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4-5-2第2课时 不等式的证明与柯西不等式_图文

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第2课时

不等式的证明与柯西不等式

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2011· 考纲下载
1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放缩法、数

学归纳法.
2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式,能利用均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.

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请注意!
不等式的证明是中学数学的难点.柯西不等式只要求会简单应用.

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?
? 课本导读

课前自助餐

注:不等式证明的基本方法详见本书第十二章第 2、3课时. 1.平均值不等式 a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an≥ n 1 1 1 1

.

+ +?+ a1 a2 an

2.贝努利不等式 若x∈R ,且x>-1,x≠0,n>1,n∈N , 则( 1+x)>1+nx .
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n n

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?

3.柯西不等式 ( 设a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn是实数,则( 2+a2 +?+ 1) a1 2
n

2 a2)b 2 +b2 +?+b2 ) ?aibi). 当且仅当bi=0(=1, i 2,?,n) 或存在 n ( 1 2 n ≥( i =1

一个数k,使得ai=kbi(=1, i 2,?,n) 时,等号成立. ( 柯西不等式的向量形式:设α、β是两个向量,则| 2) α·β | α|β| ≤| | . 当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成 立.

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? 4.排序不等式
? 若 a1≤a2≤…≤an , b1≤b2≤…≤bn 为 两 组 实 数 , c1 , c2 , … , cn 是 b1 ,

b2 , … , bn 的任 一 排 列 , 则 a1bn + a2bn - 1 + … + anb1≤a1c1 + a2c2 + …+

ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,
反序和等于顺序和.

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教材回归
1 1 1 a b 1.已知0<a< ,且M= + ,N= + , b 1+a 1+b 1+a 1+b 则M、N的大小关系是( A.M<N C.M=N ) B.M>N D.不确定

答案

B

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解析

由已知得0<ab<1,

1 1 a b 故M-N= + - - 1+a 1+b 1+a 1+b 1-a 1-b 2(1-ab) = + = >0, 1+a 1+b (1+a)(1+b) 故M>N.

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2.若x,y∈R且满足x+3y=2,则3 +27 +1的最 小值是( 3 A.3 9 C.6 ) B.1+2 2 D.7

x

y

答案

D

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3.函数f(x)= 3x+ 3(1-x)的最大值=________.

答案

6

解析

3x+ 3(1-x)= 3x+ 3-3x,由柯西不等式得

( 3x+ 3-3x)2≤(12+12)[( 3x)2+( 3-3x)2]=6, ∴ 3x+ 3-3x≤ (1+1)·(3x+3-3x)= 6.

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4.(2011·江苏南通)已知实数m,n>0.
2 2 a b (a+b) (1)求证: + ≥ ; m n m+n 2

2 9 1 (2)求函数y= + 〔x∈(0, )〕的最小值. x 1-2x 2 解析 (1)证明
2 2

因为m,n>0,利用柯西不等式,

a b 2 得(m+n)( + )≥(a+b) , m n
2 2 a b (a+b) 所以 + ≥ . m n m+n 2

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(2)解

2 9 2 3 由(1),函数y= + = + x 1-2x 2x 1-2x
2

2

2

≥ =25, 2x+(1-2x) 2 9 1 所以函数y= + 〔x∈(0, )〕的最小值 x 1-2x 2 为25, 1 当且仅当x= 时取得. 5

(2+3)

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授人以渔
注:综合法、分析法、数学归纳法见本书第十二章.

题型一 放缩法证明不等式
例1 (2010·江苏卷,理)设a,b是非负实数,
3 3 2 2

求证:a +b ≥ ab(a +b ). 【解析】
3 3

由a,b是非负实数,作差得
2 2 2 2

a +b - ab(a +b )=a a( a- b)+b b( b- a) =( a- b)(( a) -( b) ). 当a≥b时, a≥ b,从而( a) ≥( b) , 得( a- b)(( a) -( b) )≥0; 当a<b时, a< b,从而( a) <( b) ,
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5 5 5 5 5 5 5 5

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得( a- b)(( a) -( b) )>0. 所以a +b ≥ ab(a +b ).
3 3 2 2

5

5

探究1

放缩法是不等式证明的基本方法,在不等式证明中几乎处处存在.

