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6


第六章:期权定价的连续模型
第一节 连续时间股票模型 第二节 离散模型

第三节 连续模型的分析
第四节 Black-Scholes模型 第五节 Black-Scholes公式的推导 第六节 看涨期权与看破跌期权平价 第七节 二叉树模型和连续时间模型 第八节 几何布朗运动股价模型应用的注意事项

1

保罗· 萨缪尔森在1965年首次提出:

dSt ? ? St dt ? ? St dBt
其中:

(5-1)

St

——股票在 ——常量

t 时刻的价格

??
Bt
2015/11/29

——服从布朗运动。
2

1826年英国植物学家布朗(1773-1858)用显微镜 观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种 运动叫做布朗运动。

若 S ?T ? 表示 T 时刻的股价 则根据二叉树模型,在一个给定时间间隔 ?t

S1 ? e S0
S k ?1 ? e S k
2015/11/29 4

??t

??t

于是

Sk ? e

? k ?t

S0

令 T ? k ?t

S ?T ? ? S k ? e S 0
?T
这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段 T ? k ?t 的影响。

2015/11/29

5

上式是下列微分方程的解:

dS ? ?S dt
S (T ) ? e S 0
?T

(5-2)

2015/11/29

6

在式(5-1)中,如果令 ? ? 0 即可得到上述微分方程,这是一个确定性的公式。 然而,股价并不具有公式(5-2)所示的可预测性和确定性。 令随机变量 Z ~ N (0,1) 定义 其中, Z1 ~ N (0,1)

S1 ? e e S 0

??t cZ1

c 为常数
2015/11/29 7

于是,可得股价序列 S2 , S3 ?, Sk 即

S k ? e e S k ?1


??t cZ k

(5-3)

Zi , iid , Zi ~ N (0,1), i ? 1, 2,?, k

2015/11/29

8

于是得:
c

Sk ? e

? k ?t

e

? Zi
i ?1

k

S0

(5-4)

与式(5-2)相比有什么特点? 包含了随机项,因此更接近实际!

2015/11/29

9

该模型有一个优点,包含了随机变量;但存在一 个不足之处,即有两个不确定项。 第一个漂移项来自 e ??t 中的 和货币基金市场中的利率 r 第二个漂移项来自于 e
c

?

,其作用类似于债券

? Zi
i?

k

当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面,即 e ??t

2015/11/29

10

为能对模型进行标准正态变换,并对不确定性进行合并。 对 S1 进行重新定义:

S1 ? e e

??t cZ1 ?c 2 / 2

S0

为什么?

2015/11/29

11

随机变量Z 的一个重要等式
cZ ? E ?e ? ??e c2 2

(5-5)

于是

2 E? exp( cZ ? c / 2) ? ? ? ?1

E ? S1 ? ? e ??t S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
2015/11/29 12

进一步

Sk ? e
若令:

? k ?t
k

c

e

?
i ?1

k

Zi ?kc 2 / 2

S0

Wk ? ? Z i
i ?1

则: 因为:

Wk ~ N ? 0, k ?
Z i , iid , 且Z i ~ N ? 0,1? , i ? 1, 2,?, k
13

2015/11/29



Sk ? e
S0

? k ?t cWk ? kc 2 / 2

e

e

S0

(5-6)

式(5-6)的分析:
股票的初始价格; 漂移因子(复利因子); 随机因子;

e ?k ?t
ecWk

e
2015/11/29

? kc 2 / 2

修正因子。
14

特别注意:
模型(5-6)尽管也是一种离散模型, 但比二叉树模型具有更丰富的意义。 因为 S1 ? e ??t ecW1 e? c
2

/2

S0

允许 S1 取任何正值 为什么?
2015/11/29 15

2 时 当 E? ? exp( cW ? c / 2) ? 1 1 ? ?

是否

S1 ?? ? e S0

??t

否!

