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贵州省习水县第四中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题


M ? ? N ? ? C M ? ? N? 2 x x ≥ 3x ? R |? M ? ? x | ? ? ? 0?,N ? ? x | x ≤ ?2?

?

x ?3

? 文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

贵州省习水市第四中学 2014-2015 学年度高一下学期期末考试数 学试题
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. sin 1290 ? 的值为( A. ) 一 二 三 总分

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2. .一人骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;下图 中哪个图象与这件事正好吻合(其中 x 轴表示时间, y 轴表示路程. )

y

y

y

y

o

A

x

o

B

x

o

C

x

o

D

x

3.已知集合

,则集合

=(



A.

B.

C.

D. 且 x ? ?? 1,1? 时 , f ?x? ? x 2 , 则

4 . 函 数 y ? f ? x ? 满 足 f ? x ? ? f ? x ? 2?

y ? f ?x? ? l o 5gx 的零点个数为(



A. 2 B.3 C. 4 D. 5 5.在梯形 ABCD 中,AD//BC,对角线 AC⊥BD,且 AC=12,BD=9,则此梯形的 中位线长是( ) . A. 10 B.

21 2

C.

15 2

D. 12

6. .已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,设其导函数 f '( x) ,当 x ? ? ??,0? 时,恒有

xf '( x) ? f (? x) ,令 F ( x) ? xf ( x) ,则满足 F (3) ? F (2 x ?1) 的实数 x 的取值范围是
( )
1

A. (-1,2) B. ( ?1, )

1 2

C. ( , 2)

1 2

D. (-2,1) )。

7.若 f(x)=|lgx|,当 a<b<c 时,f(a)>f(c)>f(b).则下列不等式中正确的为( A.(a-1)(c-1)>0 B.ac>1 C.ac=1 D.ac<1 8. 函数 y=log2|x+1|的图象是( ). y y y

y

A.

O

1

2

x

B.

O

1

2

x

C. –2 –1

O x

D. –2 –1

O x

9.设集合 A.

A ? {x x ? ?1或x ? 1}
B.



B ? {x log2 x ? 0}
C.

,则 A ? B ? D.

?x | x ? 1?
sin α ?

?x | x ? 0?

?x | x ? ?1?


?x | x ? ?1或x ? 1?

10.已知

1 1 5 ,则下列各式中值为 5 的是(
cos( 3π ? α) 2

π cos( ? α) 2 A.

B. sin(π ? α)

C.

D. sin(2π ? α )

2

? n 1 1 1 3 Sn ? 100 n ? N ? ? 3a ? ? 1 n Sa ? a ? ? ? n ?? n

1? a ?1n ?1 ? a 5 ?1 ? an 12 ?a n 2

an

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第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) .

11.函数 f ( x) ? (2 ? x)e x 的单调递增区间是

12 . 函 数 f ( x) ? 1 ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

m x ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m n ? 0, 则

1 3 ? 的最小值为 m n



13.函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? ?0,

? ?? ? 的最大值是 ? 3?



.

14 . 平 面 向 量 a, b 中 , 若 a ? (1, , b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 a ? b ? 1 , 则 向 量 ? 1)

? ?

?

?

? ?

b=

.

15. 设函数 f ( x) ? 2 sin(?x) , 若存在 x0 ? R , 使得对任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成 立.则关于 m 的不等式 m 2 ? m ? f ( x0 ) ? 0 的解为 .

评卷人

得分 三、解答题(75 分)

16. (本题满分 10 分) 求过直线 2x+3y+5=O 和直线 2x+5y+7=0 的交点, 且与直线 x+3y=0 平行的直线的方程,并求这两条平行线间的距离。 17. (本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 ,S3 ,S2 成等差数列 (1)求 {an } 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn 18..(本小题满分 14 分) 已知数列 的首项 , ,其中 。

(Ⅰ)求证:数列

为等比数列;

(Ⅱ)记

,若

,求最大的正整数 。

19 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , AB / / CD ,
3

四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE ? 平面 ABCD , AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60? ,

CF ? 1 .
(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; ( 2 )点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为

? (? ? 90? ) ,试求 cos ? 的取值范围.