(1)放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧主要有:①不等式的传递 性;②等量加不等量为不等量;③同分子(母)异分母(子)的两个分式大小 的比较.缩小分母、扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式 值减小;全量不少于部分;每一次缩小和变小,但需大于所求;每一次扩 大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时

需便于求和.
(2)放缩法的注意事项

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1 2 3 1 2 舍去或加上一些项,如(a+ ) + >(a+ ) ; 2 4 2 1 1 ②将分子或分母放大(缩小),如 2< , k k(k-1) 1 1 1 2 1 2 * > , < , > (k∈N , 2 k k(k+1) k k+ k-1 k k+ k-1 k>1)等. ③放大或缩小时注意要适当,必须目标明确, 合情合理,恰到好处,且不可放缩过大或过小,谨 慎地添或减是放缩法的基本策略.

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思考题1

(2010·辽宁卷,理)已知a,b,c
2 2 2

均为正数,证明:a +b +c +(

1 1 1 2 + + )≥ a b c

6 3,并确定a,b,c为何值时,等号成立. 【解析】 证法一 因为a,b,c均为正数,

由平均值不等式得

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所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.

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证法二
2 2

因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
2 2 2 2

a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ac, 所以a +b +c ≥ab+bc+ac, 1 1 1 1 1 1 同理 2+ 2+ 2≥ + + , a b c ab bc ac
2 2 2

① ②

1 1 1 2 2 2 2 故a +b +c +( + + ) ≥ab+bc+ac+ a b c 1 1 1 3 +3 +3 ≥6 3. ab bc ac ③
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? 所以原不等式成立

? 当且仅当 a = b = c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a = b = c ,(ab)2 =
(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.

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题型二

三个正数的算术——几何平均不等式问题
+ 2

例2

已知x∈R ,求函数y=x(1-x )的最大值. 利用平均值不等式

【思路分析】

a+b+c 3 abc≤( ) (a>0,b>0,c>0)求解. 3 【解析】 ∵y=x(1-x ),
2

1 2 2 2 2 2 2 2 ∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )· . 2 ∵2x +(1-x )+(1-x )=2, 1 2x +1-x +1-x 3 4 2 ∴y ≤ ( )= . 2 3 27
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2 2 2 2 2 2

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3 当且仅当2x =1-x =1-x ,即x= 时,取“=”, 3
2 2 2

2 3 2 3 ∴y≤ .∴ymax= . 9 9

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思考题2 【证明】

1 1 1 设a,b,c为正实数,求证: 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c 因为a,b,c为正实数,

3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得 3+ 3+ 3≥3 3· 3· 3, a b c a b c 1 1 1 3 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥ .所以 3+ 3+ 3+abc≥ +abc. a b c abc a b c abc 3 而 +abc≥2 abc 3 ·abc≥2 3. abc

1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c

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题型三
例3

柯西不等式的应用

(1)设a,b,c为正数且各不相等,求证:

2 2 2 9 + + > . a+b b+c c+a a+b+c 【思路分析】 因为a、b、c均为正数,所以要结论

1 1 1 正确只需证明2(a+b+c)( + + )>9. a+b b+c c+a 【证明】 ∵a,b,c均为正数,

∴a+b>0,b+c>0,c+a>0. ∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(a+c),

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1 1 1 2(a+b+c)( + + ) a+b b+c a+c =[( a+b) +( b+c) +( c+a) ]·[( 1 2 2 )+ ( )] b+c a+c 1 1 2 + b+c× + c+a× ) =9. a+b b+c c+a 1 1
2 2 2

) a+b

1

2

+(

≥( a+b×

1 1 1 ∴2(a+b+c)( + + )≥9. a+b b+c c+a 当且仅当a+b=b+c=c+a,

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即a=b=c时,等号成立. 又a,b,c各不相等,等号不成立, 1 1 1 ∴2(a+b+c)( + + )>9, a+b b+c c+a 2 2 2 9 即 + + > . a+b b+c c+a a+b+c

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? 探究2

利用柯西不等式证明不等式,先使用拆项重组、添项等方法构造

符合柯西不等式的形式及条件,再使用柯西不等式解决有关问题.

