当前位置:首页 >> 数学 >>

宁夏银川市育才中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016 学年宁夏银川市育才中学高二(上)期末数学试卷(理 科)

一、选择题(本题共 12 题,每个题目只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分).

1.已知椭圆

上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离

() A.2 B.3

C.5

D.7

2.K 为小于 9 的实数时,曲线

与曲线

一定有相同的( )

A.焦距 B.准线 C.顶点 D.离心率

3.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线

4.已知向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( ) A.1 B. C. D.

5.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.4x﹣y﹣3=0 B.x+4y﹣5=0 C.4x﹣y+3=0 D.x+4y+3=0

6.实半轴长等于 ,并且经过点 B(5,﹣2)的双曲线的标准方程是( )

A.



B.

C.

D.

7.已知动点 P(x,y)满足
() A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.线段

,则动点 P 的轨迹是

8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( ) A. B. C. D.

9.若 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
10.下列命题正确的是( ) A.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹是 y=5 B.方程 表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线
C.方程(x﹣y)2+(xy﹣1)2=0 表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D.2x2﹣3y2﹣2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0

11.函数

在点(1,1)处的切线方程为( )

A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0

12.若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2, 则 k=( ) A.2 B.﹣1 C.2 或﹣1 D.1±

二.填空题(本题共 4 道题,每题 5 分,共 20 分).

13.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则 a,b 的值分别





14.以等腰直角△ ABC 的两个底角顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率





15.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=



16.椭圆 为

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2 的面积 .

三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分).

17.请用函数求导法则求出下列函数的导数. (1)y=esinx
(2)y=

(3)y=ln(2x+3) (4)y=(x2+2)(2x﹣1)

(5)



18.(文科)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1, C1D1 的中点, 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

19.已知函数 f(x)=x3+x﹣16. (1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2)求曲线 y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程; (3)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程.

20.已知动圆 P 与圆

相切,且与圆

切,记圆心 P 的轨迹为曲线 C,求曲线 C 的方程.

相内

21.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4. (Ⅰ)求证:BD⊥A1C; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值; (Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P,使得平面 A1CD1⊥平面 PBD,若存在,求出
若不存在,请说明理由.

的值;

22.已知椭圆 5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为 F, (1)求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长. (2)求以 M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程. (3)过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B,求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

2015-2016 学年宁夏银川市育才中学高二(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 题,每个题目只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分).

1.已知椭圆

上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离

() A.2 B.3 C.5 D.7 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据条件求出 a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论. 【解答】解:设所求距离为 d,由题得:a=5. 根据椭圆的定义得:2a=3+d?d=2a﹣3=7. 故选 D. 【点评】本题主要考查椭圆的定义.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题 中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.

2.K 为小于 9 的实数时,曲线

与曲线

一定有相同的( )

A.焦距 B.准线 C.顶点 D.离心率 【考点】双曲线的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线和椭圆的简单性质求解.

【解答】解:∵K 为小于 9 的实数时,∴曲线

是焦点在 x 轴的双曲线,

曲线

的焦距为 8,准线方程为 x=

,有四个项点,离心率为 ,

曲线 .

的焦距为 8,准线方程为 x=

,有两个顶点,离心率为

∴曲线 故选:A.

与曲线

一定有相同的焦距.

【点评】本题考查两曲线是否有相同的焦距、准线、焦点、离心率的判断,是基础题,解题 时要注意双曲线和椭圆的简单性质的合理运用.
3.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 【考点】轨迹方程. 【专题】常规题型. 【分析】根据双曲线的定义:动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时 为双曲线;距离当等于两定点距离时为两条射线;距离当大于两定点的距离时无轨迹. 【解答】解:|PM|﹣|PN|=2=|MN|, 点 P 的轨迹为一条射线 故选 D. 【点评】本题考查双曲线的定义中的条件:小于两定点间的距离时为双曲线.
4.已知向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( )
A.1 B. C. D.
【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用.
【分析】由向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2),求得 k + 与 2 ﹣ 的坐标,代入数量 积的坐标表示求得 k 值.
【解答】解:∵ =(1,1,0), =(﹣1,0,2),
∴k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),
2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2),
又 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,
∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k= .
故选:D. 【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题.
5.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.4x﹣y﹣3=0 B.x+4y﹣5=0 C.4x﹣y+3=0 D.x+4y+3=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】欲求 l 的方程,根据已知条件中:“切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直”可得出切线的斜 率,故只须求出切点的坐标即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几 何意义即可求出切点坐标.从而问题解决. 【解答】解:设与直线 x+4y﹣8=0 垂直的直线 l 为:4x﹣y+m=0,

即曲线 y=x4 在某一点处的导数为 4, 而 y′=4x3,∴y=x4 在(1,1)处导数为 4, 将(1,1)代入 4x﹣y+m=0,得 m=﹣3, 故 l 的方程为 4x﹣y﹣3=0. 故选 A. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程
等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

6.实半轴长等于 ,并且经过点 B(5,﹣2)的双曲线的标准方程是( )

A.



