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高中数学第三章函数的应用章末分层突破课件新人教A必修1_图文

巩 固 层 知 识 整 合

第三章 函数的应用

拓 展 层 链 接 高 考

章末分层突破

提 升 层 能 力 强 化

章 末 综 合 测 评

[自我校对] ①方程 f(x)=0 的实数 x ②f(a)· f(b)<0 ③x 轴 ④有零点 ⑤二分法 ⑥方程 f(x)=0 的根 ⑦函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 ⑧越来越慢 ⑨越来越快,爆炸式增长

函数的零点与方程的根

1.方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零 点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这 个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶 性等. 2.确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法:(1)利用零点的存在性定 理,(2)数形结合转化为函数图象的交点问题.

函数
? 1? ? A.?0,3? ? ? ? ?1 ? ? C.?2,1? ? ? ?

?1? ?x f(x)=? ?3? - ? ?

x的零点所在区间为(
?1 1? ? , B.? ?3 2? ? ?

)

D.(1,2)

【精彩点拨】 利用零点判定定理分别判断端点值的符号关系.

【规范解答】 3 ?1? ? f? ?3?= ? ? 1 - 3

?1? ? ∵f? ?2?= ? ?

3 2 - <0, 3 2

1 >0, 3

?1? ?1? ?? ? ∴f? ?3?f?2?<0. ? ?? ? ?1 1? ? , 所以,函数的零点所在的区间为? ?3 2?,故选 ? ?

B.

【答案】 B

[再练一题] 1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=ex+x-3,则 f(x)的 零点个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

【解析】 ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,所以 0 是函数 f(x) 的一个零点,当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3,分别画出函数 y =ex,和 y=-x+3 的图象,如图所示,有一个交点,所以函数 f(x)有一个零点, 又根据对称性知,当 x<0 时,函数 f(x)也有一个零点.综上所述,f(x)的零点个数 为 3 个,故选 C.

【答案】 C

函数模型的建立与应用
建立函数模型的关键是根据条件找到关于变量的等式,建模的重点和难点是 把实际问题抽象为数学问题的过程,仔细分析语言描述,要求什么,它等于什么, 如何去表达,怎样求解,从中抽象出函数关系式,常见的函数模型如下表所示:

(1)一次函数模型 (2)二次函数模型 常用 函数 模型 (3)指数函数模型 (4)对数函数模型 (5)幂函数模型 (6)分段函数

y=kx+b y=ax2+bx+c y=abx+c y=mlogax+n y=axn+b
? ?ax+b?x<m?, y=? ? ?cx+d?x≥m?

某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系是:
? ?t+20,0<t≤24,t∈N, P=? ? ?-t+100,25≤t≤30,t∈N,

该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函

数关系是 Q=-t+40(0<t≤30,t∈N),求这种商品日销售金额的最大值,并指出 日销售金额最大的一天是 30 天中的哪一天?

【精彩点拨】 设日销售金额为 y 元,根据 y=PQ 写出函数 y 的解析式,再 分类讨论:当 0<t≤24,t∈N+时,和当 25≤t≤30,t∈N+时,分别求出各段上函 数的最大值,最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可.

【规范解答】 设日销售额为 y 元, 则
? ??t+20??-t+40?,0<t≤24, y=PQ=? ? ??-t+100??-t+40?,25≤t≤30,

2 ? ?-?t-10? +900,0<t≤24, =? 2 ? ? t - 70 ? -900,25≤t≤30. ?

(1)若 0<t≤24,则当 t=10 时,ymax=900, (2)若 25≤t≤30,则当 t=25 时,ymax=1 125, 因为 1 125>900,所以当 t=25 时,ymax=1 125. 答:第 25 天日销售金额最大,最大为 1125 元.

[再练一题] 2.我国加入 WTO 时,根据达成的协议,某产品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x)= 其中 t 为关税的税率, 且
? 1? ? t∈?0,2? x ?, ? ?

为市场价

1 格,b,k 为正常数,当 t= 时的市场供应量曲线如图 31 所示. 8

图 31

(1)根据图象求 b,k 的值; (2)记市场需求量为 Q,它近似满足 Q(x)= ,当 P=Q 时的市场价格称为

市场平衡价格,为使市场平衡价格不低于 9 元,求税率的最小值.

【解】 (1)由图象知 k? ?? ? ? 2 1 - ? 5 - b ? =0, ? ? ?? 8? 即?? ? ??1-k ??7-b?2=1, 8? ?? ? ?
? ?b=5, 解得? ? ?k=6.

(2)当 P=Q 时,
2



22-x 1 17 1 即(1-6t)(x-5) =11- x,2(1-6t)= . 2= 2- 2 ?x-5? ?x-5? x-5
? 1? 1 ? 令 m= ,∵x≥9,∴m∈?0,4? . ? x-5 ? ?

而 2(1-6t)=17m

2

? 1? 1 ? ?2 -m=17?m-34? - . 68 ? ?

1 13 当 m= 时,2(1-6t)取最大值,为 , 4 16 19 19 故 t≥ ,即税率的最小值为 . 192 192

一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题实际上就是对应函数零点所在区间的问题.解决 此类问题一般要利用数形结合的思想,从以下几个方面去考虑使结论成立的所有 条件:判别式、根与系数的关系、对称轴、开口方向、区间端点的函数值等.

若关于 x 的方程 x2+mx+m-1=0 有一个正根和一个负根, 且负根的绝 对值较大,求实数 m 的取值范围.

【精彩点拨】

此方程是一元二次方程,它有两个不等实根相当于二次函数

f(x)=x2+mx+m-1 有两个零点,所以应借助二次函数的有关理论及图象求解.

