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初高中数学衔接导学案

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案

第一讲

因式分解

课前预习 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (a ? b)(a ? b) ? ________________ ; (1)平方差公式 (2)完全平方公式 (a ? b)2 ? ________________ . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? ________________ ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? ________________ ; (a ? b ? c)2 ? ________________ ; (a ? b)3 ? ________________ ; (a ? b)3 ? ________________ .

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

课堂练习 1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
( (D) )

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x ?
2

1 2 m 16
( )

(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根 法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 3 分解因式:
1

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (1)x2-3x+2; (2)x2+4x-12;

(3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(4) xy ? 1 ? x ? y .

课后练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2

(2) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2 2

(3) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。 (4) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。
2

(8) 4m ? 12m ? 9 ? __________________________________________________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? __________________________________________________。
2

(10) 12x ? xy ? 6 y ? __________________________________________________。
2 2

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x ? 4 x ?
2 2
2 2

?

,b ? 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2 2



1、在多项式(1) x ? 7 x ? 6 (2) x ? 4 x ? 3 (3) x ? 6 x ? 8 (4) x ? 7 x ? 10 (5) x ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2) ; (3)和(4) ; (3)和(5)
2

2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A、 ?a ? 11??a ? 3? B、 ?a ? 11b??a ? 3b?
2 2

3、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得(
2

C、 ?a ? 11b??a ? 3b? )

D、 ?a ? 11b??a ? 3b?

A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10?
2

4、若多项式 x ? 3 x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是( A、 a ? 10 , b ? 2
2

D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5?

B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? ) D、 a ? ?10 , b ? 2 )

C、 a ? ?10 , b ? ?2 b 5、若 x ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 为整数,则 m 的值为(
2

B、 a ? 10 , b ? ?2

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 三、把下列各式分解因式 1、 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2

D、 ? 3 或 ? 9 2、 a ? 5a b ? 6ab
3 2 2

3、 2 y 2 ? 4 y ? 6

4、 b ? 2b ? 8
4 2

2.提取公因式法 例 4 分解因式:

(1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b?

(2) x ? 9 ? 3x ? 3x
3 2

课堂练习: 一、填空题: 1、多项式 6 x y ? 2 xy ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。
2 2

2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2 2

3、 m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? ____________________。

4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。 6、 ? 13ab x ? 39a b x 分解因式得_____________________。
2 6 3 2 5

7.计算 99 ? 99 =
2

二、判断题: (正确的打上“√”,错误的打上“×” )
2 2

1、 2a b ? 4ab ? 2ab?a ? b? ………………………………………………………… ( 2、 am ? bm ? m ? m?a ? b? …………………………………………………………… ( 3、 ? 3x ? 6 x ?15x ? ?3x x ? 2 x ? 5 …………………………………………… (
3 2 2

) ) ) )

4、 x ? x
n

n?1

? x n?1 ?x ? 1? ……………………………………………………………… (
3

?

?

3:公式法

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 例 5 分解因式: (1) ? a ? 16
4

(2) ?3x ? 2 y? ? ?x ? y?
2

2

课堂练习 一、 a ? 2ab ? b , a ? b , a ? b 的公因式是______________________________。 二、判断题: (正确的打上“√”,错误的打上“×” )
2 2 2 2 3 3

4 2 ?2 ? ?2 ??2 ? 2 x ? 0.01 ? ? x ? ? ?0.1? ? ? x ? 0.1? ? x ? 0.1? ………………………… ( 9 ?3 ? ?3 ??3 ? 2 2 2 2 2、 9a ? 8b ? ?3a? ? ?4b? ? ?3a ? 4b??3a ? 4b? ………………………………… ( 2 3、 25a ?16b ? ?5a ? 4b??5a ? 4b? ………………………………………………… ( 2 2 2 2 4、 ? x ? y ? ? x ? y ? ??x ? y ??x ? y ?………………………………………… (
1、 5、 a 2 ? ?b ? c? ? ?a ? b ? c??a ? b ? c? ……………………………………………… ( 五、把下列各式分解
2

2

) ) ) ) )

?

?

1、 ? 9?m ? n? ? ?m ? n?
2

2

2、 3 x ?
2

1 3

3、 4 ? x 2 ? 4 x ? 2

?

?

2

4、 x ? 2 x ? 1
4 2

4.分组分解法 例 6 (1) x ? xy ? 3 y ? 3x
2

(2) 2 x ? xy ? y ? 4 x ? 5 y ? 6 .
2 2

课堂练习:用分组分解法分解多项式(1) x ? y ? a ? b ? 2ax ? 2by
2 2 2 2

(2) a ? 4ab ? 4b ? 6a ? 12b ? 9
2 2

5.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.
4

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) x2 , 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 7 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 2 x ? 1 ;
2

(2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

课堂练习 1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y (2)8a3-b3; ( (D) x ? 5 y )

(3)x2-2x-1;

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

课后作业 1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解:
5

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状.
2 2 2

4.分解因式:x2+x-(a2-a).

第二讲
6

函数与方程

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 一、一元二次方程 1.根的判别式 课前预习 解下列方程(1) x ? 2 x ? 3 ? 0 (2) x ? 2 x ? 1 ? 0 (3) x ? 2 x ? 3 ? 0
2 2 2

对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的 实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; 2 (3) x -ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0.