B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】若实轴在 x 轴上,可设其方程为

=1,b>0,若实轴在 y 轴上,可设其方程



=1,b>0,分别把 B(5,﹣2)代入,能求出结果.

【解答】解:由题设,a=2 ,a2=20.

若实轴在 x 轴上,可设其方程为

=1,b>0,

把 B(5,﹣2)代入,得 b2=16;

若实轴在 y 轴上,可设其方程为

=1,b>0,

把 B(5,﹣2)代入,得 b2=﹣ (舍),

故所求的双曲线标准方程为



故选:C.

【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性 质的合理运用.

7.已知动点 P(x,y)满足

,则动点 P 的轨迹是

() A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的定义直接求解.

【解答】解:∵动点 P(x,y)满足



∴动点 P 的轨迹是以(﹣3,0),(3,0)为焦点,实轴长为 5 的椭圆. 故选:B. 【点评】本题考查点的轨迹的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆定义的合理运 用.

8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( )
A. B. C. D.
【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 则 A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0),
=(0,1,﹣1), =(1,0,1), =(0,1,0),

设平面 A1B1CD 的法向量 =(x,y,z),



,取 x=1,则 =(1,0,﹣1),

设直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 θ,

sinθ=

=

=,

∴θ= , ∴直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 . 故选:B.

【点评】本题考查线面角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
9.若 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【考点】导数的运算. 【专题】整体思想. 【分析】先求导,然后表示出 f′(1)与 f′(﹣1),易得 f′(﹣1)=﹣f′(1),结合已知,即 可求解. 【解答】解:∵f(x)=ax4+bx2+c, ∴f′(x)=4ax3+2bx, ∴f′(1)=4a+2b=2, ∴f′(﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2, 故选:B. 【点评】本题考查了导数的运算,注意整体思想的应用.
10.下列命题正确的是( ) A.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹是 y=5
B.方程 表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线
C.方程(x﹣y)2+(xy﹣1)2=0 表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D.2x2﹣3y2﹣2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】对 4 个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:A.∵到 x 轴距离为 5 的所有点的纵坐标都是 5 或者﹣5,横坐标为任意值, ∴到 x 轴距离为 5 的所有点组成的图形是两条与 x 轴平行的直线,故不正确;
B.方程 表示的曲线是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线,除去原点,故不正确;
C.方程(x﹣y)2+(xy﹣1)2=0,即 x﹣y=0 且 xy﹣1=0,即点(1,1)与(﹣1,﹣1), 不正确; D.2x2﹣3y2﹣2x+m=0 通过原点,则 m=0;m=0 时,2x2﹣3y2﹣2x=0 通过原点,故正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

11.函数

在点(1,1)处的切线方程为( )

A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题. 【分析】欲求切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.

【解答】解:依题意得 y′=



因此曲线

在点(1,1)处的切线的斜率等于﹣1,

相应的切线方程是 y﹣1=﹣1×(x﹣1),即 x+y﹣2=0, 故选 B. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

12.若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2, 则 k=( )

A.2 B.﹣1 C.2 或﹣1 D.1± 【考点】抛物线的简单性质.

【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】联立直线 y=kx﹣2 与抛物线 y2=8x,消去 y,可得 x 的方程,由判别式大于 0,运

用韦达定理和中点坐标公式,计算即可求得 k=2. 【解答】解:联立直线 y=kx﹣2 与抛物线 y2=8x, 消去 y,可得 k2x2﹣(4k+8)x+4=0,(k≠0), 判别式(4k+8)2﹣16k2>0,解得 k>﹣1.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=



由 AB 中点的横坐标为 2, 即有 =4,

解得 k=2 或﹣1(舍去), 故选:A. 【点评】本题考查抛物线的方程的运用,联立直线和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定 理和中点坐标公式,注意判别式大于 0,属于中档题.

二.填空题(本题共 4 道题,每题 5 分,共 20 分). 13.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则 a,b 的值分别为 1,1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的概念及应用;直线与圆.

【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由已知切线方程,可得切线的斜率和切点,进
而得到 a,b 的值. 【解答】解:y=x2+ax+b 的导数为 y′=2x+a, 即曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线斜率为 a, 由于在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0, 则 a=1,b=1, 故答案为:1,1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导
数即为曲线在该点处切线的斜率,注意切点在切线上,也在曲线上,属于基础题.

