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2016届佛山市普通高中高三教学质量检测(二)(理数)

2016 届佛山市普通高中高三教学质量检测(二) 数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要 求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.函数 y ? ln(1 ? ) 的定义域为(

1 x

) C. (1, ??) D. (??,0) ? (1, ??) )

0) A.( ? ?,

B. (0,1)

2.已知复数 z (2 ? i) ? 1 ? ai, a ? R , i 是虚数单位,若 z 是纯虚数,则 a ? ( A. -2 B.-

1 2

C.

1 2

D、2

3.已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,若 a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列,则

a10 ? (
A. 19

) B. 20 C. 21 D. 22 )

4. 已知函数 y ? sin(2 x ? ? ) 在 x ? A.关于点 (

?
6

处取得最大值, 则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象 ( B.关于点 (

?
6

, 0) 对称

?
3

, 0) 对称

6 3 2 2 5.已知直线 l : 2 x ? y ? b ? 0 ,圆 C: ( x ? 3) ? y ? 4 ,则“0<b<1”是“l 与 C 相交”
的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件

C.关于直线 x ?

?

对称

D.关于直线 x ?

?

对称

1

? ?y ? x ? ? ? ? 2 6. 已知集合 Q ? ?( x, y ) ? y ? 1 ? 0 ?, P = ?( x, y ) | x ? 2 py, p ? 0? ,若 P ? Q ? ? 。 ? ? x ? y ? 4 ? 0? ? ? ?
则 p 的最小值为( A. 2 B. 1 ) C.

1 4 ? a ? R 7.下列函数中, ,都有 f (a) ? f (?a) ? 1 成立的是(
D. A. f ( x) ? ln 1 ? x 2 C. f ( x ) ? B. f ( x) ? cos ( x ?
2

1 2



?
4

)

( x ? 1)2 1 ? x2

D. f ( x ) ?

2x 2x ? 1

8.现从男、女共8名学生干部中选出3名同学(要求3人中既有男同学又有女同学)分别参加全 校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,共有270 种不同的安排方案,那么8名学生男、 女同学的人数分布可能是( ) A. 男同学1人,女同学7 人 B. 男同学2 人,女同学6 人 C. 男同学 3 人,女同学 5 人 D. 男同学 4 人,女同学 4 人 )

9. 执行图 1 所示的程序框图, 若输出 i 的值为 12 , 则①、 ②处可填入的条 件分别为 ( A. S ? 384, i ? i ? 1 C. S ? 3840, i ? i ? 1
开始

B. S ? 384, i ? i ? 2 D. S ? 3840, i ? i ? 2

S= 1, i =2






输出i

S ? S ?i
结束

② 图1 10.已知一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为(

)

A.

2 3 3

B.

4 3 3

C. 3

D.2 3

11.已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2,过右焦点F 作 FB // l 1 且交l 2于点B ,过点B 作 BA⊥l 2 且交l 1于点 A .若 AF⊥x 轴,则双曲线C 的离心率为( ) )

2

A. 3

B.

2 3 3

C.

6 2

D.2 2

12. 定义在( 0, +?? ) 上的函数 f ( x ) 满足:对任意正数a , b ,若 f ( a) - f ( b ) = 1 ,则 a- b < 1 ,称 f ( x ) 是( 0, + ? ) 上的“Ⅰ级函数”.给出函数 f ( x) = x 3 , g ( x ) = e x , h( x) = x + ln x ,其中“Ⅰ级函数”的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.广铁集团针对今年春运客流量进行数据整理,调查广州南站从2 月4 日到2 月8 日的客 流量,根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图如图3 所示.为了更详细的分 析不同时间的客流人群,按日期用分层抽样的方法抽样,若从2 月7 日这个日期抽取了40 人,则一共抽取的人数为________.

14.定积分

?

2

0

( 2 ? x2 ? x)dx 的值为_____

15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? ?1 ,

an ?

