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高中数学高考专题之 线性规划问题的求解策略

【高考地位】 线性规划问题是高考的必考内容,其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来,高考中的线 性规划问题更趋灵活多样,体现了“活、变、新”等特点,更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。 在高考中以各种题型中均出现过,其试题 难度属中高档题. 【方法点评】 类型一 线性目标函数问题 使用情景:求目标函数的最值 解题模板:第一步 第二步 第三步 根据已知约束条件画出其可行域; 平移目标函数的直线系,根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解; 得出结论. ? x ≥ 0, ? 例 1 已知实数 x, y 满足不等式组 ? y ≥ ?2, 则 2 x ? y 的最大值是___________. ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ? 【答案】6 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 例 2 已知 x 、 y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?y ?1 ? 【答案】6 [来源:Z&xx&k.Com] . ?y ? 2 ? 【变式演练 1】已知变量 x, y 满足约束条件 ? : ? x ? y ? 1 ,若 ? 表示的区域面积为 4,则 z ? 3x ? y 的最 ?x ? y ? a ? 大值为___________. 【答案】 7 【解析】 试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因 AC ? BC 且 AC ? BC ,故区域的面积为 S? 1 1? a (a ? 3)( 2 ? ) ? 4 ,解之得 a ? 1 ,平移动直线 y ? 3x ? z ,结合图形可以看出当动直线经过点 2 2 B(3,2) 时,动直线 y ? 3x ? z 的截距 ? z 最小, z 最大, z max ? 9 ? 2 ? 7 ,故应填 7 .学*科网 y x-y=a B(2+a,2) y=2 A(-1,2) C( O a+1 1-a , ) 2 2 x x+y=1 考点:线性规 划的有关知识及运用. ?x ? k ? 【变式演练 2】已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为( ?x ? y ? 0 ? A.0 【答案】B B.1 C.1 或 3 ) D.3 考点:1、线性规划;2、三角形的面积. 类型二 使用情景:求非线性目标函数的最值 解题模板:第一 步 非线性目标函数问题 根据已知约束条件画出其可行域; 第二步 借助目标函数的几何意义,并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如 直线的斜率问题、两点的距离的平方等; 第三步 得出结论. ? x ? 0, y ?1 ? 例 3 已知不等式组 ? x ? y ? 0, 则z ? 的最大值为 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ? 【答案】3 . ?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点, 已知点 ? x ? 0, y ? 0 ? A ? ?1, 2? ,则直线 AM 斜率的最小值为( A. ? ) C. 0 D. 2 3 B. ?2 4 5 【答案】B 【解析】 试题分析:可 行域为一个四边形 OBCD 及其内部,其中 B(0, 2), C(2,0), D(4,6) ,因此直线 AM 斜率的最小 值为直线 AO 斜率,为 ?2 ,选 B. 学*科网 考点:线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作 出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三, 一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. ?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为( ?y ? 0 ? A.-8 【答案】D B.-4 ) C.1 D.2 考点:1、可行域的画法;2、最优解的求法. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步 骤是“一画、二移、三求” : (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到目标函数对应的最 优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解 坐标代入目标函数求出最值. 学*科网 ?x ? y ? 4 ? 0 y2 ? 【变式演练 3】已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最大值是( x ?x ?1 ? 0 ? A. ) 1 3 B.9 C.2 D.11 【答案】B 【解析】 试题解析:先画出二元一次不等式所表示的平面区域(如图),则 x ? 1, y ? 1 要使 y2 最大,只需 y 最大, x x 最小,由图像可知当 z ? 考点:线性规划. y2 经过定 A(1,3) 时, z 最大,最大值为 9.选 B. 学*科网 x ?x ? 2 y ? 0 y 1 ? 【变式演练 4】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,且 z ? 仅在点 A( ?1, ) 处取得最大值, x?a 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 则实数 a 的取值范围为( ) B.(??,?1) C.(?2,?1) D.(?1,1) [?2,?1) A. 【答案】C [来源:Zxxk.Com] 考点:线性 规划. 【变式演练 5】已知实数 x, y 满足 ? ?x ? 2 y ?1 ? 0 2x ? y ? 2 ,则 z ? 的取值范围为( x ? x ? y ?1 ? 0 ) A. ? 0, ? 10 ? ? 3? ? B. ? ??, 2? ?10

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