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二轮复习2.1:三角函数的图象及性质


2.1 三角函数的图象及性质 1.同角三角函数的基本关系式 ①关于 sin ? , cos? 的齐次式,可以通过分子、分母同除以 cos? 或 cos2 ? 转化为关于 tan ? 的式子后再求值; 不含分母,可以视分母为 1,灵活地进行“1”的代换,由 1 ? sin 代换后,再同除以 cos ? ,构造出关于 tan ? 的代数式. 2 2 ? ? cos2 ? ② sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 这三者可相互表 2.三角函数的单调区间 求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ), 或 y=Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 3.对称轴与对称中心 y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2 k ?Z ; y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ,0) ; 2 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.; y=Asin(ωx+φ)的对称中心一定经过图象的零点. 4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数 的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二 次函数的性质求解. (3)题目中出现 sin x+cos x,sin xcos x,则令 sin x+cos x=t, sin xcos t2 ?1 x= ,进而借助关于 t 的二次函数的性质求解.这里要注意的是 t 的 2 取值范围. 另外, 要重视角的范围对三角函数值的影响, 因此要注意角的范围的讨论。 5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ. 1 例 1.已知 π<α<2π,sinα+cosα=- . 5 (1)求 tanα 的值. (2)求 sin2α+3sinαcosα-4cos2α 的值. π sin? π-α?-cos? +α? 2 (3)求 的值. 3π sin? -α?+cos?π+α? 2 例 2. 已知向量 a ? ? m,cos 2 x ? , b ? ? sin 2 x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b , 且 y ? f ? x ? 的图像过点 ? (I)求 m, n 的值; (II)将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若 y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1, 求 y ? g ? x ? 的单调递增区间. ? ? ?? ? 2? , ?2 ? . , 3 ? 和点 ? ? ? ? 12 ? 3 变式 2.已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数, π 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ?π? (1)求 f? ?的值; ?8 ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的 6 横坐标伸长到原来的 4

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