20. (本题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c, 向量

m ? (4,?1), n ? (cos 2

?

?

? ? 7 A , cos 2 A) ,且 m? n ? . 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,试判断 b ? c 取得最大值时△ABC 形状. 21. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线:

x ? 3 y ? 4 相切.
( Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)圆 O 与 x 轴 相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列, 求 的取值范围.

4

x ?x 5 DE // f( )x AC log BE 9 ? 9 ? 12 ?12 ? 15 5?

参考答案 1.C
0 0 0 0 0 0 0 【解析】 sin1290 ? sin(3 ? 360 ? 210 ) ? sin 210 ? sin(180 ? 30 ) ? ? sin 30 ? ? .

1 2

故选 C 2.A 【解析】匀速行驶途中路程与时间的关系为一次函数,有一段时间交通堵塞,则这段时间的 距离必为一定值,之后又匀速行驶,路程继续均匀增加。其路程与时间的关系为一次函数, 故应选图象 A. 3.D 【解析】 M ? ?x | ?2 ? x ? 3? , N ? ?x | x ? ?2?, M ? N ? ?x | x ? 3?; 所以

CR (M ? N ) ? ?x | x ? 3?. 故选 D
4.C 【解析】 试题分析:根据题意 ,由于函数 y ? f ?x ? 满足 f ?x ? ? f ?x ? 2? ,则说明周期为 2 ,且

x ? ?? 1,1? 时, f ?x? ? x 2 ,那么可知函数图象, y ? f ?x? ? log5 x 的零点问题转化为利用
y ? f ( x) ,与 y=
交点问题来处理得到,故可知 时有交点,可知交点个数为 4

个,选 C. 考点:函数零点 点评:主要是考查了函数的周期性以及函数零点的运用,属于基础题。 5.C 【解析】 试题分析:过点 D 作 ,交 BC 于点 E, 所 以 可 得 DE=AC , AD=CE , 又 因 为 DE // AC , 所 以 BD ⊥ DE , 根 据 勾 股 定 理 , ,而梯形的中位线等于上底与下底的和的一半,所以梯形的中位 线长为 15 ?

1 15 ? . 2 2

考点:本小题主要考查梯形边角之间的数量关系的应用. 点评:解决本小题的关键是作辅助线 DE // AC ,进而就可以利用数量关系和勾股定理进行 求解. 6.A 【解析】∵ 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) 即: xf '( x) ? f ( x) ? 0

由 xf '( x) ? f (? x) 得: xf '( x) ? ? f ( x)

∴当 x ? 0 时, F '( x) ? [ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0 从而有 F ( x) 在 ( ??, 0] 单调递减

2? 3

又∵ F (? x) ? ? xf (? x) ? xf ( x) ? F ( x) ∴ F ( x) 为偶函数 ∵ F ( x) 在 ( ??, 0] 单调递减 ∴ F ( x) 在 [0, ??) 单调递增 ∵ F (3) ? F (2 x ? 1) ? F (| 2 x ? 1|) ∴ | 2 x ? 1|? 3 解得: ?1 ? x ? 2 ,故选 A。 7.A 【解析】略 8.C 【解析】 9.A 【解析】由对数函数的性质,易得 B={x|x>1},又有 A={x|x<-1 或 x>1},结合交集的运 算,可得答案. 解:由对数函数的性质,易得 B={x|x>1},又有 A={x| x<-1 或 x>1}, 结合交集的运算,可得 A∩B={x|x>1}, 故选 A. 10.C 【解析】本题考查诱导公式.

? ? ? 1 cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] ? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? ? ; 2 2 2 5 1 sin(? ? ? ) ? ? sin ? ? ? ; 5 3? ? ? ? 1 cos( ? ? ) ? cos[2? ? ( ? ? )] ? cos[?( ? ? )] ? cos( ? ? ) ? sin ? ? ; 2 2 2 2 5 1 sin(2? ? ? ) ? sin( ?? ) ? ? sin ? ? ? . 故选 C 5
11. (??,1) . 【解析】 试题分析: f ( x) ? (2 ? x)e 的定义域为 R, 且 f ( x) ? (1 ? x)e ; 令 f ( x) ? (1 ? x)e ? 0 ,
x ' x ' x x 得 x ? 1 ,即函数 f ( x) ? (2 ? x)e 的单调递增区间是 (??,1) .