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(2)若3x+4y=2,试求x +y 的最小值及最小值点. 【思路分析】
2 2 2 2

2

2

由于3x+4y=2,则可以构造
2

(3 +4 )(x +y )≥(3x+4y) 的形式,从而使用柯西不 等式求出最值. 【解析】
2 2 2

解法一
2

由柯西不等式
2

(x +y )(3 +4 )≥(3x+4y) ,① 得25(x +y )≥4, 4 2 2 所以x +y ≥ . 25
2 2

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x y 不等式①中当且仅当 = 时等号成立,为 3 4 求最小值点,需解方程组:

?3x+4y=2, ? ?x y ?3=4, ?

?x= 6 , ? 25 解得? 8 y= . ? 25 ?
因此当x= 6 8 2 2 ,y= 时,x +y 取得最小 25 25

4 6 8 值,最小值为 ,最小值点为( , ). 25 25 25
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解法二

令a=(3,4),b=(x,y),则
2 2 2 2

a·b=3x+4y,|a|= 3 +4 =5,|b|= x +y . ∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式), ∴|3x+4y|≤5 x +y , |3x+4y| 4 2 2 ∴x +y ≥ = . 25 25 其他同解法一.
2 2 2

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? 探究3

利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放

缩,放缩不当则等号可能不成立,因此一定不能忘记检验等号成立 的条件.

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思考题3

设x≥0,y≥0,z≥0,a、b、c、d、l、m、n

是给定的正数,并且ax+by+cz=δ为常数, l m n 求ω= + + 的最小值. x y z 【解析】 由柯西不等式,得 l 2 ) +( x m 2 ) +( y
2

ω·δ=[(
2

n 2 2 2 ) ]·[( ax) +( by) z

+( cz) ]≥( al+ bm+ cn) , ? 所以ω≥ al+ bm+ cn? δ
2

.

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利用柯西不等式成立的条件,得x=k m ,z=k b

l ,y= a

k

δ n ,其中,k= ,它们使得 c al+ bm+ cn ? al+ bm+ cn? δ
2 2

ax+by+cz=δ,且ω= ? ω的最小值为

,所以

al+ bm+ cn? δ

.
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题型四
例4 证:

排序不等式的应用

设a1,a2,?,an是几个互不相同的正整数,求

1 1 1 a2 a3 an 1+ + +?+ ≤a1+ 2+ 2+?+ 2. 2 3 n 2 3 n 【思路分析】 a1,a2,?,an是n个互不相同的

正整数,因此它们可以从小到大地排序,观察问题中 的式子,可以猜想到与a1,a2,?,an对应的另一列数 1 1 1 是1, 2 , 2 ,?, 2 ,由此联想到用排序不等式证 2 3 n 明.
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【解析】

证明

设b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的一

个排列,且满足b1<b2<?<bn,因为b1,b2,?,bn是互不 相同的正整数,故b1≥1,b2≥2,?,bn≥n. 1 1 1 又因为1> 2> 2>?> 2, 2 3 n a2 a3 an b2 b3 故由排序不等式,得a1+ 2+ 2+?+ 2≥b1+ 2+ 2 +? 2 3 n 2 3 bn 1 1 1 1 1 + 2≥1×1+2× 2 +3× 2 +?+n× 2=1+ + +?+ n 2 3 n 2 3 1 . n

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课 前 自 助 餐 授 人 以 渔 ? 探究4 应用排序原理证明不等式的关键是找出两组有序数组,通常可以 从函数单调性去寻找

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本课总结
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? 1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义,从柯西不等式 的几何意义出发就得到了三角不等式,柯西不等式的一般形式也可以 写成向量形式. ? 2.对于排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同 时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所 得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.

?

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课时作业(64)

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(北师大版)课件:第13章 选修4-5 第2不等式的证明_数学_高中教育_教育...(i= 1,2,?,n)时,等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设α,β 是两...
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