2015/11/29

16

S0 ? 1, ? ? 0.10, c ? 0.40, ?t ? 1
4.5 4 3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

200

400

600

800

1000

1200

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

式(5-6)中将时间分成小的增量 ?t ,并考虑 k 步 运行的影响,一段固定的时间 T ? k ?t 可以分成许多小时 间段。 事实上,针对同样的时间 T ,可以分成不同的 k 个 区间。 Wk 的方差 k 会增加。 应该注意到:随着 k 的增加, 为了使得 cWk 的总方差独立于 k ,需要对常量 c 随 k 进行 调整。

2015/11/29

19

可以在 c 和 k 之间建立一个关系式,使得 cWk 的方差
等于

? T
2

2 2 2 Var ( cW ) ? c Var ( W ) ? c k ? ? T 即令: k k

于是式(5-6)

ST ? S0e e
其中
2015/11/29

?T ? WT

e

?? 2T / 2

WT ~ N (0, T )
20

对数正态模型(为什么?)

ST ? S0e

? WT ? ? ?? 2 / 2 T

?

?

(5-7)

? :表明长期趋势; ? :表明波动率。
这两个参数如何影响股价?

2015/11/29

21

1.4 1.3

10

8 1.2 1.1 1 0.9 2 0.8 0.7 0 6

4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

20

40

60

80

100

120

140

160

? ? 0, ? ? 0.5
2 1.8 1.6 1.4

? ? 0, ? ? 1
2.4 2.2 2 1.8 1.6

1.2 1 0.8

1.4 1.2 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

20

40

60

80

100

120

140

160

? ? 0.5, ? ? 1

? ? 1, ? ? 1

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

6 5 4 3 2 1 0

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

4

10

3

8

6 2 4 1

2

0

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

方程(5-1)是一个SDE,一般SDE没有简洁的封闭形式的解。 方程(5-1)的解(几何布朗运动)
2 ? St ? S0 exp ?? Bt ? ? ? ? ? / 2 ? t ? ?

(5-8)

式中,Bt ~ N (0, t ) 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型(GBM)。

式(5-8)与具有连续时间变量T的离散模型(5-7)相同。
2015/11/29 24

特别注意:

? St ? ? ? ? ln? ?S ? ? ? ?Bt ? ? ? ? 2 ?t ? ? ? 0?
2

2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?Bt ? ? ? ? ?t ~ N ? ? ? t , ? t ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?? ? 2

目的:对期权进行定价
2015/11/29 25

几何布朗运动参数估计:

波动率? 漂移率?
思路:用样本均值和方差来代替总体的均值和方差

若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ,这段时间由n个
长度相等的子区间 ?t 所构成,如果已知第 i (i ? 0,1,?, n) 个 子区间末的股价 S i,则样本观测值有n+1
2015/11/29 26

第一步 计算时间序列值:

U i ? ln?Si ?1 ? ? ln?Si ?
由于

U i ? ? Bti?1 ? ? Bti ? ? ? ? ? / 2 ? ?t
2
2015/11/29

(5-9)

27

应该注意到:

Bti?1 ? Bti , iid , 且Bti?1 ? Bti ~ N ? 0, ?t ?
E ?U ? ? ? ? ? ? / 2 ? ?t
2

于是,理论上

Var ?U ? ? ? 2 ?t

2015/11/29

28

第二步 样本均值:
1 n U ? ?U i n i ?1

样本方差:

n 1 2 S2 ? ? U ? U ? ? i n ? 1 i ?1

根据式(5-9) U 的观测值的均值为 ? ? ? 2 / 2 ?t
2 方差为 ? ?t 。

?

?

2015/11/29

29

第三步

解方程:

?U ? ?? ? ? 2 / 2??t ? 2 2 S ? ? ?t ?
? U ? S2 / 2 ?? ? ? ?t ? ?? ? S / ?t
30



2015/11/29

一般经验法则是设定度量波动率的时期 等于将应用波动率所对应的时期。

2015/11/29

31

习题: 以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半 小时价,请以天为时间单位计算 ?和? 。
3月20日 5.22 5.18 5.2 5.25 5.24 5.24 5.24 5.24 3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26 3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56 3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68

2015/11/29

32

假设: ? 证券价格遵循几何布朗运动,即μ和σ为常数; ? 允许卖空; ? 没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的; ? 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付; ? 不存在无风险套利机会; ? 证券交易是连续的,价格变动也是连续的; ? 在衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。 ? 欧式期权,股票期权,看涨期权

2015/11/29

33

由Black-Scholes公式,欧式看涨期权的价格

V ? S0 N ?d1 ? ? Xe
式中

? r?