【规范解答】 令 f(x)=x2+mx+m-1, m 其图象的对称轴为直线 x=- . 2 因为方程 x2+mx+m-1=0 有一个正根和一个负根, 所以函数 f(x)有两个零点 x1,x2. 由题意不妨设 x1>0,x2<0, 则|x2|>|x1|, 画出函数 f(x)的大致图象如图所示,

则满足题设的等价条件为: ? ? ?f?0?<0, ?m-1<0, ? m 即? 解得 0<m<1. ? - <0, ?m>0, ? 2 ? 即所求 m 的取值范围为(0,1).

[再练一题] 3.已知函数 f(x)=x2+(2a-1)x+6+a2 有两个不等零点 m,n,且 m>2,n>2, 求实数 a 的取值范围.

【解】 由题意得 f(x)与 x 轴有两个交点,且都在 2 的右边,如图所示. ? ?Δ>0, ? 2a-1 23 故?- >2,解得a<- . 2 4 ? ? ?f?2?>0, 所以 a
? 23? ? 的取值范围为?-∞,- 4 ? ?. ? ?

转化与化归思想
转化与化归思想就是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的或易解的问题, 转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数、对数型函数的零点问题转化 为熟悉的二次函数等函数的零点问题,从而达到化难为易的目的.

若函数 f(x)=4x-2x+1-b(b∈R). (1)若函数 f(x)有零点,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 f(x)有零点,试讨论零点的个数,并求出函数的零点.

【精彩点拨】

本题考查函数零点的求解方法以及零点的性质,求解的关键

是将函数的零点转化为方程 f(x)=0 的根.

【规范解答】 (1)令 f(x)=0,得 b=4x-2x+1. ∵4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1. ∴当函数 f(x)存在零点时,b≥-1. (2)①由(1)知当 b=-1 时,2x=1,此时方程 f(x)=0 的根为 x=0, 因此函数 f(x)的零点为 0; ②当 b>-1 时,∵(2x-1)2=1+b. ∴2x-1=± 1+b.∴2x=1± 1+b. ∵2x>0,1+ 1+b>0.∴2x=1+ 1+b的解为 x=log2(1+ 1+b). 令 1- 1+b>0,得 1+b<1,故-1<b<0.

∴当-1<b<0 时,2x=1- 1+b的解为 x=log2(1- 1+b). 综合①②知, 当-1<b<0 时, 函数 f(x)的零点有两个, 分别为 x=log2(1- 1+b) 或 x=log2(1+ 1+b); 当 b≥0 时, 函数 f(x)的零点只有一个, 为 x=log2(1+ 1+b); 当 b=-1 时,函数 f(x)的零点只有一个,为 x=0.

[再练一题] 4.已知函数 f(x)=|lg A.x1x2<0 C.x1x2>1
?1? ?x x|-? ?2? 有两个零点 x1,x2,则有( ? ?

)

B.x1x2=1 D.0<x1x2<1

【解析】 f(x)=|lg

?1? ?x x|-? ?2? 有两个零点 x1,x2,即 ? ?

y=|lg x|与 y=2-x 有两个交

点,由题意 x>0,分别画 y=2-x 和 y=|lg x|的图象,发现在(0,1)和(1,+∞)上有 两个交点,不妨设 x1 在(0,1)内,x2 在(1,+∞)内, 那么在(0,1)上有 2-x1=-lg x1,即-2-x1=lg x1,① 在(1,+∞)上有 2-x2=lg x2,② ①②相加有 2-x2-2-x1=lg x1x2.∵x2>x1, ∴2-x2<2-x1,即 2-x2-2-x1<0,∴lg x1x2<0, ∴0<x1x2<1,故选 D.

【答案】 D

6 1.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( x A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

)

【解析】 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,又 f(1)=6-0=6>0, 6 3 1 f(2)=3-1=2>0, f(4)= -log24= -2=- <0, 由零点存在性定理, 可知函数 f(x) 4 2 2 在区间(2,4)上必存在零点.

【答案】 C

2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x) =f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

【解析】 令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x. 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以当 x<0 时,f(x) =-x2-3x. 所以当 x≥0 时,g(x)=x2-4x+3. 令 g(x)=0,即 x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x=3. 当 x<0 时,g(x)=-x2-4x+3. 令 g(x)=0,即 x2+4x-3=0,解得 x=-2+ 7>0(舍去)或 x=-2- 7.所以 函数 g(x)有三个零点,故其集合为{-2- 7,1,3}.

【答案】 D

3.已知函数

? ?2-|x|,x≤2, f(x)=? 2 ? ??x-2? ,x>2,

函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-

g(x)的零点个数为( A.2 C.4

) B.3 D.5

【解析】 当 x>2 时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2; 当 0≤x≤2 时,g(x)=3-x,f(x)=2-x; 当 x<0 时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x. 由于函数 y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程 f(x)-g(x)=0 的根的个数.

5+ 5 5- 5 x>2 时, 方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x -5x+5=0, 其根为 x= 或 x= 2 2
2

(舍去); 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x=3-x,无解; -1- 5 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x +x-1=0,其根为 x= 或x 2
2

-1+ 5 = (舍去). 2 所以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2.

【答案】 A

4.已知函数

? ?|x|,x≤m, f(x)=? 2 ? ?x -2mx+4m,x>m,

其中 m>0.若存在实数 b,使得关于

x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________.

【解析】 作出 f(x)的图象如图所示.当 x>m 时,x2-2mx+4m=(x-m)2+ 4m-m2,∴要使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 4m-m2<m,即 m2-3m>0.又 m>0,解得 m>3.

【答案】 (3,+∞)

5.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有 一个交点,则 a 的值为________.

【解析】 函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示,因为直线 y=2a 与函数 y=|x 1 -a|-1 的图象只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=- . 2

1 【答案】 - 2


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