14.以等腰直角△ ABC 的两个底角顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】不妨设 B(﹣c,0),C(c,0),A(0,b).则 b=c,a2=b2+c2,化简解出即可得

出.

【解答】解:不妨设 B(﹣c,0),C(c,0),A(0,b). 则 b=c,a2=b2+c2,



c,

∴= ,

故答案为: .
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰直角三角形的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

15.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)= ﹣2 . 【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】把给出的函数求导,在其导函数中取 x=2,则 f′(2)可求. 【解答】解:由 f(x)=x2+3xf′(2), 得:f′(x)=2x+3f′(2), 所以,f′(2)=2×2+3f′(2), 所以,f′(2)=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则,考查了求导函数的值,解答此题的关键是正确 理解原函数中的 f′(2),f′(2)就是一个具体数,此题是基础题.

16.椭圆

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2 的面积

为9. 【考点】椭圆的简单性质.

【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】椭圆

,可得 a=5,b=3,c=

m2+n2=(2c)2,联立解出即可得出.

.设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=10,

【解答】解:∵椭圆



∴a=5,b=3,c=

=4.

设|PF1|=m,|PF2|=n, 则 m+n=2a=10,m2+n2=(2c)2=64, ∴mn=18.
∴△PF1F2 的面积= mn=9.
故答案为:9. 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形面积计算公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分). 17.请用函数求导法则求出下列函数的导数. (1)y=esinx
(2)y=

(3)y=ln(2x+3) (4)y=(x2+2)(2x﹣1)

(5)



【考点】导数的运算. 【专题】转化思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】根据导数的运算法则计算即可. 【解答】解:(1)y′=esinxcosx;

(2)



(3)



(4)y'=(x2+2)′(2x﹣1)+(x2+2)(2x﹣1)′=2x(2x﹣1)+2(x2+2)=6x2﹣2x+4;

(5)



【点评】本题考察了导数的运算,熟练掌握常见导数的公式以及对数的运算法则是解题的关 键,本题是一道基础题.

18.(文科)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1, C1D1 的中点, 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.
【考点】平面与平面平行的判定. 【专题】证明题. 【分析】连接 B1D1,NE,分别在△ A1B1D1 中和△ B1C1D1 中利用中位线定理,得到 MN∥B1D1,EF∥B1D1,从而 MN∥EF,然后用直线与平面平行的判定定理得到 MN∥面 BDEF.接下来利用正方形的性质和平行线的传递性,得到四边形 ABEN 是平行四边形,得 到 AN∥BE,直线与平面平行的判定定理得到 AN∥面 BDEF,最后可用平面与平面平行的 判定定理,得到平面 AMN∥平面 EFDB,问题得到解决. 【解答】证明:如图所示,连接 B1D1,NE ∵M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点 ∴MN∥B1D1,EF∥B1D1 ∴MN∥EF 又∵MN?面 BDEF,EF?面 BDEF ∴MN∥面 BDEF ∵在正方形 A1B1C1D1 中,M,E,分别是棱 A1B1,B1C1 的中点 ∴NE∥A1B1 且 NE=A1B1 又∵A1B1∥AB 且 A1B1=AB ∴NE∥AB 且 NE=AB ∴四边形 ABEN 是平行四边形 ∴AN∥BE 又∵AN?面 BDEF,BE?面 BDEF ∴AN∥面 BDEF ∵AN?面 AMN,MN?面 AMN,且 AN∩MN=N ∴平面 AMN∥平面 EFDB
【点评】本题借助于正方体模型中的一个面面平行位置关系的证明,着重考查了三角形的中 位线定理、线面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知识点,属于基础题.
19.已知函数 f(x)=x3+x﹣16.

(1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2)求曲线 y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程; (3)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;分析法;导数的概念及应用.
【分析】(1)设切点坐标为(x0,y0),求出导数,求得切线的斜率,解方程可得切点的坐 标,进而得到切线的方程; (2)求出切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程; (3)设出切点,可得切线的斜率,切线的方程,代入原点,解方程可得切点坐标,进而得 到所求切线的方程.
【解答】解:(1)设切点坐标为(x0,y0), 函数 f(x)=x3+x﹣16 的导数为 f′(x)=3x2+1,

由已知得 f′(x0)=k 切=4,即

,解得 x0=1 或﹣1,

切点为(1,﹣14)时,切线方程为:y+14=4(x﹣1),即 4x﹣y﹣18=0; 切点为(﹣1,﹣18)时,切线方程为:y+18=4(x+1),即 4x﹣y﹣14=0; (2)由已知得:切点为(2,﹣6),k 切=f'(2)=13, 则切线方程为 y+6=13(x﹣2), 即 13x﹣y﹣32=0; (3)设切点坐标为(x0,y0),

由已知得 f'(x0)=k 切=

,且



切线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0),





将(0,0)代入得 x0=﹣2,y0=﹣26, 求得切线方程为:y+26=13(x+2),即 13x﹣y=0. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,注意确定切点,考查直线方程的运用,以及 运算能力,属于中档题.

