-∞,-1),单调增区间 为(-1,+∞).

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作出下列函数的图象:
(1)y=|log4x|-1;(2)y=log1 |x+1|.
3

解(1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得 到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去 (下方部分去掉),图象原x轴上方部分不变得到y=|log4x|的图象,再将 y=|log4x|的图象向下平移1个单位长度,横坐标不变,就得到了 y=|log4x|-1的图象.

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(2)y=log1 |x+1|的图象可以看成由 y=log1 x 的图象经过变换而得
3 3 3 3 3

到 :先作出函数 y=log1 x 的图象 ,再作函数 y=log1 x 的图象关于 y 轴的 对称图象 ,两部分共同构成函数 y=log 1 |x|的图象 ,再将所得图象向左 平移 1 个单位长度,就得到所求的函数 y=log1 |x+1|的图象 .
3

函数 (1)的图象作法如图 ①~③所示 . 函数 (2)的图象作法如图 ④~⑥所示 .

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一般地,由y=logax(a>0且a≠1)的图象向左(h>0)或向右(h<0) 平移|h|个单位长度得到函数y=loga(x+h)的图象;由y=logax(a>0,且 a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度,可得函数 y=logax+b的图象;由y=logax(a>0,且a≠1)的图象作y轴的对称图象后, 便得y=loga|x|的图象,将y=logax的图象在x轴上方部分保留,下方部 分翻折到x轴上方(下方部分去掉)便得y=|logax|的图象.

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三、与对数函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域: (导学号 51790089) (1)y=log2(16- 4x)+ + 1; (2)y=log (5-x);
(x-1)

(3)y=log

2+3 -1

(3 x-1)

.

思路分析由函数解析式有意义,列出不等式(组),解不等式(组)得 出x的取值范围即可得出函数的定义域.

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16-4 > 0, 解 (1)要使函数有意义 ,只需 + 1 ≥ 0, < 2, ∴ ∴-1≤x<2. ≥ -1, 故所求函数的定义域为 [-1,2). 5- > 0, < 5, (2)要使函数有意义 ,只需 -1 > 0, ∴ > 1, ≠ 2. -1 ≠ 1, ∴1<x<2 或 2<x<5. 故所求函数的定义域为(1,2)∪(2,5).

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2 + 3 > 0, -1 > 0, (3)要使函数有意义 ,只需 3-1 > 0, 3-1 ≠ 1. > > 1, ≠
3 - , 2 1 3 2 , 3



> ,

即 x>1.

故所求函数的定义域为(1,+∞).

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求下列函数的定义域: (1)y= + 1 > 0, 解 (1)由 log2 ( + 1)-3 ≠ 0, 得 x>-1,且 x≠7, 所以定义域为 (-1,7)∪(7,+∞).
1 ;(2)y=log(2x-1)(3x-2). log2 (+1)-3

3-2 > 0, 2 (2)由 2-1 > 0,得 x> ,且 x ≠1, 3 2-1 ≠ 1, 所以所求定义域为
2 ,1 3

∪(1,+∞).

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1.求函数定义域的方法: (1)分母不能为0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 2.求函数的定义域的步骤: (1)求出使函数有意义的不等式组或混合组(含有方程或不等式); (2)化简并解出自变量的取值范围; (3)明确函数的定义域.

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2.(2016 广东汕尾高二期末 )函数 y= 的定义域 为 答案 : (0,1)∪(1,+∞) 解析 : 要使函数 y= 有意义 ,须
lg 1

1 lg

. > 0, 解得 x>0,且 x≠1,所以函数 lg ≠ 0,

y=

1 的定义域为 (0,1)∪(1,+∞). lg

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3.若某对数函数的图象过点(9,2),则该对数函数的解析式为 y= . 答案:log3x 解析:设对数函数的解析式为y=logax,将(9,2)点代入,得a=3.

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4.函数y=log2x在[1,2]上的值域是 . 答案:[0,1] 解析:∵y=log2x为增函数, ∴函数在[1,2]上的最小值ymin=log21=0,最大值ymax=log22=1.∴函数 的值域为[0,1].

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5.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则 f 于 . (导学号51790090) 答案:-1

1 4

的值等

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6.已知函数y=log3(kx+1)的值域为R,求实数k的取值范围. (导学号 51790091) 解令u=kx+1,则y=log3u. ∵y=log3u的值域为R, ∴y=log3u中u取遍所有大于0的数, ∴k≠0,∴k的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).


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