3 S n (其中 n ? N* ) ,则 Sn ? n?2

.

16.如图4,在边长为2的正方形 ABCD 中,点Q边CD上一个动点, CQ ? ?QD ,点P 为 线段BQ(含端点)上一个动点,若 ? = 1 ,则 PA ? PD 的取值范围为

??? ?

????

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 A 、 B 、 C 、 D 为同一平面上的四个点,且满足 AB ? 2 , BC ? CD ? DA ? 1 , 设 ?BAD ? ? , ?ABD 的面积为 S , ?BCD 的面积为 T . (1)当 ? ? 时,求 T 的值; 3 (2)当 S ? T 时,求 cos ? 的值;
3

?

18. (本小题满分 12 分) 从 2016 年 1 月 1 日起, 广东、 湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范 围,其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表: 上一年的出险次数 3 5 次以上(含 5 次) 0 1 2 4 85? 100? 125? 150? 175? 200? 下一年保费倍率 连续两年没出险打 7 折,连续三年没出险打 6 折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的 8 组数 据 ( x, y ) (其中 x (万元) 表示购车价格,y(元) 表示商业车险保费) : (8, 2150) 、 (11, 2400) 、

(18,3140) 、 (25,3750) 、 (25, 4000) 、 (31, 4560) 、 (37,5500) 、 (45, 6500) ,设由这 8 ? ?1055 . 组数据得到的回归直线方程为: ? y ? bx
(1)求 b ; (Ⅱ) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数 的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):

广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在 2017 年1月续保时应缴交的商业车险保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车 主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保)

19. (本小题满分 12 分)
? 如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, ?BAD ? 60 , AB ? BD, BC ? CD .

(1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 A 1BD ; (2)若 BC ? CD ,直线 BC 与平面 A1BD 所成的角能否为 45° ?并说明理由.

4

20. (本小题满分 12 分) 已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F ' 与点F 关于原点对称.线段CF ' 的中 垂线与CF 交于P 点. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ; (Ⅱ) 设点 A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q,直线 AQ与直线PF 交于点 B. (1) 证明:点B 恒在曲线E 上; (2) 求 △PAB 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? b ? x ln x(a ? 0) , g ( x) ?

2x .若直线 y = e - x 是曲线C : y = f ( x ) 1 ? x2

的一条切线,其中e是自然对数的底数,且 f ( 1) = 1 . (Ⅰ) 求a , b 的值; (Ⅱ) 设 0 < n < m < 1 ,证明: f ( m) > g ( n ) 选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A, B, D, E 在⊙ O 上, ED 、 AB 的延长线交于点 C , AD 、 BE 交于点 F ,

AE ? EB ? BC .
(1)证明: ;

E D F C B O A

(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? 角坐标系 xOy . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在曲线 C 上,点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) (其中 ? ? R ) ,求 PQ 的最 大值.

?

3

) ,以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴,建立直

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? t , t ? R . (1)当 t ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若存在实数 a 满足 f (a) ? a ? 3 ? 2 ,求 t 的取值范围.

5

数学(理科)参考答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B 11 B 12 D

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 200 14、

? ?1 2

15.

1 n( n ? 1)(n ? 2) 6

16. ? ,4? 5

?4 ? ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)在 ?ABC 中,由余弦定理得

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos ?
? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? 1 ?3, 2

在 ?BCD 中,由余弦定理得

cos ?BCD ?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 2 BC ? CD

?

12 ? 12 ? ( 3)2 1 ?? , 2 ? 1? 1 2
?

∵ ?BCD ? (0? ,180? ) ,∴ cos ?BCD ? 60 . ∴T ?

1 1 3 3 . BC ? CD sin ?BCD ? ?1?1? ? 2 2 2 4
1 AD ? AB sin ?BCD ? sin ? . 2

(2) S ?

