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2014年中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题及其解答


文 武 光 华
2014 年 CGMO 试题及其解答
解答人:文武光华数学工作室 田开斌
一、如图,⊙O 、⊙O 交于 A、B 两点,延长O A交⊙O 于 C,延长O A交⊙O 于 D, 过 B 作 BE∥O A交⊙O 于另一点 E,若 DE∥O A,求证:DC⊥CO 。
C D A E O1 O2 B

证明:如图,连结 AB、O O ,则 AB⊥O O 。因为∠O DA = ∠O AD = ∠O AC = ∠O CA,故C、D、O 、O 四点共圆。又因为 BE∥O A,DE∥O A,所以∠O DA = ∠O AD = ∠BED = ∠BAO ,所以O D∥AB,所以O D⊥O O ,所以 DC⊥CO 。
C D A E O1 O2 B

二、设x 、x 、 … 、x ∈ R,且[x ]、[x ]、 … 、[x ]是1、2、 … 、n的一个排列,其 中n ≥ 2是给定整数,求∑ [x ? x ]的最大值与最小值。 解答:因为 ∑ [x ? x ] ≤ ∑ (x ? x ) = x ? x <n + 1 ? 1 = n 且∑ [x ? x ]为整数,所以∑ [x ? x ] ≤ n ? 1。当x = i(i = 1、2、 … 、n)时, 即有∑ [x ? x ] = n ? 1。 另一方面,因为 ∑ [x ? x ] > ∑ (x ? x ? 1) = (x ? x ) ? (n ? 1)>1 ? (n + 1) ? (n ? 1) = 1 ? 2n 且∑ [x ? x ]为整数,所以∑ [x ? x ] ≥ 2 ? 2n。当x = n + 1 ? i + (i = 1、2、 … 、n)时,即有∑ [x ? x ] = 2 ? 2n。 综上所述,∑ [x ? x ]的最大值为n ? 1,最小值为2 ? 2n。 三、在n名学生中,每名学生恰好认识d名男生和d名女生(认识是相互的)。求所有 可能的正整数对 n,d 。 解答:设有p名男生,q名女生,用平面上P个点A 、A 、 … 、A 表示p名男生,用q个 点B 、B 、 … 、B 表示q名女生。若一个男生和一个女生认识,则在相应两点之间连一条 红线;若两个男生认识,则在相应两点之间连一条黄线;若两个女生认识,则在相应两点 之间连一条蓝线。这样便得到一个三染色图G。

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文 武 光 华
根据条件,从每个点A (i = 1、2、 … 、p)引出d条红线,故图G中有pd条红边;又根 据条件从每个点B (i = 1、2、 … 、q)引出d条红线,故图G中有qd条红边。所以pd = qd , 即得p = q,从而n = 2p。 又根据条件,从点A (i = 1、2、 … 、p)中每点引出d条黄线,且每条黄线被统计了 两次,故图G中恰有 条黄边。而图G中最多只可能有 于是知 = p ∈ N , = 下面我们证明,当 ∈ N ,
( )

