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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章第13讲指数函数与对数函数_图文

1.函数y=ax-3+2(a>0,且a?1)的图象过定点, 这个定点的坐标是___(_3_,_3_) _.
2.若函数y ? log 1 (x ? 1) ? b的图象不经过 22
第一象限,则b的取值范围是 (-∞,-1]   .

3.已知函数f(x)=ax+b(a>0)的图象经过点(2,3)

和原点,则f(-2)=

-3 ___4_

解析:?????aa02

? ?

b b

? ?

3,解得 0

?a ??b

? ?

2 ,f ?1

?x?

?

2x

? 1,

所以f ??2? ? 2?2 ?1 ? ? 3
4

4.已知函数f(x)=logax(a>0,a?1),若f(2)<f(3), 则实数a的取值范围是__(1_,__+_∞__)_.
解析: 因为f(2)<f(3),所以f(x)=logax单调递增, 则a∈(1,+∞).
5.若a=log0.40.3,b=log54,c=log20.8,用“<”将a, b,c连接起来______c_<_b_<_a.
解析:
a=log0.40.3>log0.40.4=1,0<b=log54<log55=1, c=log20.8<0,所以c<b<a.

指数式的大小比较

【例1】

比较下列各组实数的大小.

1

1

?1? 0.8 2,0.9 3;

? 2?1.70.3,0.93.1;

? ?3 40.9,80.48,( 1 )-1.5.
2

1

1

1

【解析】?1?由函数y=x2的单调性得0.82 ? 0.92;

1

1

由指数函数的单调性得0.92 ? 0.93,

1

1

所以0.82 ? 0.93.

?2?因为1.70.3 ? 1, 0.93.1 ? 1,所以1.70.3 ? 0.93.1.

? ?3 因为40.9=21.8,80.48=21.44,( 1 )-1.5=21.5,
2 所以由指数函数的单调性得40.9 ? ( 1 )-1.5 ? 80.48.
2

(1)(2)两组数据的底数不同,指 数也不同,常见方法是寻找中间 量 . (1) 题 , 由 数 的 特 点 , 知 0.91/2 是 合适的中间量;(2)题,根据指数函数 的性质,1是最合适的中间量;(3)题, 可转化为同底的指数幂的大小比较, 只需应用指数函数的单调性.

【变式练习1】 (1)比较60.7与0.76的大小; (2)若a、b、c都是大于1的正数,且ax<bx<cx, 比较a、b、c的大小.
【解析】(1)因为60.7>1,0.76<1,所以60.7>0.76. (2)设d>1,则y=dx是增函数,对于x>0,当d 增大时,函数值也增大.对于x<0,当d增大 时,函数值减小.于是当x>0时,由ax<bx<cx, 得a<b<c;当x<0时,由ax<bx<cx,得c<b<a.

对数式的大小比较
【例2】 (1)已知loga5>logb5,比较a、b的大小; (2)设f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x)(其 中a>1),在公共定义域下,比较f(x)与g(x) 的大小关系.

【解析】?1?当a ? 1,b ? 1时, 1 ? 1 ,
log5 a log5 b 即log5 b ? log5 a,所以b ? a ? 1;
当0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1时, 1 ? 1 , log5 a log5 b
即log5 b ? log5 a,所以0 ? a ? b ? 1; 当a ? 1, 0 ? b ? 1时符合题意.

?2?函数f ? x?与g ? x?的公共定义域是(-1,1).

因为f

? x?-g

?

x ?=log a

1? 1?

x x

?a

? 1?,

所以,当-1 ? x ? 0时,1? x ? 1; 1? x

当x=0时,1? x =1;当0 ? x ? 1时,0 ? 1? x ? 1.

1? x

1? x

于是,当x ? (-1, 0)时,f ? x? ? g ? x?;

当x=0时,f ? x?=g ? x?;

当x ??0,1?时,f ? x? ? g ? x?.

比较对数的大小,有三种具体情况: ①同底数,不同真数,利用对数函数的单调性 进行判断; ②同真数,不同底数,利用对数换底公式转化 为同底的对数; ③不同底数,也不同真数,利用指数、对数互 化或寻找中间量进行判断.(1)中是同真不同底 的两个对数,用对数换底公式比较简便;(2)题 是函数值大小的比较,一般方法是作差,寻找 自变量的取值范围或临界点,再作判断.