N ?d 2 ?

(5-10)

V
S0
N ( x)

期权价格 股票现价 标准正态分布函数

X 期权的执行价格

?

距离到期的时间

N ? x ? ? P? X ? x ?
2015/11/29 34

2 ? ln ? S0 / X ? ? ? r ? ? / 2 ?? ? d1 ? ?? ? ? ?d 2 ? d1 ? ? ?
?

是否注意到,这一公式中没有出现漂移率:
参数?是投资者在短时间后获得的预期收益率, 依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于?。 参数?是股票价格波动率。
2015/11/29 35

Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与 漂移率无关,被称为风险中性定价方法,无套利是这种定价 的基本假设。
Black-Scholes方程的结果认为,由于在方程中消掉 了漂移项 ,而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期, 也即证券的风险期望收益率。因此,这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关,投资者的风险偏好并 不影响期权价格。

2015/11/29

36

?

从BS微分方程中我们可以发现:衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价(S)、时间(t)、证券价格的 波动率(σ)和无风险利率r,它们全都是客观变量,独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
由此我们可以利用BS公式得到的结论,作出一个可以大大简化 我们的工作的风险中性假设:在对衍生证券定价时,所有投资 者都是风险中性的。

?

2015/11/29

37

?

所谓风险中性,即无论实际风险如何,投资者都只要求无风险 利率回报。 风险中性假设的结果:投资者进入了一个风险中性世界 ? 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率

?

? 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
?

尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程 而作出的人为假定,但BS发现,通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况,也适用于投资者厌恶风险的所 有情况。也就是说,我们在风险中性世界中得到的期权结论, 适合于现实世界。

2015/11/29

38

应该注意的是: 实际期权交易中,很多看涨期权是通过竞价市场而非 理论公式定价。

2015/11/29

39

习题: 若某日某股票的相关数据如下,求V

S 0 ? 80 X ? 100 ? ? 0.8 r ? 0.05 ? ? 0.29
2015/11/29 40

一、修正的模型 主要思路:让模型定价等于市价

资产组合:a股价格为S0的股票+现金b 则投资额为: 经过时间 ? 后,投资的资金将变为:

? 0 ? aS0 ? b

(5-11)
r?

?? ? aS? ? be
2015/11/29

41

用无风险利率r 贴现得

e ?r? ?? ? ae?r? S? ? b
于是

e

? r?

?? ? ae

? r?

S? ? ? 0 ? aS0
(5-12)

e ?r? ?? ? ? 0 ? a?e ?r? S? ? S0 ?

2015/11/29

42

对式(5-12)两边求期望,则如果下列条件成立

E ?e ?r? S? ? S0 ? ? 0


E ?e ?r? ?? ? ? 0 ? ? 0

(5-13)
(5-14)

?0 ? e

? r?

E ??? ?

由此,即使a值变化,上式总是成立。

2015/11/29

43

~ 采用股价模型 S? 代替真正股价 S? ,方差保持不变 ,且满足下式

S0 ? e

? r?

? ? E? S ? ??

于是对于任何用来复制的投资组合,存在下式

? 0 ? e ?r? E ??? ?

? ? 现在的问题是,是否存在这样的 S ?
2015/11/29 44

如果令

~ ?B? ? m? S? ? S0e
? ? S0 ? e E ? S ? ??
? r?

(5-15)

于是

? S0 ? e E S 0 e
2015/11/29

? r?

?

? B? ? m?

?
45



E e

?

? B? ? ( m ? r )?

? ?1

? m ? r ?? 2 / 2
为什么? 因此,修正的股价模型为:

~ ?B? ? ?r ?? 2 / 2 ?? S? ? S0e
2015/11/29

(5-16)

46

修正模型看上去与GBM模型非常接近,但其与股价 模型是完全不同的模型,因为该模型中股价的增长率被

人为设低了。

2015/11/29

47

二、期望值 对欧式看涨期权:

V ?e

? rT

E ?ST ? X ?

?

将式(5-16)代入得

ST ? S0e
2015/11/29

? BT ? r ?? 2 / 2 T

?

?