考点:函数的单调性. 12. 【解析】略 13.

1 ? 2 2

x ? R f2 (x ) ? f( x0 ? 3 ? 5)? 0 x ? ? 1y 4 ? 2 10 ? x??? 5 y 1y ? 7 ? 0 5 10 ?2

【解析】解:

t 2 ?1 1 ? ? t ? (t 2 ? 2t ? 1), x ? [0, ) 2 2 3 ? 2 1 ? t ? 2 sin(x ? ) ? [ ,1] ? y ? ? 2 4 2 2 ? 令 sin x ? cos x ? t , 则y ?
1 4. ?1,0? 或(0, ?1) 【解析】 试题分析:因为 a ? b ? 1 , 所以 cos ? -sin ? =1,平方,得1-2sin? cos? =1,所以sin? cos? =0 , 所以 sin ? =0,cos ? =1或s in ? =-1,cos ? =0 ,所以 b = ?1,0? 或(0, ?1) 。 考点:平面向量的数量积;三角函数求值。 点评:此题是向量与三角函数的相结合的题目,考查了我们对知识点的熟练掌握,属于基础 题型。 15. ?? ?,?2? ? ?1,??? 【解析】 试题分析:对任意的 ,都有 成立,? f ?x0 ? ? 2 ,此时 x0 ?

? ?

1 ? 2k , 2

2 所以 m ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?2 .

考点:1、三角函数的性质;2、一元二次不等式的解法. 16.d= 【解析】 试题分析:由 = 。

联立方程组得 所以交点(-1,-1)--------------4 设所求平行线 x+3y+c=0,且过点(-1,-1) 得 c=4, 所以 x+3y+4=0------------------8 所以 d= = ------------10

考点:本题主要考查两直线的位置关系—相交、平行,两平行直线之间的距离。

2 1 1 1 2 2a 1 1 1 1 a ? 4 2 q ? q ? 0 ? ( a ? q ) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) n * ?1 ? ? 1 1 1 1( q ? - ? ? 1 ? ? 1 ? ? 0 0( ? n ? ? N ) 1 ? ? ) ?1 ? ? 333 2 an 3 aa3 3 ?1 a n ?1 ? nn

点评:容易题,思路明确,需要细心计算。两平行直线之间的距离的计算问题,要注意两方 程中 x,y 系数化同。 17. (1)依题意有

由于 a1 ? 0 ,故

又 q ? 0 ,从而

………………………………………… 6 分

2 ( ) ?3 (2)由已知可得 a1 ? a 1 ?

1 2



1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) …………………… 1 3 2 1? (? ) 2
【解析】略 18.解: (Ⅰ)∵ 分 ∴

12 分

,…………………………………………………………… 3

,……………………………………………………………………5 分

且∵

,∴

,…………………………………………………6 分

∴数列

为等比数列.……………………………………………、 、………………7 分

(Ⅱ)由(1)可求得

,……………………………………………8 分



1 1 ? 2 ? ( ) n ? 1 … ……………………………………………………………………9 分 an 3

1 1 ? 3 3n ?1 ? n ? 1 ? 1 ? n ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 3n , Sn ? ? ? ? ? ? n ? 2( ? 2 ? ? ? n ) 1? a1 a2 an 3 3 3 3
……………………………………………………………………………………………11 分



Sn ? 100

,则 n ? 1 ?

1 ? 100 ,∴ 。…………………………………14 分 nmax ? 99 3n

【解析】略 19. (1)详见解析; (2) ?

? 7 1? , ?. ? 7 2?