【变式练习2】
(1) 已 知 m , n>0 且 m 、 n 都 不 为 1. 若
logn2<logm2<0,试比较m、n的大小; (2)比较log0.70.8,log1.10.9,1.10.9三个数 的大小.

【解析】?1?当m ? 1,n ? 1时,不符合要求;
当0 ? m ? 1, 0 ? n ? 1时, 1 ? 1 0, log2 n log2 m
即log2 m ? log2 n ? 0,所以0 ? m ? n ? 1.
?2? 观察数的特点,知0 ? log0.7 0.8 ? 1,
log1.1 0.9 ? 0,1.10.9 ? 1, 于是 log1.1 0.9 ? log0.7 0.8 ? 1.10.9.

指数函数的综合应用
【例3】 若函数y=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区 间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.

【解析】设t=a x,则函数化为关于t的函数

f ?t ?=t2+2t-1=(t+1)2-2?t ? 0?.

当a ? 1时,a-1 ? t ? a,ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3或a=-5(舍去);

当0 ? a ? 1时,a ? t ? a-1,ymax=(a-1)2+2a-1

-1=14,解得a=1 或a=-1 (舍去).

3

5

故所求a的值为3或 1. 3

将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题 是数学化归思想的体现.换元法在数学化归思 想中占有重要的地位.本题作换元后,将函数 转化为f(t)=t2+2t-1(t>0),使题目的结构一下 子变得清晰起来,因为二次函数在闭区间上存 在最值是我们熟悉的问题.转化中要保证问题 的等价性,一是由t=ax,需要根据函数ax的单 调性找出t的取值范围,二是需要分a>1和0<a<1 两种情况进行分类讨论.

【变式练习3】 已知函数y=1+2x+a·4x,当x≤1时, 恒有y>0,求实数a的取值范围.

【解析】由1+2x+a?4x ? 0,得a ? -1 ? 2x 4x
(x ? 1)恒成立.

令f

?

x

?=-1

? 2x 4x

=-(1 )2x-(1 )x 22

?

[( 1 ) x 2

?

1 ]2 2

?

1. 4

设t=( 1 ) x, 2

则函数转化为f ?t ?=-(t+1)2+1,t ?[1,+?).

24

2

所以??

f

?t ???max =f

(1)=- 3 . 24

所以a ? - 3,即实数a的取值范围是(- 3,+?).

4

4

对数函数的应用

【例4】

已知函数f

( x-3)=log a

6

x ?

x

(a

?

0,且a

?

1).

?1?判断f ? x?的奇偶性,写出推理过程;

?2?当0 ? a ? 1时,求函数f ? x?的单调区间.

【解析】令u=x-3,得x=u+3,

于是f

? u ?=log a

u?3 3?u

(-3

?

u

?

3),

所以f

? x?=loga

3? 3?

x x

(-3

?

x

?

3).

?1?因为f

(-x)=loga

3 3

? ?

x x

=log

a

(

3 3

? ?

x )-1=-f x

? x ?,

?2?令t=3 ? x =-1- 6 ,它在(-3,3)上是增函数.

3? x

3? x

当0 ? a ? 1时,函数y=logat是减函数,

所以函数f

? x?=loga

3? 3?

x x

(-3

?

x

?

3)是减函数,

故其单调递减区间是(-3, 3).

本题有较强的综合性,首先要通过变 量代换,求出函数f(x)的表达式(防止直接 判 断 f(x - 3) 的 奇 偶 性 ) , 然 后 再 判 断 奇 偶 性.在研究函数的单调性时,本解答直接 应用了反比例函数的单调性(常见基本函数 的单调性是可以直接应用的),如果一定要 用单调性的定义来解答,也只需讨论 t=3 ? x (-3 ? x ? 3)的单调性即可.
3? x

【变式练习4】

设函数f

?

x ?=log a

(1-

a x

)

?0

?

a

?

1?.

?1?证明:函数f ? x?在(a,+?)上是减函数;

?2?解不等式f ? x? ? 1.

【解析】?1?证明:设a ? x1 ? x2,

则f

? x1 ?-f

? x2 ?=loga

x2 (x1 x1 ( x2

? a) . ? a)

因为x2 (x1-a)-x1(x2-a)=a(x1-x2 ) ? 0,

所以0 ? x2 (x1 ? a) ? 1, x1(x2 ? a)

于是f

? x1 ?-f

? x2 ?=loga

x2 (x1 x1 ( x2

? a) ? a)

?