条黄边,所以d ≤ p ? 1。

∈ N ,n = 2p ≥ 2d + 2。 ∈ N ,n ≥ 2d + 2时,都存在满足条件的图G。

设 = p,则d ≤ p ? 1。事实上,当且仅当i<j,且i ? j ∈ 1,2, … ,d(mod m)时,将 A B 连红线,将A A 连黄线,将B B 连蓝线,这样得到的三染色图G即满足条件。 四、对整数m ≥ 4,定义T 为满足下列条件的数列a 、a 、 … 、a 的个数: (1)对每个i = 1、2、 … 、m,a ∈ 1,2,3,4 ; (2)a = a = 1,a ≠ 1。 (3)对每个i = 3、4、 … 、m,a ≠ a ,a ≠ a 。 求证:存在各项均为正数的等比数列{g },使得对任意整数n ≥ 4,都有g ? 2 g <T <g + 2 g 。 证明:易知T = T = 6。对于n ≥ 6,考虑所有满足下面条件的数列a 、a 、 … 、a 的个数: (1)对每个i = 1、2、 … 、n ? 1,a ∈ 1,2,3,4 (2)a = 1,a ≠ 1。 (3)对每个i = 3、4、 … 、n ? 1,a ≠ a ,a ≠ a 。 一方面,顺次构造a 、a 、 … 、a ,其中a 有3种选择,a 、a 、 … 、a 各有两种 选择,故这样的数列有3 · 2 个。 另一方面,这样的数列分为三类:第一类是满足a = 1的数列;第二类是满足 a = 1的数列;第三类是满足a ≠ 1,a ≠ 1的数列。第一类数列中的子数列 a 、a 、 … 、a 共有T 个,再加上一项与a 、a 都不同的项a ,故这一类数列 共有2T 个;第二类数列a 、a 、 … 、a 共有T 个;第三类数列a 、a 、 … 、a 可 以在后面添加一项a = 1,从而与T 个满足题设条件的数列a 、a 、 … 、a 构成一一对应, 故此类数列共有T 个。于是知: T +T + 2T =3·2 令U = T ? 3 · 2 ,则有 U +U + 2U =0 注意到U = 0,U = 0,根据特征方程法知U = 是知: T =3·2 又因为 |T ? 3 · 2 ≤ =
√ √ √ √ √ √ √ √

?



。于

+

?
√ √

| = |U | = + + √2 <2√3 · 2



?



√2 ·2

=2

于是取g = 3 · 2

,即满足条件。

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文 武 光 华
五、 设正整数a不是完全平方数,r是关于x的方程x ? 2ax + 1 = 0 的一个实根,求证: r + √a是无理数。 证明:若r + √a为有理数,设r + √a = k,则r = k ? √a,代入原方程知: k ? √a ? 2a k ? √a + 1 = 0 ? (k + ak + 1) ? (3k ? a)√a = 0 于是知 k + ak + 1 = 0。从而有a = 3k ,进而知k + 3k + 1 = 0,即4k = ?1。这与k 3k ? a = 0 为有理数矛盾。 综上所述,r + √a是无理数。 六、如图,在锐角△ABC 中,AB>AC,D、E 分别为 AB、AC 中点,△ADE 的外接圆与 △BCE 的外接圆交于点 P,△ADE 的外接圆与△BCD 的外接圆交于点 Q,求证:AP = AQ。
A

P D Q

E

B

C

证明:如图,设△ADE 外接圆为⊙L,△BCD 外接圆为⊙M,△BCE 外接圆为⊙N,考虑 ⊙L、⊙M、⊙N 两两之间的根轴,根据蒙日定理知 PE、DQ、BC 交于一点,设为 K。作△ABC 的外接圆⊙O,因为 DE 平行 BC,故⊙L、⊙O 的根轴为两圆在点 A 处的公切线。考虑⊙L、 ⊙M、⊙O 两两之间的根轴,根据蒙日定理知 KA 为⊙L、⊙O 在点 A 处的公切线。 因为KC · KB = KA ,所以△KAB∽△KCA。又注意到 D、E 分别为 AB、AC 中点,故△ KAD∽△KCE。于是知∠ADQ = ∠CEK = ∠AEP,所以AP = AQ,命题得证。
A L P D O N B M Q E

C

K

七、对有限非空实数集X,记X的元素个数为|X|,f(X) = | | (∑



a)。集合对 A,B 满

足A?B = 1,2, … ,100 ,A?B = Φ,且1 ≤ |X| ≤ 98。任取p ∈ B,令A = A?{p}, B = x|x ∈ B,x ≠ p 。 对所有满足上述条件的 A,B 与p ∈ B,求 f A ? f(A) · f B ? f(B) 的最大值。

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解答:设A = a ,a , … ,a ,B = p,b ,b , … ,b ,则m + n = 99, 1 ≤ m ≤ 98,且 a ,a , … ,a ? p,b ,b , … ,b = 1,2, … ,100 。此时 f A = =
( ( (

? f(A) · f B
? ? ) ?

