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福建省福州文博中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题(无答案)


福州文博中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1. 已知集合 M ? ?? 1,0, ,N ? x x ? ab,a,b ? A且a ? b , 则集合 M 与集合 N 的关系是 ( 1? A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= ?

?

?

) .

2.已知向量 OA 和向量 OC 对应的复数分别为 3 ? 4i 和 2 ? i ,则向量 AC 对应的复数为 A. 5 ? 3i 3. m ? “ B. 1 ? 5i C. ?1 ? 5i D. ?5 ? 3i ).

??? ?

????

????

? ? 1 ”是“向量 a ? (m ? 2,3m)与向量 ? (m ? 2, m ? 2) 互相垂直”的( b 2
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.把函数 y ? sin( x ? 2 A. y ? sin 2 x

?
6

) 的图像向左平移

B. y ? cos 2 x

? 个单位后所得函数解析式为( ) 6 ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? ? cos 2 x 2 3


5.现从 4 名男生与 3 名女生中选出 2 人担任班委,则至少有 1 名女生当选的概率是( A.

2 7

B.

3 7
).

C.

4 7

D.

5 7

6.函数 y ? x ln x 在 (0,5) 上是(

1 1 e e 1 1 C.单调减函数;D.在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,5) 上单调递增. e e
A.单调增函数 B.在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,5) 上单调递减 7.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有 一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相 距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援, 则 cos θ 等于 A. 21 7 B. ( 21 14 ) 3 21 C. 14 D. 21 28

8. 在各项均为正数的等比数列 {bn } 中,若 b7 ? b8 ? 3,则 log3 b1 ? log3 b2 ? ?? log3 b14 ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 )

9.设函数 f ( x) ? x ? [ x], 其中 [x ] 表示不超过 x 的最大整数;则下列结论错误的是(

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A. f (x ) 的值域为 [0,1) ;

B. f (x ) 是奇函数; C. f (x ) 是周期函数; D. f (x ) 在 [0,1) 是增函数; )

10.若把函数 y ? ln x 的图像绕原点 O 逆时针旋转一个角 ? 后与 y 轴相切,则 tan ? ? ( A.

1 e

B. e

C. ? e

D. ?

1 e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。
?2e x ?1 , x<2, ? 11.设 f ( x) ? ? = 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ?1),x ? 2. ?
12.函数 y ? e x ? e 的图像与两坐标轴围成的封闭区域面积为 13.数列 {an } 的通项公式 a n ?

1 n ? n ?1

,其前 n 项和 S n ? 9 时,则 n 等于_________

14.已知 a ? b , a ? 2, b ? 3, 且 3a ? 2b 与 ?a ? b 垂直,则实数 ? 的值为 15.若函数 y ? a sin 2 x ? cos 2 x 的图像关于 x ?

?

? ?

?

?

?

?

?

.

?
6

对称,则 a ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 ? ? ? ? 16、 (13 分)设 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cos x, cos x) ,记 f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2) x ?[? , ] 时, 若 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2, 求函数 g ( x) 的最大值并指出此时 x 的

? ?

6 3

取值。

17、 (13 分)设 ?ABC的内角 A.B.C 所对的边分别为 a.b.c ,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (1)求 ?ABC的周长; (2)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4

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18、 (13 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足Sn ? (1) 求 a1 、 a 3 、 a 4 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 求证:

n ? an ? a1 ? (n ? N * ), 且 a2 =2. 2

1 1 1 ? ??? ? 1 . S2 S3 Sn

19. (13 分)中央电视台《福州月 ? 中华情》大型中秋晚会今年在我市海峡会展中心举行,之前甲、 乙两人参加大会青年志愿者的选拔.已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其 中的 8 题。规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才能入选. (1)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率.

20. (14 分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,
1 根据规划, 本年度投入 800 万元, 以后每年投入将比上年减少 .本年度旅游业收入估计为 400 万元, 5

由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 S n 万元,旅游业总收入为 Tn 万元.写出 S n , Tn 的表
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1 4

达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

21. (14 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ; (1)若 f ( x ) ? 0 在其定义域上恒成立,求 a 的取值所构成的集合; (2)在函数 f ( x ) 的图像任意给定相异两点 A( x1, f ( x1 )) 、 B( x2 , f ( x2 )) ,其中 x1 ? x2 ,是否总存 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使得 f ' ( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?请说明理由! x1 ? x2

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