【解析】 试题分析: (1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个 平面内的一条直线 a 与两个平面的交线操作时则直线 a 与另一个平面垂直, 即可证明线面垂 直. (2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面 角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围. 试题解析: (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°, ∴AB=2 2 2 2 ∴AC =AB +BC -2AB?BC?cos60°=3 2 2 2 ∴AB =AC +BC ∴BC⊥AC ∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩平面 ABCD=AC,BC? 平面 ABCD ∴BC⊥平面 ACFE (2)由(1)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系,

令 FM ? ? (0 ? ? ? 3) ,则 C(0,0,0), A( 3,0,0) , B ? 0,1,0? , M ? ?,0,1? ∴

??? ? ???? ? AB ? ? 3,1,0 , BM ? ? ? , ?1,1?

?

?

设 n1 ? ? x, y, z ? 为平面 MAB 的一个法向量,

??

?? ??? ? ? ? ? 3x ? y ? 0 ? n1 ? AB ? 0 ? 由 ? ?? ???? 得? ? ? ?? x ? y ? z ? 0 ? n1 ? BM ? 0 ? ?? 取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,

?

?

8分

∵ n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量

?? ?

π 7 1 π 2 A 21 ? cos A 2 A7 π 由 m (4, ? 1), n (cos 2A ? ??? A ?B π , ? A? ? 又因为 m A0 ? ?n ,? m 4cos ?n ? ? C ? ,cos 所以 ,故 2b A -?2cos ? c,cos 取得最大值时 4? A ?)2 cos? A(2 ? , △ cos 3ABC ?2 A 解得 为等边三角形 ? 1) cos ? ?2 A cos ? 2 A ? 2 cos A ? 3 2 3 3 22 3 2 2 2

? ? ?? ? ?? ? ∴ cos ? ? ??
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | 1? 3 ?

1

?

3??

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?

2

10 分

?4



0?? ? 3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值

7 , 7
14 分

当? ?

1 3 时, cos ? 有最大值 . ∴ 2

? 7 1? cos ? ? ? , ? 7 2? ?

考点:1.直线与平面垂直的判定;2.用空间向量求平面间的夹角;3.二面角的平面 角 及求法. 20. (Ⅰ)

(Ⅱ) 【解析】 本试题主要是考查了解三角形和三角恒等变换的运用, 以及余弦定理和正弦定理的 灵活运用。 (1)结合题目中的向量关系式,得到关于角 A 的三角方程,那么解得 A 的值。 (2)利用余弦定理和均值不等式可知数量积为最大值时,该三角形为等边三角形。 解: (Ⅰ)

………………………………6 分

△ABC中,a ? b ? c ? 2bc cos A, 且a ? 3, (Ⅱ) 在
2 2 2

? ( 3) 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ?

1 ? b2 ? c 2 ? bc. ………………………………8 分 2

? b2 ? c2 ? 2bc,?3 ? 2bc ? bc,

即bc ? 3,当且仅当b ? c ? 3时, b ? c取得最大值 ……………………………10 分
A? π π ,? B ? C ? , 故b ? c取得最大值时, △ABC为等边三角形 ………12 分 3 3
2 2

21. (Ⅰ)x +y =4(Ⅱ)[﹣2,0) 【解析】 试题分析: (1) 圆的半径为圆心到切线的距离 r= =2, 圆 O 的方程为 x +y =4 (Ⅱ)
2 2

P(x,y)由|PA|?|PB|=|PO| 代入点得坐标化简得 x =y +2,点 P 在圆内可得 x +y <4,故 有 0≤y < 1,
2

2

2

2

2

2

=(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4=2(y ﹣1)∈[﹣2,0) =2,故圆 O 的方程为 x +y =4.
2 2

2

2

2

试题解析: (1)半径 r=

. .4 分

(2)圆 O 与 x 轴相交于 A(﹣2,0) 、B(2,0)两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB| 成等比数列, 2 ∴|PA|?|PB|=|PO| ,设点 P(x,y) , .6 分 则有 ?
2 2

=x +y ,即

2

2

=x +y ,

2

2

两边平方,化简可得 x =y +2. 2 2 2 由点 P 在圆内可得 x +y <4,故有 0≤y <1. ∵ 即
2 2

. .10 分
2

=(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4=2(y ﹣1)∈[﹣2,0) . 的取值范围是[﹣2,0) . . .12 分

考点:1.圆的方程;2.直线和圆相切的位置关系;3.向量的坐标运算;4.点的轨迹方程


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