? f(B)
? ? ? ( ) ? ( ) ) ) ( )

?
)

?

? ( )

·
)

(

= p? f A = =
(

·

(

?p ·(

)

(1)

另一方面,有 ? f(A) · f B
? ) ( ( ( ?

? f(B)
? ) ) ? ? ( ? ) ) )

?
? )

?

? ( )

·
(

(

= p? 又因为 4 p? ≤ = = = =
( (

·
(

?p ·

(

)

(2)

? ( ? ( ) (∑ (∑ ( ) (∑ ( · ( ) ) ? )

)

·
) ( ∑

? ( ) ? ( ? ) ) (

)

?p
)

p?

+

?p

? ?

∑ · ∑ ·

) ) (∑ ) ) · ( ∑ )

≤ max = 50 所以 p? p? f A = p? ≤( f A = p? ≤
( (



?

)

·
)

( ( (

? ) ?

)

? p ≤ 625

(3)

同理可知 · ? p ≤ 625 (4) (m 当1 ≤ m ≤ 97时, + 1)n ≥ 2 × 98 = 196,结合(1)、(3)知 ? f(A) · f B
( ? ) ( ? )

? f(B) ·
( ( ? ) )

?p ·(

)

)

≤ ? f(B)
)

当m = 98时,m · (n + 1) = 196,结合(2)、(4)知 ? f(A) · f B
( ?

·

(

?

)

?p ·

(

)

)

= ? f(A) · f B ? f(B) ≤ ,当A = {1},B = 2,3, … ,100 , 。

于是知 f A

p = 26时,等号即有 f A

? f(A) · f B

? f(B) =

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八、设n是正整数,S是 1,2, … ,n 中所有与n互素的数构成的集合。记S = S? 0, ,S = S? , ,S = S? ,n ,如果S的元素个数是3的倍数,求证:集 合S 、S 、S 的元素个数相等。 证明方法一:用|X|表示有限集合X的元素个数。对每个正整数n,定义A(n)是所有与n 互素的整数构成的集合,并对每个整数k,定义A (n) = A(n)?
( )





对任意整数x, x,n = 1 ? x + n,n = 1 ,这即是说x ∈ A (n) ? x + n ∈ A (n), 从而知|A (n)| = |A (n)|。 如果正整数n满足题设条件,即|A (n)| = |A (n)| = |A (n)|,这等价于对所有的整数k, |A (n)|都相等,我们把满足这一性质的正整数n称为“平衡的”。 首先我们证明一个引理:如果n是“平衡的”,则对任意素数p,pn也是“平衡的”。 引理的证明:由定义可知,对所有的整数k,|A (n)|都相等,令其为m。我们分两种情 形讨论。 情形一:如果p|n,则 x,pn = 1 ? x,n = 1,即A(pn) = A(n)。此时 A (pn) = A(pn)? 0, A (pn) = A(pn)? , = A(n)? 0, = A(n)? , = A (n)?A (n)? … ?A (n) =A (n)?A (n)? … ?A (n)

(n)?A (n)? … ?A (n) A (pn) = A(pn)? ,pn = A(n)? ,pn = A 于是知|A (pn)| = |A (pn)| = |A (pn)|。这即是说pn是“平衡的”。 情形二:如果p ? n,则 x,pn = 1 ? x,n = 1,且 x,p = 1。此时则有 A(pn) = A(n) ? B(n) 这里B(n) = x|p|x,x ∈ A(n) = x|x = py,y ∈ A(n) 。 由情形一的讨论可知,A(n)在区间 0, 集合B(n)中的元素x = py ∈ 0, 、 , 、 ,pn 中各有pm个元素。 对应A(n)中的元素y ∈ 0, ,这样的数有|A (n)| = m个,

