当前位置:首页 >> 数学 >>

2018版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)学案新人教A版必修5

2.1 数列的概念与简单表示法(一) [学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式, 并会用通项公式写出数列的 任意一项.3.对于比较简单的数列,会根据其前 n 项写出它的通项公式. 知识点一 数列的概念 1.数列与数列的项 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一 项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项),排在第二 位的数称为这个数列的第 2 项,……,排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. 2.数列的表示方式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 3.数列中的项的性质: (1)确定性;(2)可重复性;(3)有序性. 思考 1 数列的项和它的项数是否相同? 答案 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是 一个函数值, 也就是相当于 f(n), 而项数是指这个数在数列中的位置序号, 它是自变量的值, 相当于 f(n)中的 n. 思考 2 数列 1,2,3,4,5,数列 5,3,2,4,1 与{1,2,3,4,5}有什么区别? 答案 数列 1,2,3,4,5 和数列 5,3,2,4,1 为两个不同的数列,因为二者的元素顺序 不同,而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集 合中的元素具有无序性. 知识点二 数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: ①有穷数列——项数有限的数列. ②无穷数列——项数无限的数列. (2)根据数列的每一项随序号变化的情况分类: ①递增数列——从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列——从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列; ③常数列——各项相等的数列; ④摆动数列——从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. (3)根据其他原则,还可将数列分为有(无)数列、周期数列等. 思考 判断正误 (1)数列 1,2,3,4,…,2n 是无穷数列( ) 1 (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( 答案 (1)× (2)× 解析 (1)中的数列是有穷数列,共有 2n 个数. ) (2)中“由自然数构成的数列”是否递增,取决于这些自然数排列的顺序,未必全是递增的, 如 2,1,3,4,5……并不是递增数列. 知识点三 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个 数列的通项公式. 思考 1 数列的通项公式有什么作用? 答案 (1)可以求得这个数列的任一项,即可以根据通项公式写出数列; (2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列, 还可以知道这个数列是递增(减)数列、 摆动 数列,还是常数列; (3)可以判断一个数是不是数列中的项. 思考 2 数列{an}的通项公式 an=-58+16n-n ,则( A.{an}是递增数列 B.{an}是递减数列 C.{an}先增后减,有最大值 D.{an}先减后增,有最小值 答案 C 解析 易于看出 an 是关于 n 的二次函数,对称轴为 n=8,故{an}先增后减,有最大值. 2 ) 题型一 数列的概念与分类 例 1 (1)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,… 2 3 4 B.sin π 2π 3π ,sin ,sin ,… 7 7 7 ) 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,… 2 4 8 D.1, 2, 3,…, 21 ? ?(3-a)x-3,x≤7, * (2)设函数 f(x)=? x-6 数列{an}满足 an=f(n),n∈N ,且数列{an}是递增 ?a ,x>7, ? 数列,则实数 a 的取值范围是( ) 2 9 9 A.( ,3) B.[ ,3) C.(1,3) D.(2,3) 4 4 答案 (1)C (2)D 解析 (1)中,A 是递减数列,B 是摆动数列,D 是有穷数列,故选 C. (2)中,结合函数的单调性,要证{an}递增,则应有 3-a>0, ? ? ?a>1, ? ?a7=(3-a)×7-3<a8=a8-6, 解得 2<a<3,选 D. 反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列: 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列, 只需观察 数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列. (2)数列的单调性:若满足 an<an+1,则是递增数列;若满足 an>an+1,则是递减数列;若满足 an=an+1,则是常数列;若 an 与 an+1 的大小不确定时,则是摆动数列. 跟踪训练 1 已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012; 1 2 n-1 (2)0, , ,…, ,…; 2 3 n 1 1 1 (3)1, , ,…, n-1,…; 2 4 2 2 3 (-1) ·n (4)1,- , ,…, ,…; 3 5 2n-1 (5)1,0,-1,…,sin (6)3,3,3,3,3,3. 其中有穷数列是________, 无穷数列是________, 递增数列是________, 递减数列是________, 常数列是______,摆动数列是________.(将正确答案的序号填在横线上) 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (4)(5) 题型二 观察法写数列的一个通项公式 例 2 根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式. 2 4 6 8 (1) , , , ,…; 3 15 35 63 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,…; 2 2 2 (3)-1,2,-3,4,…; (4)2,22,222,2 222,…. (1)(2) (3) (6) n-1 nπ 2 ,…; 3 解 (1)分子均为偶数,分母分别为 1×3,3×5,5×7,7×9,…是两个相邻奇数的乘积. 故