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos? ? 5 ? 4cos ? ,

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 4cos ? ? 3 cos ?BCD ? ? , 2 BC ? CD 2
T? 1 1 BC ? CD sin ?BCD ? sin ?BCD , 2 2 1 ∵ S ? T ,∴ sin ? ? sin ?BCD , 2

6

∴ 4sin ? ? sin ?BCD ? 1 ? cos ?BCD ? 1 ? (
2 2 2

4 cos ? ? 3 ), 2

∴ cos ? ?

7 . 8

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1) x ?

1 200 (8 ? 11 ? 18 ? 25 ? 25 ? 31 ? 37 ? 45) ? ? 25 万元, 8 8 1 3200 y ? (2150 ? 2400 ? 3140 ? 3750 ? 4000 ? 4560 ? 5500 ? 6500) ? ? 4000 元, 8 8

? ? 1055 经过样本中心 ( x, y ) ,即 (25, 4000) . 直线 ? y ? bx
∴b ?

y ? 1055 4000 ? ?1055 ? ? 117.8 . 25 x

(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量, X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ………7 分 且 X 的分布列为

计算得下一年保费的期望倍率为 EX=0.85× 0.5+1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 … 10 分 该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8×20 +1055) ×0.9615 = 3279.677 ? 3280 元. … 11 分 因 0.96 < 1 (或 3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.… 12 分

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)证明:∵ AB ? BD, ?BAD ? 60 ,
?

∴ ?ABD 为正三角形,∴ AB ? AD . ∵ CB ? CD , AC 为公共边, ∴ ?ABC ? ?ADC . ∴ ?CAB ? ?CAD ,∴ AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是直四棱柱, ∴ AA1 ? 平面 ABCD ,∴ AA1 ? BD . ∵ AC ? AA1 ? A ,∴ BD ? 平面 ACC1 A1 . ∵ BD ? 平面 A 1 BD ? 平面 ACC1 A 1. 1BD ,∴平面 A (2) 设AC ? BD= O ,以O为原点,建立空间直角坐标系O- xyz 如图所示, 不妨设 AB = 2 , AA1 = h ( h > 0 ),则 OA =

3 , OB = OD = OC = 1 ,

设平面 A1 BD 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则
7

若直线BC 与平面 A1 BD 所成的角为45°,则

整理得 3=0,矛盾,故直线 BC 与平面 A1BD 所成的角不可能为 45° .…12 分 20. (本小题满分 12 分)

所以点 B 恒在椭圆 E 上.…………………………8 分

8

21. (本小题满分 12 分)

9

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【解析】 (1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ? BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD . ∴ . (2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED , ∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴

DE AD ? . DF ED

∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 【解析】 (1)∵ ? ? 4sin(? ?

?

3

),

∴ ? ? 4(sin? cos

? cos ? sin ) , 3 3 2 ∴ ? ? 2?sin? ? 2 3? cos? ,
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2y ? 0 . (2)曲线 C 可化为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 , ∴曲线 C 是圆心,半径为 2 的圆, ∵点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) , ∴点 Q 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上, ∴ PQ ? OC ?1? 2 ? 5 ,即 PQ 的最大值为 5 .

?

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【解析】 (1)当 t ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2x ?1 , 由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 3 ? 2x ? 1 ? 5 , ∴?

1 ? ? 1 ?x ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 3 ,或 ,或 ? , 2 ? 2 3 x ? 2 ? 5 ? ? ? ?2 ? 3x ? 5 ?x ? 4 ? 5

解得 x ? ?1 或 1 ? x ? 3 或 x ? 3 , ∴原不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, ??) . (2) f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2x ? t

? (2x ? 6) ? (2x ? t ) ? t ? 6 ,
∵原命题等价于 ( f ( x) ? x ? 3)min ? 2 , ∴ t ? 6 ? 2 ,解得 ?8 ? t ? ?4 , ∴ t 的取值范围是 (?8, ?4) .

10


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