48

若Z ~ N (0,1) 则用 T Z 代替BT 于是

ST ? S0e
?V ? e
? rT

? T Z ? r ?? 2 / 2 T

?

?

?? ? E ?? S 0 e ??

T Z ? r ?? / 2 T

?

2

? ?X? ? ? ?
?

? ?

2015/11/29

49

根据期望的概念

V?

e

? rT

? ?S ? 2?
? ??

0

exp ? T x ? ?r ? ? / 2?T ? X
2

?

? ?? e
?

x2 ? 2

dx

如何求积分?

2015/11/29

50

三、两个积分

2 ??X ?0 S0 exp ? ? T x ? r ? ? / 2 T ? ? ? ?

求得

? X ? ? ?2 ? ln ? ? ? ? r ? ?T S0 ? ? 2 ? ? x0 ? ? T
51

2015/11/29

?V ?

e

? rT

? S exp ?? T x ? ? r ? ? 2 / 2? T ? ? X ? e 0 ? ? ? ? x0 ? ? ? 2?
?

?

?

x2 ? 2

dx

将上述积分展开成两部分 第二部分
x ? ? ? 1 2 ? Xe ? 2? ?x0 ? ?
2

? dx ? ? X (1 ? N ( x0 )) ? ? XN (? x0 ) ? ? ?

2015/11/29

52

第一部分

? ? ? 2 ? ? ? x2 1 S exp ? ? T x ? ? r ? ? T ? e dx ? x0 0 2 ? ? 2? ? ?
?
2

? ? 1 ? S0 exp ? r ? 2 2? ?

? ? ? T ?x0 exp ? T x e dx ? 2 ? ? 2 2 x ? ? T ? ? ? ? 1 ? T? ? ? S0 exp ? r ? ? dx ? T ?x0 exp ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2? ? ? ? ?
2

?

?

x2 ? 2

?

?

2015/11/29

53

变量代换, y ? x ? ? T 则

? x ?? T 1 ? ?? exp ? 2 2? ?x0 ? ? ?e
? 2T
2

?

?

2

? ? T? ? dx ? 2 ? ?
2

1 2?
2

?

?

x0 ?? T

e

y2 ? 2

dx

?e
2015/11/29

? 2T

?1 ? N ? x ? ? T ??
0
54

所以积分式的第二项等于

S0e N ? x0 ? ? T
rT

??

??
??
? Xe ? rT N ? ? x0 ?

将上述第一项和第二项的结果代入,得

V ? S0 N ? x0 ? ? T

??

? S0 N ? d1 ? ? Xe ? rT N ? d 2 ?
2015/11/29 55

其中

2 ? ? ? S ? ? 0? ln ? ? ? ? r ? ? ?T 2 ? ?d ? ? X ? ? 1 ? ? T ? 2 ? ? S ? ? 0? ? ln ? ? ? ? r ? T ? ? 2 ? ?X? ? ?d 2 ? ? T ?

2015/11/29

56

?

金融产品今天的价值,应该等于未来收入的贴现:

c?e

? r (T ? t )

E[max(ST ? X ,0)]

?

其中,由于风险中性定价, E是风险中性世界中的期望值。 所有的利率都使用无风险利率:包括期望值的贴现率和对数正 态分布中的期望收益率μ。 要求解这个方程,关键在于到期的股票价格ST,我们知道它 服从对数正态分布,且其中所有的利率应用无风险利率,因此,
ln ST ~ ?[ln S ? (r ?
2015/11/29

?2
2

)(T ? t ), ? T ? t ]
57

上式的右边求值是一个积分过程,求得:

c ? SN (d1 ) ? Xe?r (T ?t ) N (d2 ) ln( S / X ) ? (r ? ? 2 / 2)(T ? t ) d1 ? ? T ?t ln( S / X ) ? (r ? ? 2 / 2)(T ? t ) d2 ? ? d1 ? ? T ? t ? T ?t
?

?