20.已知动圆 P 与圆

相切,且与圆

相内

切,记圆心 P 的轨迹为曲线 C,求曲线 C 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知:F1(﹣3,0),r1=9;F2(3,0),r2=1,设所求圆圆心 P(x,y),半径为

r.作图可得

,|PF1|+|PF2|=8>6=|F1F2|,

利用椭圆的定义及其标准方程即可得出.
【解答】解:由已知:F1(﹣3,0),r1=9;F2(3,0),r2=1, 设所求圆圆心 P(x,y),半径为 r.

作图可得

,则有|PF1|+|PF2|=8>6=|F1F2|,

即点 P 在以 F1(﹣3,0)、F2(3,0)为焦点,2a=8,2c=6 的椭圆上 b2=a2﹣c2=16﹣9=7,

则 P 点轨迹方程为:



【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆相切的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

21.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4. (Ⅰ)求证:BD⊥A1C; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值; (Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P,使得平面 A1CD1⊥平面 PBD,若存在,求出
若不存在,请说明理由.

的值;

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的性质.
【专题】空间角.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出 BD⊥AA1,BD⊥AC,从而得到 BD⊥平面 A1AC,由此 能证明 BD⊥A1C. (Ⅱ) 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用向量法能求出二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值.

(Ⅲ)设 P(x2,y2,z2)为线段 CC1 上一点,且 =

,0≤λ≤1.利用向量法能求出

当 = 时,平面 A1CD1⊥平面 PBD.
【解答】(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱, ∴AA1⊥平面 ABCD,且 ABCD 为正方形.…(1 分) ∵BD?平面 ABCD,∴BD⊥AA1,BD⊥AC.…(2 分) ∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 A1AC.…(3 分) ∵A1C?平面 A1AC, ∴BD⊥A1C.…(4 分) (Ⅱ)解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz. 则 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),

C1(0,2,4),D1(0,0,4),…(5 分)



=(2,0,0), =(0,2,﹣4).

设平面 A1D1C 的法向量 =(x1,y1,z1).



.即

,…(6 分)

令 z1=1,则 y1=2.∴ =(0,2,1).

由(Ⅰ)知平面 AA1C 的法向量为 =(2,2,0).…(7 分)

∴cos<

>=

= .…(8 分)

∵二面角 A﹣A1C﹣D1 为钝二面角, ∴二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值为﹣

.…(9 分)

(Ⅲ)解:设 P(x2,y2,z2)为线段 CC1 上一点,且 =

,0≤λ≤1.

∵ =(x2,y2﹣2,z2), =(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).

∴(x2,y2﹣2,z2)=λ(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).…(10 分)





∴P(0,2, ).…(11 分)

设平面 PBD 的法向量











.即

.…(12 分)

令 y3=1,得 =(﹣1,1,﹣

).…(13 分)

若平面 A1CD1⊥平面 PBD,则

即 2﹣

=0,解得



=0.

所以当 = 时,平面 A1CD1⊥平面 PBD.…(14 分)
【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足条件的点是 否存在的判断,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

22.已知椭圆 5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为 F, (1)求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长. (2)求以 M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程. (3)过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B,求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】椭圆

,右焦点为 F(2,0).

(1)过点 F(2,0)且斜率为 1 的直线为 y=x﹣2,设 l 与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2, y2),直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式:

|AB|=

即可得出.

(2)设 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得





.把

点 A,B 的坐标代入椭圆方程,两式相减可得 k,再利用点斜式即可得出.

(3)设点 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),且

,kAB=kFP,即



把点 A,B 的坐标代入椭圆方程,两式相减即可得出.

【解答】解:椭圆

,右焦点为 F(2,0).

(1)过点 F(2,0)且斜率为 1 的直线为 y=x﹣2,设 l 与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2, y2),

联立

,消去 y 得 14x2﹣36x﹣9=0,







, .

(2)设 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得







联立



两式相减得:5(x1+x2)(x1﹣x2)+9(y1+y2)(y1﹣y2)=0,





∴5+9k=0,即



∴l 方程为 y﹣1= (x﹣1)即 5x+9y﹣14=0.

(3)设点 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),且

,kAB=kFP,即



,两式相减得:5(x1+x2)(x1﹣x2)+9(y1+y2)(y1﹣y2)=0,





整理得:5x2+9y2﹣10x=0, AB 中点的轨迹方程为 5x2+9y2﹣10x=0. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、
中点坐标公式、“点差法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.