2.根与系数的关系(韦达定理) 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1· x2= .这一关系 a a

也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定 理可知
7

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px +q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 例 2 已知方程 5 x
2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

例 3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方 和比两个根的积大 21,求 m 的值.

例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x13+x23.

若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=
8

? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的 取值范围.

课堂练习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 ( )
2 2

1 4 1 (C)m< ,且 m≠0 4
(A)m< 2.填空:

1 4 1 (D)m>- ,且 m≠0 4
(B)m>-

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 ? = x1 x2

. . .

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根?

4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

课后练习 A 组 1.选择题:
9

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?



④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 2 2 3. 试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m x -(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根? 有两个相等的实数根?没有实数根?

7 ; 3

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B 组 1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1) x + k + 1 = 0 的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 k 的 值 为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 . ( 2 )如果 a , b 是方程 x2 + x - 1 = 0 的两个实数根,那么代数式 a3 + a2b + ab2 + b3 的值 是 . 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和 (2)x13+x23.

x1 ? x2 ; 2

5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

C 组 1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角 形的斜边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9 ( (D) )

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
3 2

(C)3

( 3 )如果关于 x 的方程 x2 - 2(1 - m)x + m2 = 0 有两实数根 α , β ,则 α + β 的取值范围为
11

饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 ( )

1 (A)α+β≥ 2

1 (B)α+β≤ 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

( 4 )已知 a , b , c 是 ΔABC 的三边长,那么方程 cx2 + (a + b)x +

c = 0 的根的情况是 4
( )

(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 2 3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- 说明理由;

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在, 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x (3)若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值. x2
(2)求使

4.已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ?
2

m2 ?0. 4

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2. 5.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

二、二次函数 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 课前预习 作图(1) y ? x 2 (2) y ? ? x2 (3) y ? x2 ? 2 x ? 3

问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系?

通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在二次 函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系?

通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函 数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上 移,k 负下移”. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 为直线 x=-

b 4ac ? b2 , ) ,对称轴 2a 4a

b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b2 2 , ) ,对称轴 (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、 对称轴、 顶点坐标、 最大值 (或最小值) , 并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

函数 y=ax2+bx+c 图象作图要领: (1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定

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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x ? ?

b 2a

(3) 确定图象与 x 轴的交点情况,①若△>0 则与 x 轴有两个交点,可由方程 x2+bx +c=0 求出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点,可由方程 x2+bx+c=0 求出③①若 △<0 则与 x 轴有无交点。 (4) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c,所以交点坐标为(0,c) (5) 由以上各要素出草图。 课堂练习:作出以下二次函数的草图 (1) y ? x 2 ? x ? 6 (2) y ? x2 ? 2x ? 1 (3) y ? ? x2 ? 1

例 2 某种产品的成本是 120 元/件, 试销阶段每件产品的售价 x (元) 与产品的日销售量 y (件) 之间关系如下表所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售 价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?

例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y =x 的图像,求 b,c 的值.
2

例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最 大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案

说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所 研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题 时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 课堂练习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. 2 ( 3 )函数 y =- 3(x + 2) + 5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时, y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画 出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 2 4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小 值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.二次函数的三种表示方式
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 二次函数可以表示成以下三种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3, -1) ,求二次函数的解析式.

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数 的表达式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

课堂练习 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y =a (a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

2. 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时, 有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次 函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位 置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式 研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析 式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 有什么特点?依据这
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的 特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称 变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析 式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

练习 选择题: 把函数 y=-(x-1)2+4 的图象向左平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,所得图象对应的解析式为 ( ) (A)y= (x+1)2+1 (B)y=-(x+1)2+1 (C)y=-(x-3)2+4 (D)y=-(x-3)2+1

2.3.2

一元二次不等式解法

(1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 2 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 不等式 ax2+bx+c<0 的解为

x<x1,或 x>x2; x1<x<x2.

(2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx b +c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为

b x≠-2a ;
不等式 ax2+bx+c<0 无解.

(3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+ bx+c=0 没有实数根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. 例 1、 解不等式:
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 (1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

例 2、已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来.




(2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0;

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2.3
1.解下列方程组:

? x2 ? ? y 2 ? 1, (1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?
? x 2 ? y 2 ? 4, ? (3) ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.
2.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (3)2x-x2≥-1;

(2) ?

?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, ? x ? 2 y ? 0;

(2)3x2-4<0; (4)4-x2≤0.

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第三讲

三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图1

图2

如图 1 ,在三角形△ABC 中,有三条边 AB, BC , CA ,三个顶点 A, B, C ,在三角形中,角平 分线、中线、高(如图 2)是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部, 恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点, 且被该交点分成的两段 长度之比为 2:1. 已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 图3

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心 . 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相 等.(如图 4) 图4 例 2 已 知 V ABC 的 三 边 长 分 别 为

BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,且 I 在
V ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F , b+ c- a 求证: AE = AF = . 2

图5
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饮马桥培训点初高中数学衔接教学案 例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形.

图6 三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角 形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图 7)

图7 例 4 求证:三角形的三条高交于一点. 已知 求证

V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点.
C H^ AB .

图8 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三角形 的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点. 练习 1.若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆的半径是_________; 2 .若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的半径是 ___________. 并请说明理由.

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