0,

所以f ? x1 ? ? f ? x2 ?,

所以函数f ? x?在(a,+?)上是减函数.

?2?因为0 ? a ? 1,故由f ? x? ? 1,

得 loga

x?a x

?

loga

a,则0

?

x?a x

?

a.

当 x ? a ? 0时,得x ? 0或x ? a; x

当 x ? a ? a时,得0 ? x ? a .

x

1? a

又a ? a , 1? a

所以原不等式的解集为{x | a ? x ? a }. 1? a

1.要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二 象限,则t的取值范围为 __t≤_-_3___.
【解析】要使g(x)=3x+1+t的图象不经过 第二象限,只要g(0)=31+t≤0,即t≤-3.

2.若函数y=(log1 a)x是减函数,则a的

取值范围是

2 ( 1,1).
________2________

【解析】由0 ? log1 a ? 1,得0 ? -log2 a ? 1,
2
解得 1 ? a ? 1. 2

3.已知函数f ? x?=lg( 2 ? a)是奇函数,
1? x
则f ? x? ? 0的解集为___(-__1_,_0_)____

【解析】由函数f ? x?在x=0处有意义,

知f ?0?=0,得a=-1.

则f ? x?=lg( 2 ?1)=lg1 ? x (-1 ? x ? 1).

1? x

1? x

由lg 1 ? x ? 0,得0 ? 1 ? x ? 1,

1? x

1? x

解得-1 ? x ? 0.

4.函数y= xax ?0 ? a ? 1?的值域是
|x| __(_-__∞_,__-__1_)∪__(_0_,1_)_____
【解析】当x<0时,y=-ax<-a0= -1;当x>0时,y=ax∈(0,1), 所以所求函数的值域为(-∞,- 1)∪(0,1).

1.指数函数的概念、图象和性质
?1? 指数函数y=a x是说明性定义,注意两点:
一是底数范围的规定“a ? 0且a ? 1?,
二是式子a x没有被其他元素复合,如y=2a x,
1
y=ax-1,y=a x,y=ax+1等都不是指数函数.
x
但要注意:对某些关系式,如y=22x,y=32
等通过化简后可转化为y=a x的形式的,是指 数函数.

(2) 讨 论 指 数 函 数 问 题 时 , 由 于 a>1 与 0<a<1影响了函数的性质,因此在底数不确 定时,应当对底数作分类讨论.
(3)指数函数图象的特点,首先它是R 上的单调函数,当底数a>1时,是R上的增 函数;当0<a<1时,是R上的减函数,值域 为(0,+∞),函数图象恒过定点(0,1),图 象以x轴为渐近线;其次函数y=ax与函数y =a-x的图象关于y轴对称.

2.对数函数的概念、图象和性质
?1? 对数的定义是说明性定义,只有形
如y=loga x(a ? 0,且a ? 1)的形式才是对数 函数,有两层含义: 一是真数是正数, 二是底数a ? 0,且a ? 1.
对于y=2 loga x,y=loga x,y=loga x+1 都不是对数函数.

(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1) 的单调性由底数a的大小决定.当
0<a<1时,y=logax是(0,+∞)上的减 函数;当a>1时,y=logax是(0,+∞) 上的增函数.设u=u(x)>0,y=logau是 复合函数,只要u>0成立,那么函数y
=logau的值域就是R.

?3?掌握对数值的变化规律:对数函数

loga x(a ? 0,且a ? 1),当0 ? a ? 1, 0 ? x ? 1或 a ? 1,x ? 1时,对数值是正数;如果a ? 1, 0 ?

x ? 1或0 ? a ? 1,x ? 1,则对数值是负数;当

x=1时,对数值为0.如log2

1 3

?

0,log 1
2

1 3

?

0.从y1

=log2 x,y2=log3 x的大小比较中,要掌握这

样的规律:x ? 1 ? log2 x ? log3 x;0 ? x ? 1 ?

log2 x ? log3 x;从y3=log 1 x,y4=log1 x的大小

2

3

比较中可得到:x ? 1 ? y3 ? y4, 0 ? x ? 1 ? y3 ? y4.

3.由指数函数、对数函数和其 它函数构成的复合函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性的讨论,要同时 考虑定义域和复合函数的相关知识.


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