N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量 小于x的概率)。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式

2015/11/29

58

首先,N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概 率,或者说是欧式看涨期权被执行的概率, e-r(T-t)XN(d2) 是X的风险中性期望值的现值。

SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现
值。因此,这个公式就是未来收益期望值的贴现。

2015/11/29

59

其次, ? ? N (d1 ) 是复制交易策略中股票的数量,SN(d1)就 是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
最后,从金融工程的角度来看,欧式看涨期权可以分拆

成资产或无价值看涨期权(Asset-or-noting call option)多头和现
金或无价值看涨期权(cash-or-nothing option)空头, SN(d1)是 资产或无价值看涨期权的价值, -e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价

值看涨期权空头的价值。

2015/11/29

60

? 资产或无价值看涨期权:如果标的资产价格在到期时低于 执行价格,该期权没有价值;如果高于执行价格,则该期 权支付一个等于资产价格本身的金额,因此该期权的价值 为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1) ? 现金或无价值看涨期权:如果标的资产价格在到期时低于 执行价格,该期权没有价值;如果高于执行价格,则该期 权支付1元, 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为 N(d2) ,1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t)N(d2) 。

2015/11/29

61

欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关 若卖空一份带抛补的看涨期权 以S 的价格买入一股股票 以C 的价格卖出一份看涨期权,执行价为X 同时又买了一份价格为P 的看跌期权,执行价为X (到期时间和执行价与看涨期权相同)
2015/11/29 62

则当期 头寸的成本 ? S ? P ? C

若S ? X , 则到期收益为X 若S ? X , 则到期收益为X
于是

?S ? P ? C ?e ? X
r?

C ? P ? S ?e
2015/11/29

? r?

X
63

对于具有与欧式看涨期权定价相同参数的欧式看跌期权 定价平价公式

P ?C ?S ?e

? r?

X

如果P ? C ? S ? e?r? X , 则通过买卖S ? P ? C存在套利机会
将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入,得:

P ? SN ?d1 ? ? e


? r?

XN ?d 2 ? ? S ? e
? r?

? r?

X

P ? ? SN ?? d1 ? ? e

XN ?? d 2 ?
64

2015/11/29

t=0

t=T

ST≥3.13
卖武钢认购权证 (执行价2.9元) 买武钢股票 买武钢认沽权证 (执行价3.13元) 借入现金 C -S0 -P 2.9/(1+r)t/365 2.9-ST ST 0 -2.9

3.13>ST>2.9
2.9-ST ST 3.13-ST -2.9

ST≤2.9
0 ST 3.13-ST -2.9

现金流

C-P-S0+2.9/(1+r)t/365

0

3.13-ST

0.23

2015/11/29

65

附:期权的简单特征

?Yce ? ?? : 欧式看涨期权的价格过程 ? e ?Yp ? ?? : 欧式看跌期权的价格过程 记号 : ? a ?Yc ? ?? : 美式看涨期权的价格过程 ?Yca ? ?? : 美式看跌期权的价格过程 ?

2015/11/29

66

附:期权的简单特征

命题1:对于[0,T ]上具有相同执行价格q的欧式和 美式期权,存在
e a ? 0 ? Y t ? Y ? ? ? c c ?t ? , ? e a 0 ? Y t ? Y ? ? ? p p ?t ? , ?

t ? [0, T ]

2015/11/29

67

附:期权的简单特征 命题2:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 存在:
? r ?T ?t ? e e ? , ?Yc ? t ? ? S ? t ? , Yp ? t ? ? qe ? a a Y t ? S t , Y , ? ? p ?t ? ? q ? ? c ? ?

t ? [0, T ]

2015/11/29

68

附:期权的简单特征

命题3:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 存在: ? r ?T ?t ? e ? , ?Yc ? t ? ? S ? t ? ? qe t ?[0, T ] ? e ? r ?T ?t ? ? S ?t ? , ? ?Yp ? t ? ? qe

2015/11/29

69

附:期权的简单特征

命题4:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 存在: ?

?Y a ? t ? ? ? S ? t ? ? qe? r ?T ?t ? ? , t ? [0, T ) ? c ? ? ? ? a ? Yp ? t ? ? ? t ?[0, T ] ?q ? S ? t ?? ? , ?

2015/11/29

70

附:期权的简单特征

推论1:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 美式看涨期权不应提前执行。
推论2:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,对 于相同执行价格和相同到期日的美式和欧式看涨 期权存在:

Y ?t ? ? Y ?t ?
e c a c
2015/11/29 71

附:期权的简单特征

命题5:在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,如果 在美式看跌期权有效的有效期内的某个 ? ? T 存 在

S ?? ? ? q 1 ? e

?

