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高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修22_图文


第二章 §2.1

合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

学习目标
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.

2.了解合情推理在数学发现中的作用.

内容索引

问题导学 题型探究

达标检测

问题导学

知识点一

归纳推理

思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电. (2)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体. 以上属于什么推理? 答案 属于归纳推理.

梳理 (1)定义:由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出该类事物 一般结论 的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出_________ 的推理,称为归纳推理(简称归纳). (2)特征:由 部分 到 整体 ,由 个别 到 一般 的推理.

知识点二

类比推理

思考

科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:

(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星;(2)有大气层,在一年中也有

季节更替;(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,
等等 .由此,科学家猜想:火星上也可能有生命存在 . 他们使用了什么样

的推理?
答案 类比推理.

梳理 (1)定义:由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知 特征,推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征:由 特殊 到 特殊 的推理.

知识点三

合情推理

思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系?
答案 区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;而类比推理是由个别到

个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假.

梳理

(1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察 、

分析 、 比较 、 联想 ,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出 猜想 的推理,我 们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理就是合乎情理的推理.

(2)推理的过程
从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想

[思考辨析 判断正误]

1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( × )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( √ )

3.在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为
合适.( × )

题型探究

类型一 命题角度1 数、式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式: 1+1=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, …

归纳推理

n×1×3×…×(2n-1) ( n + 1)( n + 2) … ( n + n ) = 2 照此规律,第n个等式可为__________________________________________.

解析

答案

x (2)已知f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N*), 1-x x x n-1 * 1 - 2 x 1-4x ,猜想fn(x)(n∈N )的表达式为__________. 则f3(x)的表达式为________

解析

答案

引申探究 在本例(2)中,若把 “fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为 “fn(x)=f(fn-1(x))”,其 他条件不变,试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式.

解答

反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律; ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征; ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理:在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的 通项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和; ②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解; ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.

跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,满足Sn=6-2an+1(n∈N*). (1)求a2,a3,a4的值; 解 因为a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*),

3 所以 S1=6-2a2=a1=3,解得 a2=2,
3 3 又 S2=6-2a3=a1+a2=3+2,解得 a3=4,

3 3 3 又 S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+2+4,解得 a4=8.
解答

(2)猜想an的表达式.
解 3 由(1)知 a1=3=20,

3 3 3 3 3 3 3 a2=2=21,a3=4=22,a4=8=23,…,猜想 an= n-1(n∈N*). 2

解答

命题角度2 图形中的归纳推理 例2 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案, 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是

A.26



B.31

C.32

D.36

解析

答案

反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略

跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A.6n-2 C.6n+2 √ B.8n-2 D.8n+2

解析

答案

类型二
命题角度 1 例 3 数列中的类比推理

类比推理

设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12

成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, T8 T12 T16 T4 ,____ T8 , 成等比数列. ____ T
12

解析

答案

反思与感悟

已知等差数列与等比数列有类似的性质,在类比过程中也

有一些规律,如下表所示的部分结论(其中d,q分别是公差和公比):
等差数列 定义 通项 公式 an-an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d 等比数列 an÷an-1=q(n≥2) an=a1qn-1

性质 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则am· an=ap· aq

跟踪训练 3

a1+a2+…+an 若数列{an}(n∈N )是等差数列,则有数列 bn= n
*

(n∈N*)也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列{cn}是等比数列,且

c1c2c3…cn n∈N*)也是等比数列. cn>0,则有数列 dn=____________(

n

解析

a1+a2+…+an * 数列{an}(n∈N )是等差数列,则有数列 bn= ( n ∈ N ) n
*

也是等差数列.
类比猜想: 若数列{cn}是各项均为正数的等比数列, 则当 dn= c1c2c3…cn时, 数列{dn}也是等比数列.
解析 答案
n

命题角度2 几何中的类比推理 例4 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长 度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想.

解答

反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤

(2)中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数,空

间与平面,圆与球等等,比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相
关类比点如下 平面图形 点 直线 边长 面积 空间图形 直线 平面 面积 体积

三角形
线线角

四面体
面面角

跟踪训练4

在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,

cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想并证明.

解答

达标检测

底×高 1.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 S= 2 ,可 推知扇形面积公式 S 扇等于

r2 A. 2
解析 lr =2.

l2 B. 2



lr C. 2

D.不可类比


扇形的弧类比三角形的底边,扇形的半径类比三角形的高,则 S

1

2

3

4

5

解析

答案

2.如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36 颗珠子的颜色为



A.白色 C.白色可能性大

B.黑色 D.黑色可能性大

解析 由题图知,三白二黑周而复始相继排列,根据36÷5=7余1,
可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同,即白色.
1 2 3 4 5

解析

答案

3.观察下列各式: a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+ b10等于 A.28 C.123 √ 解析 B.76 D.199 利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4,a4+b4=4

+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29, a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规 律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
1 2 3 4 5

解析

答案

4. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间上,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们

1∶8 的体积比为______.
解析 设两个正四面体的体积分别为V1,V2,
1 1 则 V1∶V2=3S1h1∶3S2h2=S1h1∶S2h2=1∶8.

1

2

3

4

5

解析

答案

40 5.按照图1、图2、图3的规律,第10个图中圆点的个数为____.

解析 图1中的点数为4=1×4, 图2中的点数为8=2×4, 图3中的点数为12=3×4,…, 所以图10中的点数为10×4=40.
1 2 3 4 5

解析

答案

规律与方法
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论 前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推 理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为
从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想


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