于是知B(n)在区间 0, 中有m个元素。同理可知,B(n)在区间 , 、 ,pn 中也 各有m个元素。从而知|A (pn)| = |A (pn)| = |A (pn)| = pm ? m,这即是说pn 是“平衡的”。 综上所述,引理得证。 根据引理易知,对于任意正整数n,若n有一个因子是“平衡的”,则n也是“平衡 的”。 下面回答原题。 设n的标准分解式为n = p ·p · … · p ,则 |S| = φ(n) = p ·p ·…·p · (p ? 1) · (p ? 1) · … · (p ? 1) 因为3||S|,故n是9的倍数,或n含有一个3k + 1型素因子p。容易验证9和3k + 1型素数 p均为“平衡的”,所以n为“平衡的”。命题得证。 证明方法二: 首先我们证明一个引理: 设m的标准分解式为m = p ·p · …· p , m至少含有一个3k + 1型素因子,且3 ? m,则 ? ∑ + ∑


+ ? + (?1) , =
… …



=0

引理的证明:事实上,





≡ 1(mod 3) 。不妨设 ≡ 2(mod 3) ·p · …· p 模3余

p 、p 、 … 、p 中有x个素数模3余1,有y个素数模3余2,p r ∈ 1,2 ,则x ≥ 1,x + y = k。此时 ?∑ =C C · ++ ∑ ? C C ·


… + (?1) + C C ·



+C C ·

+C C ·

+C C ·

+

? + (?1) · C · C ·

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· (C ? C + C ? ? )C ? (C ? C + C ? ? )C = = (C ? C + C ? ? ) ·C ? · (C ? C + C ? ? )C + ? + (?1) · C + ? + (?1) ·C ·

=0 引理得证。 下面回到原题。 设n的标准分解式为n = p ·p · … · p ,则 |S| = φ(n) = p ·p ·…·p · (p ? 1) · (p ? 1) · … · (p ? 1) 因为3||S|,故n是9的倍数,或n含有一个3k + 1型素因子p。 (1)若9|n,设n = 9k。对于任意整数x, x,n = 1 ? x,3k = 1,故x ∈ S ? x + 3k ∈ S ,y ∈ S ? y + 3k ∈ S ,所以|S | = |S | = |S |。 (2)若9 ? n,则n至少含有一个3k + 1型素因子。 对于任意整数x, x,n = 1 ? x,n ? x = 1,且注意到 ? S ,n ? S ,故 x ∈ S ? n ? x ∈ S 。于是知|S | = |S |。下面我们只需证明|S | = 记m = ,则|S | = x|x ∈ N,x ≤ m, x,n = 1 。
| |



记U = 1,2, … ,m ,A = x|x ∈ U,p |x (i = 1、2、 … 、k),则根据逐步淘汰原 理知: |S | = |U| ? ∑ |A | + ∑ < A ?A ? ? + (?1) |A ?A ? … ?A | =m? ∑ = = = (?1) = ? = ? ∑ ? ∑ ?


+ ∑ + ∑ + ∑ ? ∑ ?


< < <

+ ? + (?1) + ? + (?1) + ? + (?1) + ∑


… … …

?

?

+ ?+

? ∑ ? ∑
( )

+ ∑ + ∑ ? ∑

< <

+ ? + (?1) + ? + (?1) + ∑


… … …

?

+ ? + (?1) + ∑


(*)


若3 ? n,根据引理知

? ∑

+ ? + (?1) ·p
… … …

= 0;

若3|n,不妨设p = 3,此时α = 1,且m = ? ∑ = {m} ? ∑ =? ? ∑ + ∑ + ∑
< < < | |

=p

· …· p

,故根据引理知:

+ ? + (?1) + ? + (?1)

+ ∑
( )

+ ? + (?1)

=0 于是根据(*)知|S | = 综上所述,命题得证。

=



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