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lnbofeng.com:【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第26讲 建构数列模型的应用性问题(含详解)

数学高考综合能力题选讲 26

建构数列模型的应用性问题
题型预测
数列作为特殊的函数, 在高中数学中占有相当重要的位置, 涉及实际应用的问题广泛而 多样,如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段, 注意其间的递推关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型. 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向.

范例选讲 例 1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到 2000 年底 全县的绿地已占全县总面积的 30%.从 2001 年起,市政府决定加大植树造林、 开辟绿地的力度,则每年有 16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的 4%又被侵蚀,变成了沙漠. (Ⅰ) 在这种政策之下, 是否有可能在将来的某一年, 全县绿地面积超过 80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的 60%? 讲解:本题为实际问题,首先应该读懂题意,搞清研究对象,然后把它转化 为数学问题.不难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设: 全县面积为 1,记 2000 年底的全县绿地面积占总面积的百分比为 a0 ,经过 n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为 an ,则我们所要回答的问题就是: (Ⅰ)是否存在自然数 n ,使得 an >80% ? (Ⅱ)求使得 an >60%成立的最小的自然数 n . 为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出数列 ?an ? 的相邻项之间的函数 关系,然后由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式. 3 由题可知: a0 ? 30% ? , 10 4 4 a n ?1 ? ?1 ? 4% ?a n ? 16%?1 ? a n ? ? a n ? 5 25 4 4 所以,当 n ? 1 时, a n ? a n ?1 ? ,两式作差得: 5 25 4 a n ?1 ? a n ? ?a n ? a n ?1 ? 5

4? 4 1 1 ?4 又 a1 ? a0 ? ? a0 ? ? ? a0 ? ? a0 ? , 25 ? 25 5 10 ?5

所以,数列 ?an ? an?1? 是以 a1 ? a0 ?

1 4 为首项,以 为公比的等比数列. 5 10

所以, an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ??? ? a1 ? a0 ? ? a0

1 4 (1 ? ( ) n ) 5 ? 3 ? 4 ? 1 ? ( 4 )n ? 10 4 10 5 2 5 1? 5
由上式可知:对于任意 n ? N ,均有 a n ? 面积的 80%. (Ⅱ)令 a n ?
3 4 2 ,得 ( ) n ? , 5 5 5 4 .即全县绿地面积不可能超过总 5

4 由指数函数的性质可知: g ? n ? ? ( ) n 随 n 的增大而单调递减,因此,我们只 5 4 2 需从 n ? 0 开始验证,直到找到第一个使得 ( ) n ? 的自然数 n 即为所求. 5 5 4 2 验 证 可 知 : 当 n ? 0,1, 2,3, 4 时 , 均 有 ( ) n ? , 而 当 n ? 5 时 , 5 5 4 n 2 ( ) ? 0.32768 ? , 5 5 4 2 由指数函数的单调性可知:当 n ? 5 时,均有 ( ) n ? . 5 5 所以,从 2000 年底开始,5 年后,即 2005 年底,全县绿地面积才开始超过 总面积的 60%. 点评:(Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定 n 的值.

例 2.某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房.他选择 10 年期贷款,偿 还贷款的方式为:分 10 次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还, 若 10 年期贷款的年利率为 4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入 次年的本金生息),问每年应还多少元(精确到 1 元)? 讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首先需要明确的是:如果不考虑其 它因素,同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现在的 10 元钱, 其价值应该大于 1 年后的 10 元钱.原因在于:现在的 10 元钱,在 1 年的时间 内要产生利息. 在此基础上,这个问题,有两种思考的方法: 法 1. 如果注意到按照贷款的规定, 在贷款全部还清时, 万元贷款的价值, 10 与这个人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同 一时间(即贷款全部付清时)去计算. 10 万元,在 10 年后(即贷款全部付清时)的价值为 105 ?1 ? 4% ? 元.
10

设每年还款 x 元.则第 1 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为
x ?1 ? 4% ? ;
9

第 2 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x ?1 ? 4% ? ;
8

……; 第 10 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x 元.于是: 105×(1+4%)10= x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x
1.0410 -1 ? x .其中 由等比数列求和公式可得: 10 ?1.04 = 1.04-1
5 10

1.0410 =(1+0.04)10 =1+10 ? 0.04+45? 0.042 +120 ? 0.043 +210 ? 0.044 +? ? 1.4802
所以, x ?
105 ?1.4802 ? 0.04 =12330 0.4802

法 2.从另一个角度思考,我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还 欠银行多少钱. 仍然设每年还款 x 元. 则第一年还款后,欠银行的余额为:?105 ?1 ? 4% ? ? x ? ? ? 元; 如果设第 k 年还款后,欠银行的余额为 ak 元,则 ak ? ak ?1 ?1 ? 4%? ? x . 不难得出: 10 =105×(1+4%)10-x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x a 另一方面,按道理,第 10 次还款后,这个人已经把贷款全部还清了,故有

a10 ? 0 .由此布列方程,得到同样的结果.
点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于:1.分清 单利、复利(即等差与等比);2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的思考 方法),恰当转化. 例 3.将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种,要使得相邻 的边的颜色互不相同,有多少种不同的涂色方法? 讲解:本题从表面上看是排列组合的问题,与数列没有关系,但直接考虑并 不简单,为此,我们考虑更一般的问题(即对于 n 边形的涂色问题),并建构如 下递推数列的模型: 设 n 边形(各边依次为 a1 , a2 ,…, an )满足条件的涂色方法有 bn 种.考虑 n+1 边形的涂法: 从边 a1 开始考虑,对于 a1 ,有 3 种涂法;对于边 a2 ,由于要不同于边 a1 ,故 有 2 种涂法;……;对于 an ,有 2 种涂法;最后考虑边 an ?1 ,如果不考虑这条边

是否与边 a1 同色,则也应该有 2 种涂法,故涂法种数为 3 ? 2n . 上述涂色的方法中,包括两种,第一种是边 an ?1 与边 a1 的颜色不同,这种涂 色方法恰好符合题意,其总数应该为 bn ?1 ;第二种是边 an ?1 与边 a1 的颜色相同, 对于这一种涂色方法,如果我们把边 an ?1 与边 a1 看作是同一条边,则其涂色方法 也满足题目中对于 n 边形的要求,故涂色方法总数应该为 bn .由此,不难得出:

bn?1 ? bn ? 3? 2n .
所以, bn?1 ? bn?1 ? 3? 2n?1 .另一方面,显然有 b3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 .所以,

b2k ?1 ? ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ? ? ? b2 k ?1 ? b2 k ?3 ? ? ? ? ? b5 ? b3 ? ? b3 ? 3 ? 22k ?1 ? 3 ? 22 k ?3 ? ? ? 3 ? 23 ? 3 ? 2 ? 22 k ?1 ? 2

b2k ? 3? 22k ? b2k ?1 ? 22k ? 2 , ? k ? N , 且k ? 2?
显然, b4 ? 18 . 点评:本题的难点在于递推数列模型的建立.一般来说,数列型应用题的特 点是:与 n 有关.


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