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人教a版高考数学(理)一轮课件:8.7空间向量的应用_图文

第 7 讲 空间向量的应用 考纲展示 1. 理解直线的方向向量及平 面的法向量. 2. 能用向量语言表述直线和 直线、直线与平面、平面与 平面的平行、垂直关系. 3. 能用向量方法证明有关直 线和平面位置关系的一些定 理( 包括三垂线定理) . 4. 能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面与 平面的夹角计算问题 ,了解 空间向量方法在研究立体几 何问题中的作用. 考纲解读 近年来,立体几何部分高考命题形式比较稳定 , 题目难易适中, 常常立足于棱柱、棱锥和长方体, 复习时要以多面体为依托, 始终把直线与直线、 直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定、 空间角的计算作为掌握的重点. 直线与平面所成 的角、二面角几乎是必考内容. 除用定义、解三 角形知识计算它们外, 也可用空间向量工具进行 计算. 高考中立体几何的综合题主要为解答题,常居于 解答题的中间位置 , 难度不是很大 . 利用空间向 量的数量积及坐标运算来解决立体几何问题仍 是高考考查的重点. 1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量: 在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2) 平面的法向量可利用方程组求出: 设 a, b 是平面 α内两不共线向量, n 为平面 α的法向量, 则求法向量的方程组为 · = 0, · = 0. 2. 利用空间向量证明线面平行 只要在平面 α内找到一条直线的方向向量为 b , 已知直线的方向向量为 a, 问题转化为证明 a=λ b 即可 . 或者已知直线上 A , B 两点的坐标, 在平面 α内 找出两点 C , D 写成坐标形式, = (x1 , y1 , z = (x2 , y2 , z2), 只要证明 x1 = λ x2且 1 ), y1 = λ y2且 z 1=λ z 2. 3. 证明线面垂直 直线 l, 平面 α, 要证 l⊥α, 只要在 l上取一个非零向量 p , 在 α内取两个不 共线的向量 a, b, 问题转化为证 p⊥a 且 p⊥b , 也就是 a·p=0 且 b ·p=0. 4. 空间角的求法 (1) 异面直线的夹角的求法: 设 a, b 分别为异面直线 l l2的方向向量, θ为 1, 异面直线所成的角 , 则 cos θ=| cos<a , b>| = | ·| . | ||| (2) 线面角的求法: 设 l为平面 α的斜线, a 为 l的方向向量, n 为平面 α的 法向量, θ为 l与 α成的角, 则 sin θ=| cos<a , n>| = | ·| | ||| . (3) 二面角的求法: 设 n1, n 2分别为平面 α, β的法向量, 二面角的大小为 θ, 则 θ=<n1 , n2 >或 θ= π-<n 1 , n2 > ( 需要根据具体情况判断相等或互补) , 其中 cos<n 1 , n2 >= 1 ·2 |1 ||2| . 5. 空间中的距离( 选学内容, 部分省份不要求) (1) 点面距离公式: P 为平面 α外一点, a, n 分别为平面 α的斜向量和法向 量, d 为 P 到 α的距离, 则 d=| a| ·| cos<a , n>| = (2) 线面距离转化为点面距离; (3) 面面距离转化为点面距离. | ·| ; || (1 ) 利用向量解立体几何题的一般方法: 把线段或角度转 化为向量表示, 用已知向量表示未知向量, 然后通过向量的运算或证明去 解决问题. 在这里, 恰当地选取基底可使向量运算简捷, 或者是建立空间直 角坐标系, 使立体几何问题转化为代数问题, 熟练、准确地写出空间中任一 点的坐标是解决问题的基础. (2)利用坐标运算解决立体几何问题, 降低了推理难度, 可以避开一些 较复杂的线面关系, 但较复杂的代数运算也容易导致出错. 因此 , 在解决问 题时, 可以灵活地选用解题方法, 不要生搬硬套. (3 ) 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用向量表 示几何量, 利用向量的运算进行判断; 另一种 是用向量的坐标表示几何量, 共分三步: ①建立立体图形与空间向量 的联系, 用空间向量( 或坐标) 表示问题中所涉及的点、线、面, 把立体几何 问题转化为向量问题; ②通过向量运算, 研究点、线、面之间的位置关系; ③ 根据运算结果的几何意义来解释相关问题. (4 ) 利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问 题, 关键是建立正确的空间直角坐标系, 正确地表达已知点的坐标. 1. 若直线 l1 , l2的方向向量分别为 a=(2, 4, -4 ), b= (-6 , 9, 6 ), 则( A. l B. l1⊥l 1 ∥l 2 2 C. l1与 l D. 以上均不正确 2相交但不垂直 【答案】B 【解析】∵ a·b=-12+36-24=0 , ∴ a⊥b. 故 l1⊥l 2. ) 2. 已知两平面的法向量分别为 m =( 0, 1, 0 ), n=(0 , 1, 1), 则这两个平面所成的二 面角为( ) A. 45° B. 135° C. 45° 或 135° D. 90° 【答案】C 【解析】∵ cos<m , n>= · |||| 1× 2 2 = 1 = , 2 即 <m , n>= 45° , 其补角为 135° , ∴ 这两个平面所成的二面角为 45° 或 135° . 3. (2012·陕西卷 , 5 )如图 , 在空间直角坐标系中有直三棱柱 AB C-A 1B 1 C 1 , C A=CC 1 =2CB , 则直线 B C 1与直线 AB 1夹角的余弦值为( ) A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D. 3 5 【答案】A 【解析】不妨设 CB =1 , 则 C A=C C 1=2. 由题图知, A 点的坐标为(2, 0, 0), B 点的坐 标为( 0, 0, 1 ), B 1点

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