? r ?T ?? ?

?

则该美式看跌期权应该在时刻 ? 执行。

2015/11/29

72

附:期权的简单特征

命题6:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 欧式看涨和看跌期权的价格满足:

Yce ? t ? ? qe? r ?T ?t ? ? Ype ? t ? ? S ? t ?
习题:若看涨和看跌期权的行权价不同,则这一关 系该如何表达?

2015/11/29

73

附:期权的简单特征

命题7:若在[0,T ]上,相应的股票无红利配发,则 美式看涨和看跌期权的价格满足:

S ? t ? ? q ? Yca ? t ? ? Ypa ? t ? ? S ? t ? ? qe? r ?T ?t ?

2015/11/29

74

附:期权的简单特征
命题8:若在[0,T ]上,相应的股票有红利配发,记:
D ?t, s ? ?

t ? tk ? s

?

Dk e

? r ? tk ? t ?

,

0?t ? s ?T

当t ? [0, T ], t ? tk ,则对于欧式看涨和看跌期权,存在 S ? t ? ? D ? t , T ? ? qe ? r ?T ?t ? ? Yce ? t ? ? S ? t ? ? D ? t , T ? D ? t , T ? ? qe ? r ?T ?t ? ? S ? t ? ? Ype ? t ? ? qe ? r ?T ?t ? Yce ? t ? ? Ype ? t ? ? S ? t ? ? D ? t , T ? ? qe
? r ?T ? t ?

2015/11/29

75

附:期权的简单特征

当t ? [0, T ], t ? tk ,则对于美式看涨和看跌期权,存在 S ? t ? ? max D ? t ,? ? ? qe
? ?[ t ,T ]

?

? r ?? ? t ?

??Y

a c

?t ? ? S ?t ? ? D ?t,T ?
? r ?T ?t ?

D ? t , T ? ? qe

? r ?T ?t ?

? S ? t ? ? Ypa ? t ? ? q

S ? t ? ? D ? t , T ? ? q ? Yca ? t ? ? Ypa ? t ? ? S ? t ? ? qe

2015/11/29

76

附:期权的简单特征
命题9:若标的股票在[0,T ]上的,相应的股票有红利配发,记:
D ?t, s ? ? 则: (1)如果对于? ? ? ti , ti ?1 ? , s ? ? t j , t j ?1 ? ? ,1 ? i ? j ? n ? 1, 或s ? T , 存在
k ?i ?1 j t ? tk ? s

?

Dk e

? r ? tk ? t ?

,

0 ?t ? s ?T

?

Dk e

r ? s ? tk ?

?q e

?

r ? s ?? ?

?1

?

则对应的美式看涨期权与其在时刻s执行,不如在更早的时刻? 执行. 特别地, 若tn ? T (即时刻T 不是付息日), 且存在 Dn e ?
r T ?tn ?

?q e

?

r ?T ? t n ?

?1

?

则与其在时刻T 执行, 不如在tn之前的瞬间执行.
2015/11/29 77

附:期权的简单特征
(2)如果对于? ? ? ti , ti ?1 ? , s ? ? t j , t j ?1 ? ? ,1 ? i ? j ? n ? 1, 或s ? T , 存在
k ?i ?1

?

j

Dk e

r ? s ? tk ?

?q e

?

r ? s ?? ?

?1

?

则对应的美式看跌期权与其在时刻? 执行,不如在更晚的时刻s执行. 特别地, 若tn ? T (即时刻T 不是付息日), 且存在 Dn e
r ?T ? tn ?

?q e

?

r ?T ?t n ?

?1

?

则与其在时刻tn之前的瞬间执行, 不如在到期时刻T 执行.

2015/11/29

78

附:期权的简单特征
命题10:对于标的资产相同,到期日相同的两份欧式看涨期权 Yce ? q1 ? 和Yce ? q2 ? , 若q1 ? q2 , 则 0 ? Yce ? q2 ? ? Yce ? q1 ? ? q1 ? q2

命题11:对于标的资产相同,到期日相同的两份欧式看跌期权 Ype ? q1 ? 和Ype ? q2 ? , 若q1 ? q2 , 则 0 ? Ype ? q1 ? ? Ype ? q2 ? ? q1 ? q2

2015/11/29

79

附:期权的简单特征
命题12:欧式看涨(跌)期权的价格Yce ? q ? (Ype ? q ?)是q的凸函数 即, 若q1 ? q2 , q? ? ? q1 ? ?1- ? ? q2 , ? 0 ? ? ? 1? , 则 Yce ? q? ? ? ?Yce ? q1 ? ? ?1 ? ? ? Yce ? q2 ? Ype ? q? ? ? ?Ype ? q1 ? ? ?1 ? ? ? Ype ? q2 ?

命题13:欧式看涨(跌)期权的价格Yce ? q ? (Ype ? q ?)是标的资产 价格S 和行权价q的齐一次函数.即对任意的? >0,有 Yce ?? S , ? q ? ? ?Yce ? S , q ? Ype ?? S , ? q ? ? ?Ype ? S , q ?
2015/11/29 80

一、二项分布

n! n?k k P? X ? k? ? q ?1 ? q ? k !? n ? k ?!

(5-18)

当n足够大时,可近似用正态分布来代替二项分布

X ~ N ? np, npq ?
2015/11/29 81

二、多期二叉树的近似 若股票价格的漂移率是 ? 波动率是 ? 则二叉树的节点上 若股价上涨,则为 若股价下跌,则为 对一固定的时刻t, 在时刻t的节点的股价只与在n期内上涨次数Xn有关。
2015/11/29 82

S0e??t ??

?t

S0 e

??t ?? ?t



St ? S0 exp X n ??t ? X n? ?t

?

?

? ? exp ? n ? X ? ? t ? n ? X ? ? t ? ? ? ? n n ? ?

? ln St ? ln S0 ? n??t ? ? 2 X n ? n ? ? ?t
当n足够大时

? ?2 ? 2 ln St ~ N (ln S0 ? ? r ? ? t , ? t ) 2 ? ?
2015/11/29 83

因为:

2 ??1 ? ?r S0er?t ? Sd 1 2 q? ? ? ?t Su ? Sd 2 2?

? E[ln St ] ? ln S0 ? n??t ? ? 2nq ? n ? ? ?t 1 2 = ln S0 ? ? t ? rt 2 ? ?2 ? ? ln S0 ? ? r ? ?t 2 ? ?

2015/11/29

84

? ?

1 q? 2 ? SD ? ln St ? ? SD ? 2 X ? n ? ? t ? ? n ? ? =? t

于是可以令

? ?2 ? ln St ? ln S0 ? ? r ? ? t ? ? tZ 2 ? ? 其中,Z ~ N ? 0,1?
2015/11/29 85

上式近似所得的股价模型和几何布朗运动一致。
既然有几何布朗运动模型为何还要二叉树算法。

几何布朗运动算期望非常困难

2015/11/29

86

三、符合几何布朗运动的二叉树构造

? ?t ? ?u?e ? ?? ?t ? ?d ? e

对应的二叉树分支概率( 漂移率? ? 0 )

1 r ? ?? q ? ? ?t ? ? ? 2 ? 4 2? ?
2015/11/29 87

习题:

? ? 0.38 ,对应的股票期权 设某一股票的年波动率
将在两个月内到期,因此需要一个40期的二叉树来表示 这一段时间内的股价波动,设无风险利率r ? 5.5%。如 何构造?

2015/11/29

88

P ? ST ? X ? ? P ? Z ? ?d ? ? N ? d ?
d? ln ? S0 / X ? ? ? ? ? ? 2 / 2 ? T

? T

S0 ? X ? 60, T ? 1, ? ? 0.2, ? ? 1.00 d ? ?0.3 N ? ?0.3? ? 1 ? 0.618 ? 0.38

2015/11/29

89

问题 : dS ? ? Sdt ? ? SdB
2 ?? ? ? ? St ? S0 exp ?? ? ? ? t ? ? Bt ? 2 ? ?? ?

当 ? 很大时,exp(? Bt ?
2015/11/29

? 2t
2

) 的概率分布极不均匀。
90


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